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出版者:同济大学

作者:严宗元 编

出品人:

页数:278

译者:

出版时间:2009-8

价格:30.00元

装帧:

isbn号码:9787560840789

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 解析几何
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

《高等数学》 内容简介 这并非一本枯燥的教科书，而是一扇通往浩瀚数学世界的绮丽门户，一场挑战思维极限的智力探险。它致力于以一种引人入胜、循序渐进的方式，揭示数学的深刻美学与强大力量，点燃你对未知探索的永恒热情。从基础的概念构建到复杂的理论推演，本书将带领你一步步跨越理解的藩篱，深入探究数学的精妙之处，培养严谨的逻辑思维能力，并最终让你领略到数学在理解和塑造我们所处世界中的核心作用。 本书内容严谨而不失趣味，逻辑清晰，层层递进。它并非简单地罗列公式和定理，而是注重数学思想的形成过程、内在联系以及实际应用。我们将从最基础的数学元素出发，比如对数的深入理解，函数的概念及其丰富表现形式，几何图形在代数中的映射，以及微积分如何捕捉瞬息万变的动态世界。随后，我们将逐步深入到更抽象但更具力量的领域，探寻那些支撑起现代科学技术大厦的基石。 第一部分：函数与图像的语言 我们从函数这一核心概念入手。函数是数学的灵魂，它描述了量与量之间的关系，是沟通现实世界与数学模型的最直接桥梁。本书将从直观的图像入手，让你在可视化的世界中理解函数的概念。我们将详细探讨各种基本函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等，理解它们各自的性质、图像特征以及在不同情境下的应用。例如，我们会看到线性函数如何描述匀速运动，指数函数如何刻画人口增长或放射性衰变，对数函数在描述声音强度或地震烈度时的作用，以及三角函数在描绘周期性现象（如波浪、光线传播）中的不可替代性。 更进一步，我们将研究函数的组合、变换（平移、伸缩、对称）以及复合函数，理解它们如何构建出更复杂的数学模型。通过分析函数的图像，你可以直观地洞察其变化规律、极值点、渐近线等关键信息，而这些信息往往是解决实际问题的关键。我们将学习如何利用代数方法和几何直觉来理解函数的行为，并将这些知识应用于解决实际问题，例如在经济学中分析成本与收益的关系，在物理学中描述物体的运动轨迹，在工程学中优化设计参数。 第二部分：变化的艺术——极限与连续 “变化”是世界运转的根本规律。极限与连续正是捕捉这种变化的数学语言。我们将从直观的“趋近”概念出发，理解当变量无限接近某个值时，函数值将如何表现。极限的思想是微积分的基石，它为我们理解无限细分和无限累加提供了严格的数学框架。我们将通过生动的例子，例如求解数列的收敛性，理解无穷级数的意义，体会极限的精妙之处。 连续性则是函数在某一点或某个区间上“不间断”行为的数学描述。本书将深入剖析连续性的定义和判别方法，并探讨连续函数在实际问题中的重要意义。例如，在物理学中，连续的位移函数意味着物体没有瞬时跳跃，在工程学中，连续的应力分布是结构安全的基础。我们将学习如何利用极限的工具来判断函数的连续性，以及理解不连续点存在的意义。 第三部分：微积分的威力——微分与积分 微积分，无疑是数学皇冠上的明珠，它彻底改变了我们理解和描述动态世界的能力。本书将系统而深入地介绍微积分的核心概念：微分与积分。 微分： 我们将从“变化率”这一基本思想出发，理解导数的概念。导数描述了函数在某一点的变化速度，它是物理学中速度、加速度的数学基础，也是经济学中边际成本、边际收益的量化工具。我们将学习如何计算各种函数的导数，掌握求导的各种法则，例如链式法则、乘积法则、商法则等。更重要的是，我们将探索导数的几何意义——切线的斜率，以及它在曲线分析、优化问题中的广泛应用。例如，如何利用导数找到函数的最大值和最小值，这在资源配置、效率提升等问题中至关重要。我们将通过求解实际问题，例如计算物体在任意时刻的速度和加速度，分析经济模型的增长率，来体会微分的强大力量。 积分： 如果说微分是“拆解”变化，那么积分就是“重构”变化。我们将从“面积”这一直观的几何概念出发，理解定积分的含义，它能够计算不规则曲线下的面积，累加无穷小的量。我们将学习积分的计算方法，掌握不定积分和定积分的求解技巧。更重要的是，我们将深入理解微积分基本定理，它将微分与积分这两个看似独立的数学概念巧妙地联系起来，构成了微积分的核心骨架。积分的应用远不止计算面积，它还能求解体积、曲线长度、功、质心等一系列物理和工程量。我们将通过实际案例，例如计算曲线绕轴旋转的体积，计算不均匀分布物体的总质量，来感受积分的计算能力和深刻的洞察力。 第四部分：多维空间的探索——多元函数与矢量 现实世界并非总是局限于一维或二维。本书将带领你迈入多维空间的数学殿堂，探索多元函数和矢量。 多元函数： 我们将学习如何描述和分析涉及多个自变量的函数，例如温度与海拔、湿度有关，或者房屋价格与面积、地理位置、装修水平有关。我们将学习多元函数的偏导数，理解它表示函数在某一特定方向上的变化率，以及梯度，它指明了函数增长最快的方向。这些概念在机器学习、优化算法、图像处理等领域有着广泛的应用。我们将探讨多元函数的极值问题，学习如何利用偏导数和海森矩阵来寻找函数的最大值和最小值，这在复杂的工程设计和资源优化中至关重要。 矢量： 矢量是描述既有大小又有方向的物理量（如力、速度、位移）的数学工具。本书将系统介绍矢量的概念、运算（加法、减法、数乘、点乘、叉乘）以及它们在几何和物理中的意义。点乘（数量积）与能量、功等概念相关，叉乘（向量积）则与力矩、磁场等概念紧密相连。我们将看到矢量如何优雅地表示三维空间中的几何关系，以及在物理学中如何描述力的合成、速度的叠加等。 第五部分：数系的拓展与结构——复数与线性代数初步 为了解决某些方程无解的问题，数学家们创造了复数。本书将介绍复数的概念、运算以及其在代数和几何中的应用，例如在信号处理、控制理论等领域。复数的世界为我们提供了更广阔的数学视野。 同时，我们将初步涉足线性代数。线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支，是现代科学和工程不可或缺的工具。我们将介绍向量、矩阵的概念，学习矩阵的运算，理解矩阵如何表示线性变换。我们将初步了解线性方程组的求解方法，以及矩阵的特征值和特征向量的意义。线性代数是处理大量数据、建立复杂模型的基础，在计算机图形学、数据科学、人工智能等领域有着核心地位。 全书的学习理念 本书强调“理解”而非“记忆”。每一个概念的引入都力求有直观的解释和生动的类比，每一个公式的推导都力求清晰严谨。我们鼓励读者积极思考，通过解决大量的例题和习题来巩固所学知识，并将数学思想应用于解决现实世界的问题。本书并非为了培养理论家，而是为了培养能够运用数学工具解决实际挑战的思考者。 通过学习本书，你将不仅仅掌握一套数学工具，更重要的是，你将培养一种严谨的逻辑思维方式，一种分析和解决问题的能力，以及一种发现隐藏在事物背后数学规律的洞察力。这门“高等数学”之旅，将为你打开一扇通往更深刻理解世界的大门，让你在面对复杂问题时，能够更加自信和从容。这趟旅程，既是对知识的探索，也是对思维的升华。

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