Numerical Analysis for Applied Mathematics, Science and Engineering pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Addison Wesley Longman Publishing Co

作者:Donald Greenspan

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1988-12-01

价格:USD 41.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780201092868

丛书系列:

图书标签:

• 数值分析
• 应用数学
• 科学计算
• 工程数学
• 数值方法
• 算法
• 数学建模
• 高等数学
• 计算数学
• 科学工程

《数值分析：算法、理论与应用》 前言 在现代科学、工程乃至经济学等诸多领域，精确的解析解往往难以寻觅，甚至根本不存在。此时，数值分析便扮演着至关重要的角色，它提供了一套系统的方法论，通过近似计算来解决这些复杂问题。本书旨在为读者提供一套扎实且全面的数值分析基础，不仅关注理论的严谨性，更强调算法的实现与实际应用。我们期望通过本书的学习，读者能够掌握分析和解决实际工程与科学问题的数值工具，并理解这些工具背后的数学原理，从而能够审慎地选择、有效率地运用，并准确地解释数值计算的结果。 本书涵盖了数值分析的核心概念，从基本的数值精度问题到复杂的偏微分方程求解，力求在理论深度与实践应用之间取得平衡。我们不回避数学的严谨性，但始终以清晰的语言和直观的解释来阐述复杂的概念，并辅以大量的实例和计算示例，帮助读者更好地理解抽象的数学思想。 第一部分：基础理论与数值精度 第一章：引言与数值计算基础 本章将为读者构建数值分析的整体图景。我们将探讨数值分析在各个学科中的不可或缺性，从天气预报的模拟到新药的研发，从金融市场的风险评估到材料力学的结构分析，无处不有其身影。我们还将深入探讨数值计算的基本概念，包括浮点数表示、机器精度、舍入误差的来源及其累积效应。理解这些基础概念对于准确评估数值方法的可靠性至关重要。我们将介绍如何通过误差分析来量化计算的精度，并讨论截断误差与舍入误差的相互作用，为后续章节的学习打下坚实的基础。 第二章：方程的求根 求解方程 $f(x) = 0$ 是数值分析中最基本的问题之一。本章将详细介绍几种经典的求根算法，包括： 二分法 (Bisection Method)：通过不断缩小区间来逼近根，保证收敛性但收敛速度较慢。我们将分析其收敛阶和误差界。 割线法 (Secant Method)：利用割线代替切线来逼近根，无需计算导数，收敛速度介于线性与二次之间。 牛顿-拉夫逊法 (Newton-Raphson Method)：基于泰勒展开的二次收敛方法，收敛速度快，但需要计算函数的导数，且对初值选择敏感。我们将深入分析其收敛条件和迭代过程。 不动点迭代法 (Fixed-Point Iteration)：将方程转化为 $x = g(x)$ 的形式，通过迭代 $x_{k+1} = g(x_k)$ 来求解。我们将讨论其收敛的充要条件，并与其他方法进行比较。 本章还将讨论多项式方程的求根问题，介绍格非法（Graeffe's method）等特殊方法，并对各种求根方法的优缺点进行系统性的比较和总结。 第三章：线性方程组的数值解 线性方程组在工程和科学中普遍存在。本章将重点介绍求解大规模线性方程组的两种主要方法： 直接法 (Direct Methods)： 高斯消元法 (Gaussian Elimination)：将系数矩阵化为上（或下）三角形，然后回代求解。我们将分析其计算复杂度，并介绍主元消去等策略以提高数值稳定性。 Doolittle分解法、Crout分解法和LU分解法：将系数矩阵分解为下三角矩阵 (L) 和上三角矩阵 (U) 的乘积，从而将求解过程转化为两次三角形方程组的求解。我们将详细阐述这些分解方法的原理、步骤以及在求解多个同系数矩阵方程组时的效率优势。 Cholesky分解法：适用于对称正定矩阵，具有更高的效率和更好的数值稳定性。 迭代法 (Iterative Methods)： 雅可比迭代法 (Jacobi Iteration)：将方程组中的每个方程解出一个变量，然后迭代求解。 高斯-赛德尔迭代法 (Gauss-Seidel Iteration)：在雅可比迭代的基础上，利用已更新的变量值进行计算，通常收敛速度更快。 逐次超松弛迭代法 (Successive Over-Relaxation, SOR)：在收敛速度上进一步优化。 我们将深入分析迭代法的收敛条件，并讨论其在求解大型稀疏矩阵方程组时的优势。 第二部分：插值、逼近与数值积分 第四章：插值方法 插值是根据一组离散数据点来构造一个函数，使其通过这些点。本章将介绍几种重要的插值方法： 拉格朗日插值法 (Lagrange Interpolation)：构造一个唯一的 $n$ 次多项式通过 $n+1$ 个已知点。我们将分析其形式和性质，并讨论其在低维插值中的应用。 牛顿插值法 (Newton Interpolation)：采用差商的形式，便于逐步增加插值点，适用于动态数据。我们将阐述其均差的计算方法和递推性质。 样条插值 (Spline Interpolation)：特别是三次样条插值，它能克服高次多项式插值容易产生的龙格现象（Runge's phenomenon），在局部区域内保持光滑性，是工程和图形学中的常用工具。我们将介绍其基本构造原理、边界条件以及算法实现。 第五章：函数逼近 函数逼近的目标是找到一个简单的函数（如多项式）来近似一个复杂函数。本章将介绍： 最小二乘逼近 (Least Squares Approximation)：在给定函数空间内，寻找一个函数使得其与目标函数在某种度量下的平方误差最小。我们将详细阐述在线性和非线性最小二乘问题中的应用。 切比雪夫逼近 (Chebyshev Approximation)：目标是最小化最大误差，在某些应用中比最小二乘逼近更具优势。 本章还将讨论最佳逼近的概念以及逼近误差的界限。 第六章：数值积分 数值积分是用来计算定积分的近似值。本章将涵盖： 梯形法则 (Trapezoidal Rule)：将积分区域划分为若干小区间，在每个小区间上用梯形面积近似。 辛普森法则 (Simpson's Rule)：使用抛物线来近似积分区域，通常比梯形法则精度更高。 牛顿-柯特斯公式 (Newton-Cotes Formulas)：包含梯形法则和辛普森法则等一系列公式，基于等距节点。我们将分析其高阶形式的误差。 高斯积分法 (Gaussian Quadrature)：通过优化积分节点和权值，在相同节点数下获得比牛顿-柯特斯公式更高的精度。我们将介绍高斯-勒让德积分等具体形式。 本章还将讨论自适应积分方法，它根据被积函数的局部行为自动调整积分步长，以达到期望的精度。 第三部分：微分方程的数值解 第七章：常微分方程的数值解 常微分方程在建模动态系统方面扮演着核心角色。本章将介绍： 欧拉法 (Euler's Method)：最简单的单步法，但精度较低。我们将分析其截断误差和全局误差。 改进欧拉法 (Improved Euler Method)：一种预估-校正方法，提高了精度。 龙格-库塔法 (Runge-Kutta Methods)：包括二阶、四阶等多种方法，是求解常微分方程最常用的方法之一，具有较高的精度和稳定性。我们将详细推导四阶龙格-库塔法的公式，并讨论其通用性和局限性。 多步法 (Multistep Methods)：如亚当斯-巴斯福斯法 (Adams-Bashforth) 和亚当斯-马尔顿法 (Adams-Moulton) 等，利用过去几个点的信息来计算下一个点，可以提高计算效率。 本章还将讨论刚性方程组（stiff ODEs）的数值求解问题，介绍隐式方法和隐式-显式方法。 第八章：偏微分方程的数值解 偏微分方程是描述空间和时间上连续变化的物理现象的关键。本章将介绍求解偏微分方程的主要数值方法： 有限差分法 (Finite Difference Method, FDM)：将连续的偏导数用差商来近似，将偏微分方程转化为代数方程组。我们将详细介绍离散化过程，并讨论不同类型的差分格式（如前向差分、后向差分、中心差分）对稳定性和精度的影响。 有限元法 (Finite Element Method, FEM)：将求解域划分为若干个小的基本单元，在每个单元内用简单的基函数来逼近解，将偏微分方程转化为变分问题，最终得到代数方程组。我们将介绍其基本思想、单元选择、基函数构造以及弱形式的推导。 我们将以一些典型的偏微分方程（如热传导方程、波动方程、泊松方程）为例，阐述这些方法的具体应用和实现。 第四部分：高级主题与应用 第九章：傅里叶分析与快速傅里叶变换 (FFT) 傅里叶分析是处理信号和周期性现象的强大工具。本章将介绍： 离散傅里叶变换 (Discrete Fourier Transform, DFT)：将离散时间序列变换到频率域。 快速傅里叶变换 (Fast Fourier Transform, FFT)：一种高效计算DFT的算法，极大地降低了计算复杂度。我们将介绍FFT的原理和算法实现，并讨论其在信号处理、数据压缩等领域的广泛应用。 第十章：优化问题 优化问题是寻找函数的最优值。本章将介绍： 无约束优化：如梯度下降法、牛顿法等。 约束优化：如拉格朗日乘子法、序列二次规划法等。 我们将讨论这些算法的收敛性，并以一些实际的工程优化问题为例进行说明。 附录 线性代数回顾：本章将对数值分析中常用的线性代数概念和矩阵性质进行简要回顾，包括向量范数、矩阵范数、特征值与特征向量、谱半径等。 编程实现建议：提供使用常见编程语言（如Python, MATLAB, C++）实现数值算法的指导和示例代码。 结语 本书的编写过程中，我们始终力求理论与实践的紧密结合。我们希望本书能够成为一本既能作为高等院校相关专业课程的教材，也能成为工程师和研究人员在解决实际问题时的实用参考。通过掌握本书内容，读者将能够信心满满地应对数值计算中的挑战，并为科学和工程的进步贡献力量。

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