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出版者:

作者:宋繼環 編

出品人:

頁數:171

译者:

出版時間:2009-8

價格:29.80元

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isbn號碼:9787811247688

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圖書標籤:

• 高等數學
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• 數學分析
• 微積分
• 函數

《高等數學》（含練習冊）—— 探索數學的深度與廣度 前言 數學，作為人類文明的基石，是理解世界、驅動科學進步的強大工具。它以其嚴謹的邏輯、精妙的結構，連接著抽象的思辨與生動的現實。當我們深入探索數學的奧秘，便會開啓一扇通往更廣闊知識領域的大門。本書《高等數學》（含練習冊）正是為渴望在數學領域進行更深層次學習的讀者量身打造的。本書力求以係統、清晰、富有啓發性的方式，引導讀者穿越抽象的數學符號，抵達其背後蘊含的深刻思想與應用。 第一部分：微積分——變化與無限的語言 微積分，作為高等數學的核心，是描述和分析變化過程的強大工具。它如同數學的“顯微鏡”，能夠捕捉瞬息萬變的現象，理解事物發展的規律。 第一章：函數與極限 函數的概念與性質: 本章將對函數的概念進行 rigorous 的梳理，包括函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性等基本性質。我們將通過豐富的實例，展示不同類型函數（多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數等）的特性及其在實際問題中的應用，如物理模型的描述、經濟增長的預測等。 數列的極限: 數列是函數在離散點上的體現。本章將嚴謹定義數列的極限，並介紹無窮小、無窮大等重要概念。我們將學習判斷數列極限存在性的方法，如單調有界定理，並探討夾逼定理等工具，為後續的函數極限奠定基礎。 函數的極限: 這是微積分的基石。我們將詳細闡述函數的左極限、右極限以及雙側極限的概念，並給齣 ε-δ 定義，讓讀者深刻理解極限的嚴格含義。我們將研究各種類型的極限，包括無窮大量、無窮小量的極限，以及特定情況下極限的存在性與計算方法。通過對極限的深入理解，我們可以窺探函數在趨近某一點時的“行為”。 無窮小與無窮大: 這兩個概念是理解極限行為的關鍵。本章將深入分析無窮小與無窮大的性質，以及它們之間的關係。我們將學習如何利用無窮小的比較（如同階無窮小、高階無窮小、低階無窮小）來簡化極限的計算，並理解如何處理包含無窮小或無窮大的復雜錶達式。 極限的運算法則: 為瞭方便計算，本章將係統介紹極限的四則運算法則。我們將通過大量例題，展示如何運用這些法則來求解各種復雜函數的極限，包括利用因式分解、有理化、重要極限等技巧。 第二章：導數與微分 導數的概念與幾何意義: 導數是描述函數變化率的根本工具。本章將從函數增量的比值齣發，引入導數的定義，並從幾何上理解導數作為麯綫切綫斜率的意義。我們將探討可導性與連續性的關係。 導數的計算: 掌握導數的計算是微積分應用的基礎。本章將係統介紹基本初等函數的導數公式，並詳細講解導數的四則運算法則、復閤函數求導法則（鏈式法則）以及隱函數求導法、參數方程求導法等。 微分及其運算法則: 微分是導數在 infinitesimal（無窮小）層次上的體現。本章將介紹微分的概念、微分的幾何意義，以及微分的運算法則。我們將理解微分與導數的關係，以及微分在近似計算中的應用。 高階導數: 許多實際問題需要分析變化的“變化率”，這便是高階導數的應用。本章將介紹二階導數、三階導數乃至任意階導數的概念和計算方法，並初步探討高階導數在描述麯綫形狀（如凹凸性）中的作用。 微分中值定理: 微分中值定理是連接函數值與其導數的重要橋梁。本章將重點講解羅爾定理、拉格朗日中值定理以及柯西中值定理。我們將理解這些定理的幾何意義和理論價值，並學習它們在證明其他數學命題中的應用。 第三章：導數的應用 函數單調性與極值: 導數能夠揭示函數的增減趨勢。本章將利用一階導數判斷函數的單調性，並結閤極值判彆法（一階導數判彆法和二階導數判彆法）找到函數的局部最大值和最小值。 函數凹凸性與拐點: 高階導數則能描述函數的彎麯程度。本章將利用二階導數判斷函數的凹凸性，並找到函數的拐點。 函數圖形的繪製: 結閤單調性、極值、凹凸性、拐點以及漸近綫的分析，本章將引導讀者掌握繪製復雜函數圖形的係統方法，從而直觀地理解函數的整體形態。 麯率與漸近綫: 本章將進一步拓展導數的應用，介紹麯率的概念，它描述瞭麯綫彎麯的程度，以及如何計算和判斷麯綫的水平漸近綫、垂直漸近綫和斜漸近綫。 洛必達法則: 對於含未定式（如0/0，∞/∞）的極限，洛必達法則提供瞭一種高效的求解方法。本章將詳細介紹洛必達法則的條件和應用，並通過大量例子展示其在極限計算中的威力。 經濟學中的應用: 微積分在經濟學中有著廣泛的應用，本章將介紹邊際産量、邊際成本、平均成本、利潤最大化等概念，展示微積分如何幫助經濟學傢分析和優化經濟決策。 第四章：不定積分 不定積分的概念與性質: 不定積分是導數的逆運算。本章將定義不定積分，並介紹其基本性質，如綫性性質。我們將理解不定積分代錶著一族函數。 基本積分公式: 本章將列舉常用的基本積分公式，涵蓋瞭常見初等函數的積分。 積分方法: 掌握各種積分方法是解決不定積分問題的關鍵。本章將詳細講解換元積分法（第一類和第二類）和分部積分法，並通過大量例題展示如何靈活運用這些方法。 有理函數的積分: 對於復雜的有理函數，本章將介紹部分分式分解法，將其轉化為若乾個易於積分的簡單有理函數之和。 第五章：定積分 定積分的概念與性質: 定積分是描述函數在某個區間上“麵積”或“纍積量”的重要工具。本章將通過黎曼和的定義，引入定積分的概念，並探討其基本性質，如綫性性質、區間可加性等。 牛頓-萊布尼茨公式: 這是定積分計算的核心定理。本章將詳細闡述牛頓-萊布尼茨公式（也稱微積分基本定理），展示如何利用不定積分來計算定積分，極大地簡化瞭定積分的計算過程。 定積分的計算: 在掌握瞭牛頓-萊布尼茨公式後，本章將進一步學習各種復雜的定積分計算技巧，包括利用換元法、分部積分法等計算定積分，以及處理瑕積分。 定積分的應用: 定積分的應用極其廣泛。本章將展示定積分在計算幾何圖形的麵積、體積（鏇轉體體積、肋體體積）、弧長、麯麵麵積、質心、轉動慣量等方麵的應用。同時，也將介紹其在物理學（如功、壓力、流體動力學）和概率論（如概率密度函數）中的應用。 第二部分：多元函數微積分——更高維度的探索 當我們將視角從二維平麵擴展到三維空間乃至更高維度時，就需要多元函數微積分來描述和分析多變量之間的復雜關係。 第六章：多元函數微分學 空間解析幾何: 在進入多元函數之前，本章將迴顧和拓展空間解析幾何的基礎知識，包括嚮量、直綫、平麵方程、二次麯麵（球麵、橢球麵、拋物麵、雙麯麵等）的方程和幾何性質。 多元函數的概念: 本章將定義多元函數，特彆是二元函數，以及它們的定義域、圖像（麯麵）等。 偏導數: 偏導數是衡量多元函數沿某一坐標軸方嚮變化率的工具。本章將詳細定義偏導數，並介紹其計算方法，以及二階偏導數。 全微分: 全微分是描述多元函數整體變化率的概念。本章將定義全微分，並學習其計算方法，以及全微分在近似計算中的應用。 方嚮導數與梯度: 方嚮導數描述瞭函數沿任意方嚮的變化率，而梯度則是函數增長最快的方嚮及其速率。本章將深入講解方嚮導數和梯度的概念、計算及其幾何意義。 多元復閤函數求偏導數: 類似於單變量函數的鏈式法則，本章將推導和應用多元復閤函數求偏導數，處理形如 $z = f(u,v)$ 且 $u = u(x,y), v = v(x,y)$ 的情況。 隱函數與隱函數求導: 本章將介紹隱函數的概念，並學習如何利用偏導數來求隱函數的導數。 泰勒公式: 類似於單變量函數的泰勒公式，本章將介紹多元函數的泰勒公式，用於函數在某點附近的近似展開。 極值與最優化: 本章將研究多元函數的極值問題，包括局部極值和全局極值，並學習如何利用偏導數來尋找極值點。同時，將介紹條件極值問題，並講解拉格朗日乘數法。 第七章：多元函數積分學 二重積分: 二重積分是描述平麵區域上函數“體積”或“質量”的工具。本章將定義二重積分，並介紹其性質。 二重積分的計算: 本章將重點講解如何計算二重積分，包括利用直角坐標係和極坐標係下的積分方法。我們將學習如何根據被積函數和積分區域的形狀來選擇閤適的坐標係和積分次序。 二重積分的應用: 二重積分在計算平麵區域的麵積、麯麵的麵積、物體的質心、轉動慣量等方麵有著重要的應用。 三重積分: 三重積分是描述空間區域上函數“超體積”或“總質量”的工具。本章將定義三重積分，並講解其計算方法，包括在直角坐標係、柱坐標係和球坐標係下的積分。 三重積分的應用: 三重積分在計算空間區域的體積、質量、質心、轉動慣量等方麵有廣泛應用。 第八章：嚮量場 嚮量場的概念: 本章將介紹嚮量場的概念，以及常見的嚮量場類型，如力場、速度場等。 散度與鏇度: 散度描述瞭嚮量場在某點處的“源”或“匯”的強度，而鏇度則描述瞭嚮量場在該點處的“渦鏇”程度。本章將定義散度和鏇度，並學習其計算和幾何意義。 綫積分: 綫積分是沿著麯綫對嚮量場進行積分。本章將定義第一類麯綫積分（標量函數沿著麯綫積分）和第二類麯綫積分（嚮量場沿著麯綫積分），並學習其計算方法。 格林公式: 格林公式是連接平麵區域上的二重積分與區域邊界上的綫積分的重要定理。本章將詳細闡述格林公式，並展示其在簡化計算和理論證明中的應用。 麯麵積分: 麯麵積分是沿著麯麵對嚮量場進行積分。本章將定義第一類麯麵積分（標量函數沿著麯麵積分）和第二類麯麵積分（嚮量場沿著麯麵積分），並學習其計算方法。 高斯公式（散度定理）: 高斯公式連接瞭空間區域上的三重積分與區域邊界麯麵上的麯麵積分。本章將詳細闡述高斯公式，並展示其在物理學（如電磁學、流體力學）中的重要應用。 斯托剋斯公式: 斯托剋斯公式連接瞭空間區域上的麯麵積分與該麯麵邊界上的綫積分。本章將詳細闡述斯托剋斯公式，並展示其在物理學和幾何學中的應用。 第三部分：級數——無限求和的藝術 級數是研究無窮多項之和的數學工具，它在函數逼近、數值計算和許多數學理論中扮演著核心角色。 第九章：數列與級數 數列的收斂性: 迴顧和深化數列極限的概念，重點關注數列的收斂與發散。 級數的概念: 本章將引入級數的概念，即無窮數列的和。我們將定義級數的收斂與發散，以及部分和數列。 收斂性判彆法: 掌握判斷級數收斂性的方法至關重要。本章將介紹正項級數的判彆法，如比較判彆法、比值判彆法、根值判彆法和積分判彆法。 斂散性: 重點討論級數的斂散性概念，理解何時無窮多項的和能夠得到一個有限的值。 任意項級數: 本章將引入交錯級數，並介紹萊布尼茨判彆法。同時，我們將討論絕對收斂與條件收斂的區彆。 第十章：冪級數與泰勒級數 冪級數: 冪級數是一種特殊的函數項級數，形式為 $sum_{n=0}^{infty} a_n (x-x_0)^n$。本章將討論冪級數的收斂域和收斂半徑，以及如何在收斂域內進行運算。 函數展開為冪級數: 許多重要的函數（如指數函數、三角函數、對數函數）都可以展開為冪級數。本章將介紹如何將函數展開為冪級數。 泰勒級數與麥剋勞林級數: 泰勒級數是利用函數及其各階導數在某點的值來展開函數的一種方法。麥剋勞林級數是泰勒級數在 $x_0=0$ 處的特殊情況。本章將詳細講解泰勒級數的展開式，以及如何利用泰勒級數來近似計算函數值和求解微分方程。 級數的應用: 級數在數值計算、函數逼近、求解微分方程等領域有著廣泛的應用。 練習冊 本書配套的練習冊包含瞭大量精心設計的習題，覆蓋瞭本書各章節的內容。每道習題都力求體現理論知識的應用，並涵蓋不同難度和類型，旨在幫助讀者： 鞏固理論知識: 通過練習，加深對抽象概念的理解。 熟練計算技巧: 掌握各種數學運算的技巧和方法。 培養解題能力: 學習如何分析問題、選擇閤適的方法並得齣正確結論。 拓展思維: 遇到一些具有挑戰性的題目，激發解決問題的熱情和創造力。 練習冊中的題目類型包括： 概念辨析題: 檢驗對基本概念的理解。 計算題: 訓練熟練的計算能力。 證明題: 培養邏輯推理和嚴謹證明的能力。 應用題: 將理論知識應用於實際問題。 綜閤題: 考察綜閤運用多項知識解決復雜問題的能力。 結語 《高等數學》（含練習冊）旨在為讀者提供一個係統、深入的數學學習平颱。本書不僅注重理論的嚴謹性，更強調數學思想的啓發性與應用性。通過理論學習與大量練習的結閤，我們相信讀者能夠在這個充滿挑戰與魅力的數學世界中，獲得知識的提升，培養嚴謹的思維，並為未來在科學、工程、經濟等領域的學習和工作打下堅實的基礎。我們鼓勵讀者帶著探索的精神，沉浸在這趟數學之旅中，發現數學的無限可能。

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