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页数:236

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出版时间:2009-8

价格:29.00元

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isbn号码:9787564022990

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• 干涉
• 偏振

《微积分的精妙：从基础到应用》 图书简介 面向对象与定位： 本书专为对数学思维抱有浓厚兴趣，并希望系统掌握微积分核心概念与强大应用能力的理工科学生、工程技术人员、经济学研究者以及所有寻求提升抽象思维能力的自学者而设计。它并非仅仅是一本公式的堆砌，而是一部引导读者深入理解极限、导数、积分背后的哲学思想与实际意义的深度指南。我们假定读者具备扎实的高中代数基础，对三角函数和基本函数有清晰的认识，但对微积分的正式体系尚处于探索阶段。 全书结构与核心内容： 本书共分为四个主要部分，层层递进，逻辑严密： 第一部分：极限的奠基——无限的精确控制 本部分是整个微积分大厦的基石。我们从直观感受开始，探讨古代数学家如何处理“无穷小”与“无穷大”的问题，例如对圆周率的逼近。 1.1 函数与极限的直观引入： 介绍函数的概念、函数的分类（多项式、有理函数、超越函数），并通过实例（如斜坡上的速度变化）引入极限的必要性。 1.2 严格的极限定义（ε-δ语言）： 这一节将详尽阐述 $varepsilon-delta$ 定义的精确含义，并通过大量的几何和代数例子进行刻画。我们强调极限不是“趋近于”，而是“可以任意接近”。 1.3 极限的运算法则与基本极限： 涵盖和、差、积、商的极限法则，重点解析 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型不定式的处理技巧，特别是对重要极限 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$ 的严格推导。 1.4 连续性： 基于极限，定义函数的连续性，讨论不同类型的间断点（可去、跳跃、无穷），并阐述中值定理（如介值定理）在连续函数上的应用。 第二部分：导数的革命——瞬时变化的度量 导数是微积分中最具变革性的工具，它将静态的几何问题转化为动态的分析问题。 2.1 瞬时变化率的引入： 从平均变化率到瞬时变化率的过渡，引入割线极限的概念，定义导数的几何意义（切线的斜率）。 2.2 基本求导法则与链式法则： 详细推导幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式。链式法则的推导将采用分解函数链的直观方式，并配以复杂的复合函数实例。 2.3 隐函数求导与参数方程求导： 针对非常规函数形式的处理方法，这对于工程中的坐标变换至关重要。 2.4 导数的应用： 这一块是本书的重点之一。 相关变化率问题： 解决涉及时间或空间相互关联的变化率问题。 最优化问题： 利用一阶和二阶导数寻找函数的极值点（最大值与最小值），并结合实际场景（如利润最大化、材料最小化）。 洛必达法则（L'Hôpital's Rule）： 结合导数对不定式极限进行更高效的求解，并严格论证其适用条件。 函数的图像分析： 利用导数研究函数的增减性、凹凸性、拐点，绘制精确的函数图像。 第三部分：积分的累积——宏观世界的量化 积分是对“累积”和“总和”的数学化处理，是连接微分与几何测量的桥梁。 3.1 黎曼和与定积分的定义： 从计算不规则面积（如抛物线下的面积）出发，系统介绍黎曼和的构建过程，并给出定积分的严格定义。 3.2 牛顿-莱布尼茨公式的证明： 给出微积分基本定理的详尽证明，这是全书的理论高潮，它揭示了微分与积分之间深刻的反向关系。 3.3 不定积分与积分技巧： 深入探讨积分的技巧，包括： 换元积分法（Substitution Rule）： 它是微分链式法则的逆运算。 分部积分法（Integration by Parts）： 基于乘积求导法则的逆推，着重于选择合适的部分进行积分。 有理函数的积分： 详细讲解多项式长除法和部分分式分解。 三角代换与三角恒等式在积分中的应用。 3.4 定积分的应用： 拓宽积分的应用边界。 几何应用： 计算平面区域的面积、旋转体的体积（圆盘法、壳层法）、弧长。 物理应用： 计算功、质心、压力分布。 第四部分：超越极限——序列、级数与泰勒展开 本部分将微积分的视角从单一函数扩展到无限序列和无穷级数，为更高级的数学分析和函数逼近打下基础。 4.1 数列与级数收敛性测试： 介绍通项检验、积分检验、比值检验、根值检验等，区分条件收敛与绝对收敛。 4.2 幂级数与收敛半径： 探讨函数能否被表示为无穷多项式的形式，确定级数有效的区间。 4.3 泰勒与麦克劳林级数： 详细推导这些重要的函数展开式，并讨论其在工程计算和误差估计中的实际价值。通过泰勒级数，读者将能理解如何用多项式精确逼近复杂的初等函数（如 $e^x, sin x$）。 本书的特色与教学理念： 1. 几何直观优先： 每一项新的代数工具引入之前，都伴随着清晰的几何或物理图像来建立直觉理解。 2. 严谨性与应用并重： 既保证了数学定义的严格性，又通过大量贴近现实世界的应用案例（如物理中的阻尼振动、经济学中的边际成本分析）展示其威力。 3. 侧重“为什么”而非“是什么”： 我们致力于解释每一定理背后的数学逻辑和证明思路，而非简单罗列公式，帮助读者构建完整的知识体系。 4. 精心设计的习题体系： 习题分为概念检验、技能训练和综合应用三类，确保读者能够扎实掌握从计算到分析的全部技能。 预期成果： 完成本书的学习后，读者将不仅能熟练运用微积分工具解决复杂问题，更重要的是，将培养起一种“动态变化思维”——能够将任何过程视为变量的微小变化累积的结果，为后续学习微分方程、复变函数或高等数学分析做好最坚实的准备。

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这本书的叙事风格我非常欣赏，它不像很多教材那样枯燥乏味，反而带有一种探索未知世界的兴奋感。作者仿佛是一位经验丰富的向导，他知道我们可能会在哪里迷失方向，所以总会在关键的转折点设置“提示”或“历史背景”的小插曲，这使得学习过程充满了人文关怀。在讲解光与原子相互作用的半经典理论时，那种层层递进的论证过程，充满了说服力，让人感觉每一步推导都是水到渠成的。我发现，这本书对于一些常被忽略的细节处理得尤为到位，比如对吸收光谱和发射光谱的详细对比分析，这在其他教材中往往是一笔带过。总而言之，它是一部既有深度又有温度的著作，阅读它更像是一次与一位博学导师的深度对话，而不是简单的信息灌输。

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对于一个侧重于应用领域的工程师来说，我更看重教材能否提供扎实的工程基础，而这本书在这方面表现得相当出色。它不仅仅局限于纯理论的探讨，而是将理论与实际应用紧密结合。例如，在介绍光纤通信原理时，作者详细分析了模态色散和偏振模色散的数学模型及其对信号传输速率的影响，配图清晰地展示了不同工作模式下的光场分布。这种“理论为应用服务”的编写思路，极大地提高了阅读的效率和兴趣。我发现书中的许多案例都可以直接映射到我目前正在参与的项目中，让我对如何优化光学系统的性能有了更深刻的认识。它不是那种高高在上、只适合理论研究人员的著作，而是一本能真正指导实践的“工具书”，其提供的数学工具箱非常实用且强大。

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阅读体验上，这本教材的排版设计也值得称赞。在处理复杂的光学器件模型时，作者巧妙地运用了多视图的图示方法，例如，对于一个复杂的光学系统，它会先给出系统的宏观示意图，然后分解到关键元件的微观结构图，最后再配以对应的光学传输矩阵。这种多尺度的可视化处理，极大地减轻了大脑处理高维度信息时的负担。相比起我过去读过的几本国外翻译教材，这本书在术语的统一性和概念的本土化处理上做得更出色，没有出现那种生硬、拗口的翻译腔调，使得阅读的流畅性大大提高。它成功地平衡了学术的严谨性与教学的可读性，使得学习光学不再是一件望而生畏的任务，而是一场循序渐进、充满发现的旅程。这本书无疑为我今后的进阶学习打下了极其坚实的基础。

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我必须承认，初次翻开这本书时，我对于其中复杂的数学语言感到了一丝敬畏，但深入阅读后发现，这种“复杂性”实则是对物理世界精确描述的必然要求。作者在处理电磁场与物质相互作用时，所采用的微观图像非常精妙，成功地将量子化的视角融入到了经典的电磁波理论中。特别是关于非线性光学效应的章节，内容涵盖了倍频、参量下转换等前沿领域，信息的密度极高，但排版和图示的配合得当，使得即使是初次接触这些概念的读者，也能通过循序渐进的讲解，逐步掌握其背后的物理机制。这本书的价值不仅仅在于知识的传授，更在于它培养了一种严谨的、基于第一性原理的物理思维方式。我花了不少时间消化吸收其中的细节，但每一次回顾，都能从中挖掘出新的理解层次，这正是一本优秀教材的标志。

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这本关于光的理论著作简直是物理学习者的福音，它以一种令人耳目一新的方式将那些抽象的光学概念具象化。我尤其欣赏作者在处理波动光学部分时所展现出的耐心和深度，他没有停留在仅仅罗列公式的层面，而是通过大量的实例和详尽的推导过程，将偏振、干涉和衍射这些看似高深的现象，化为可以被直观理解的物理图像。书中对傅里叶光学在成像理论中的应用进行了细致的阐述，这对于我后续深入研究图像处理和信息光学至关重要。读完这部分，感觉自己仿佛站在了实验台前，亲手操控着光束，观察着光线在不同介质中的行为。全书的逻辑链条非常严密，从基础的几何光学过渡到精密的物理光学，每一步的衔接都自然流畅，让人在不知不觉中吸收了大量的知识，并且对整个光学领域建立起了一个宏大而完整的知识框架。对于那些想真正弄懂光是如何运作的读者来说，这本书无疑是一座坚实的桥梁。

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