The theory of determinants and their applications, by Robert Forsyth Scott. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Scholarly Publishing Office, University of Michigan Library

作者:Michigan Historical Reprint Series

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-12-20

价格:USD 23.99

装帧:Paperback

isbn号码:9781418182120

丛书系列:

图书标签:

• 行列式
• 线性代数
• 数学
• 矩阵
• 数学分析
• 高等数学
• Scott
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《行列式的理论及其应用》 作者：罗伯特·福赛思·斯科特 (Robert Forsyth Scott) 引言 《行列式的理论及其应用》是一部关于数学中一个 fundamental 概念——行列式的经典著作。作者罗伯特·福赛思·斯科特以其严谨的数学推理和清晰的阐述，系统地梳理了行列式理论的发展脉络，并深入探讨了其在数学及相关领域的广泛应用。本书不仅是初学者理解行列式概念的理想入门读物，也是数学研究者深入探究该领域的重要参考。 第一部分：行列式理论的基础 本书的第一部分旨在为读者构建一个坚实的理论基础，详细讲解行列式的定义、性质及其核心概念。 行列式的定义与初步性质： 作者首先从最基础的二阶和三阶行列式开始，逐步引入n阶行列式的定义。通过排列和符号的概念，清晰地阐述了行列式作为多线性映射的本质。读者将学习到如何计算不同阶数的行列式，并初步了解其一些直观的几何意义，例如二阶行列式代表平行四边形的面积，三阶行列式代表平行六面体的体积。 代数余子式与代数补： 引入代数余子式和代数补的概念是理解行列式计算和性质的关键。斯科特教授详细解释了如何通过削除某一行和某一列来获得余子式，以及如何利用代数余子式来展开行列式，从而简化高阶行列式的计算。这为后续的理论推导奠定了基础。 行列式的基本性质： 本节将系统地梳理行列式的核心性质。包括： 行（列）互换性： 交换两行（列）会改变行列式的符号。 倍数性： 将某一行（列）乘以一个常数，则行列式也乘以该常数。 可加性： 某一行（列）的元素是两个数的和时，行列式可以分解。 零行（列）性质： 包含全零行（列）的行列式等于零。 相等行（列）性质： 包含全等的两行（列）的行列式等于零。 行（列）的线性组合： 某一行（列）是其他行（列）的线性组合时，行列式等于零。 行列式等于其转置行列式： `det(A) = det(A^T)`。 这些性质不仅有助于理解行列式的计算，更是证明更复杂定理的基石。 行列式的展开定理（拉普拉斯展开）： 详细阐述了拉普拉斯展开定理，即通过代数余子式将一个n阶行列式展开为一个n个n-1阶行列式的和。这将使读者能够系统地将高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算，从而实现递归计算。 克莱姆法则 (Cramer's Rule)： 克莱姆法则提供了一种利用行列式求解线性方程组的方法。本书将详细推导克莱姆法则，并解释其条件和局限性。尽管在实际计算中，克莱姆法则并非最高效的求解方法，但它在理论上具有重要的意义，并为理解矩阵的逆等概念提供了过渡。 行列式作为矩阵的行列式： 将行列式的概念与矩阵紧密联系起来。定义方阵的行列式，并强调行列式是描述方阵性质的一个重要数值特征。 第二部分：行列式的进阶理论与证明 在掌握了行列式基础后，本书的第二部分将深入探讨一些更高级的理论和证明技巧，为理解行列式的深刻内涵提供更广阔的视角。 行列式的乘法定理： 证明并深入探讨行列式的乘法定理：`det(AB) = det(A)det(B)`。这个定理是行列式理论中最重要的定理之一，它揭示了两个矩阵乘积的行列式与其各自行列式的关系，在后续的矩阵理论和线性代数应用中起着至关重要的作用。 矩阵的逆与行列式： 讨论了矩阵的逆与行列式之间的关系。例如，一个方阵可逆的充要条件是其行列式不为零。本书将详细推导证明这一结论，并介绍如何利用代数余子式来计算矩阵的逆。 初等变换与行列式： 分析了初等行（列）变换对行列式的影响。理解初等变换如何改变行列式的符号和值，有助于将复杂矩阵转化为更易于处理的形式，从而简化行列式的计算。例如，通过行变换可以将矩阵化为上（下）三角矩阵，此时行列式即为主对角线元素的乘积。 行列式式的几何解释（体积与线性变换）： 深入挖掘行列式的几何意义。作者将通过向量空间的视角，解释行列式的绝对值代表了由矩阵列（或行）向量构成的平行多面体的体积。同时，行列式也反映了线性变换对空间体积的缩放比例。 行列式的符号证明： 探讨使用行列式的性质来证明一些抽象的数学命题。这部分内容将展示行列式不仅仅是一个计算工具，更是一种强大的证明工具。 第三部分：行列式的应用 本书的第三部分将重点介绍行列式在各个数学分支以及其他领域的实际应用，展现行列式的广泛价值。 求解线性方程组： 除了克莱姆法则，本书还将介绍如何利用行列式与矩阵的逆来求解线性方程组，以及其在数值分析中的意义。 特征值与特征向量： 行列式在计算矩阵的特征值和特征向量中扮演着核心角色。求解特征方程 `det(A - λI) = 0` 是找到特征值的第一步。本书将详细讲解这一过程。 线性空间与基变换： 在线性空间理论中，行列式用于度量向量组的线性无关性，以及在基变换时度量坐标变换矩阵的性质。 几何学中的应用： 面积与体积计算： 如前所述，行列式可以直接用于计算平面图形的面积和三维物体的体积。 点、线、面方程的表示： 在解析几何中，行列式可以用来表示直线、平面方程，以及判断点是否共线、三点是否共线等。例如，三点 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ 共线的条件可以表示为： $$ egin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ x_3 & y_3 & 1 end{vmatrix} = 0 $$ 高等数学中的应用： 雅可比行列式 (Jacobian Determinant)： 在多元函数微积分中，雅可比行列式是进行多重积分变量替换的关键。它表示了函数变换对微小区域面积（或体积）的缩放比例。本书将介绍雅可比行列式的定义、计算方法及其在积分中的应用。 微分方程： 在求解线性常微分方程组时，行列式也扮演着重要角色，例如用于判断特征方程的根。 物理学与工程学中的应用： 电路分析： 在分析复杂的电路网络时，可以利用行列式来求解电流和电压。 力学： 在弹性力学、流体力学等领域，行列式也用于描述某些物理量的关系。 信号处理： 在某些信号处理算法中，行列式也可能出现。 结论 《行列式的理论及其应用》通过由浅入深、由理论到实践的逻辑安排，为读者构建了一个全面而深刻的行列式知识体系。作者不仅严谨地推导了行列式的各项性质和定理，更重要的是，他清晰地展现了行列式作为一种强大的数学工具，如何在数学的多个分支以及物理、工程等领域发挥着不可替代的作用。本书的价值在于其理论的严谨性、阐述的清晰性以及应用的广泛性，使其成为任何对线性代数和数学应用感兴趣的读者所不容错过的经典之作。它鼓励读者不仅仅将行列式视为一个抽象的数学概念，更能将其理解为一个能够解决实际问题的有力武器。

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