A Singular Introduction to Commutative Algebra pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Gert-Martin Greuel

出品人:

页数:689

译者:

出版时间:2007-12-04

价格:USD 69.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540735410

丛书系列:

图书标签:

Commutative Algebra
Algebraic Geometry
Abstract Algebra
Mathematics
Polynomial Rings
Noetherian Rings
Ideals
Modules
Localization
Primary Decomposition

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具体描述

From the reviews of the first edition: "It is certainly no exaggeration to say that a ] A Singular Introduction to Commutative Algebra aims to lead a further stage in the computational revolution in commutative algebra a ] . Among the great strengths and most distinctive features a ] is a new, completely unified treatment of the global and local theories. a ] making it one of the most flexible and most efficient systems of its type....another strength of Greuel and Pfister's book is its breadth of coverage of theoretical topics in the portions of commutative algebra closest to algebraic geometry, with algorithmic treatments of almost every topic....Greuel and Pfister have written a distinctive and highly useful book that should be in the library of every commutative algebraist and algebraic geometer, expert and novice alike." J.B. Little, MAA, March 2004 The second edition is substantially enlarged by a chapter on Groebner bases in non-commtative rings, a chapter on characteristic and triangular sets with applications to primary decomposition and polynomial solving and an appendix on polynomial factorization including factorization over algebraic field extensions and absolute factorization, in the uni- and multivariate case.

一本关于抽象代数之美的探索之旅数学的宏伟殿堂中，代数无疑是最核心、最引人入胜的领域之一。它不仅仅是符号的演算，更是对结构、关系以及数系内在逻辑的深刻洞察。在这片广袤的数学大陆上，交换代数（Commutative Algebra）占据着至关重要的地位。它研究的是交换环（commutative rings）及其模（modules）的性质，而交换环作为许多重要代数结构（如整数环、多项式环）的抽象化，成为了理解更复杂代数对象的基础。本书旨在为读者开启一扇通往交换代数奇妙世界的大门。我们并非简单地罗列定理与证明，而是力求展现这一学科的思想脉络、核心概念及其与其他数学分支的紧密联系。本书的叙述风格注重逻辑的严谨性与概念的清晰性，希望能引导读者逐步深入，领略抽象代数之美，培养扎实的代数思维。核心概念的深度解析本书的开篇，我们将从最基础的代数结构——环——谈起。我们不仅会介绍环的定义，更会深入探讨其内在属性，如单位元、零因子、整环等。在此基础上，我们将重点阐述交换环的特性，并引入理想（ideals）这一中心概念。理想的引入，标志着我们开始从单个环的视角转向研究环的“子结构”，它们在理解环的结构性方面起着决定性作用。我们将详细讨论理想的各种类型，如素理想（prime ideals）和极大理想（maximal ideals），并揭示它们与环的某些重要性质之间的对应关系。例如，素理想的研究将引出因子分解（factorization）的概念，这是代数数论和代数几何等领域的重要基础。随之而来的是模（modules）的概念。模是环的“线性代数”推广，即在环的系数下进行“线性”运算的阿贝尔群。我们也将深入探讨模的子模、商模、直和等基本概念，并着重介绍自由模（free modules）和有限生成模（finitely generated modules）。对于有限生成模，我们将引入生成元（generators）和关系（relations）的概念，并展示如何通过矩阵来描述模的性质。这一部分将为后续理解更复杂的模论理论打下坚实基础。数系的抽象与推广本书的一个重要主题是将我们熟悉的数系，如整数、有理数、实数、复数等，进行抽象和推广。我们将会看到，交换代数的语言如何精妙地刻画了整数环 $mathbb{Z}$ 的一些基本性质，例如唯一因子分解定理（unique factorization theorem）。通过引入主理想整环（principal ideal domains, PIDs）和唯一因子分解整环（unique factorization domains, UFDs）等概念，我们能够识别出哪些整环在一定程度上“表现得像”整数环。这不仅加深了我们对整数环性质的理解，也为研究更一般的环提供了强大的工具。幂级数与多项式的代数世界多项式环是交换代数中最常见也最重要的例子之一。本书将详细研究多项式环（polynomial rings）的性质，包括多项式的加法、乘法、整除性以及理想的结构。我们将探讨单变量和多变量多项式环的性质，并引入诺特环（Noetherian rings）这一关键概念。诺特环是现代交换代数的核心对象，它们拥有“有限性”的良好性质，使得许多理论得以发展。本书将花费相当篇幅来阐述诺特环的定义、判定方法以及其在理论中的重要作用。此外，幂级数环（power series rings）也是本书的研究对象。与多项式环不同，幂级数允许无限项，这带来了新的挑战和丰富的结构。我们将研究幂级数环的完备化，并探讨它在代数几何和解析数论中的应用。结构性分析与几何联系本书将持续关注代数结构的“可理解性”和“可计算性”。我们将引入寂寞（dimension）的概念，并探讨如何衡量代数对象的“大小”或“复杂度”。例如，代数簇（algebraic varieties）的寂寞与定义它们的理想的寂寞之间存在深刻的联系，这构成了代数几何的基石。我们将探索域的扩张（field extensions）的代数结构。域的扩张是研究更复杂域（如代数数域）的重要手段。我们将会学习如何通过构造扩张域来解决方程，以及如何理解扩张域的代数性质，如伽罗瓦理论（Galois theory）的初步思想。从抽象到应用虽然本书专注于交换代数的理论基础，但我们也将适时地提及这些抽象概念在其他数学分支中的应用。例如，戴德金环（Dedekind domains）在代数数论中扮演着核心角色，它们是数域类比整数环的最佳模型。环论（ring theory）的发展也为编码理论（coding theory）和密码学（cryptography）提供了重要的数学工具。学习路径与预期收获本书的内容安排循序渐进，从最基本的概念出发，逐步深入到更抽象、更复杂的理论。我们假定读者具备一定的线性代数和群论基础。对于初学者，我们鼓励耐心阅读，细致推敲每一个定义和证明。对于有一定基础的读者，本书将帮助你系统地梳理交换代数的核心知识体系，并发现其中的内在联系。阅读本书，你将能够：理解交换代数的核心概念，如环、理想、模、诺特环等。掌握重要的代数结构，如多项式环、幂级数环、域扩张等。领略抽象代数特有的严谨性和深刻性。为进一步学习代数几何、代数数论、同调代数等更高级的代数分支打下坚实基础。培养分析和解决代数问题的能力。我们相信，通过对交换代数理论的深入探索，读者不仅能够掌握一套强大的数学工具，更能体验到数学抽象之美，以及其背后隐藏的深刻逻辑。本书是一次邀请，邀请你一同踏上这段充满发现的数学旅程。