An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Birkhäuser Basel

作者:Marek Kuczma

出品人:

页数:609

译者:

出版时间:2008-12-18

价格:USD 99.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783764387488

丛书系列:

图书标签:

数学
Functional Equations
Inequalities
Mathematical Analysis
Theory
Mathematics
Higher Education
Academic
Problem Solving
Advanced Mathematics
Real Analysis

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具体描述

Marek Kuczma was born in 1935 in Katowice, Poland, and died there in 1991. After finishing high school in his home town, he studied at the Jagiellonian University in KrakA3w. He defended his doctoral dissertation under the supervision of Stanislaw Golab. In the year of his habilitation, in 1963, he obtained a position at the Katowice branch of the Jagiellonian University (now University of Silesia, Katowice), and worked there till his death. Besides his several administrative positions and his outstanding teaching activity, he accomplished excellent and rich scientific work publishing three monographs and 180 scientific papers. He is considered to be the founder of the celebrated Polish school of functional equations and inequalities. "The second half of the title of this book describes its contents adequately. Probably even the most devoted specialist would not have thought that about 300 pages can be written just about the Cauchy equation (and on some closely related equations and inequalities). And the book is by no means chatty, and does not even claim completeness. Part I lists the required preliminary knowledge in set and measure theory, topology and algebra. Part II gives details on solutions of the Cauchy equation and of the Jensen inequality ...], in particular on continuous convex functions, Hamel bases, on inequalities following from the Jensen inequality ...]. Part III deals with related equations and inequalities (in particular, Pexider, HosszA, and conditional equations, derivations, convex functions of higher order, subadditive functions and stability theorems). It concludes with an excursion into the field of extensions of homomorphisms in general." (Janos Aczel, Mathematical Reviews) "This book is a real holiday for all the mathematicians independently of their strict speciality. One can imagine what deliciousness represents this book for functional equationists." (B. Crstici, Zentralblatt fA1/4r Mathematik)

数学的探索之旅：从方程到不等式的深刻洞察这本书并非关于某个特定领域的深入研究，而是带领读者踏上一段广阔的数学探索之旅。它旨在勾勒出数学研究中两个核心且富有活力的分支——函数方程与不等式——的基本思想、重要概念以及它们之间的深刻联系。本书并非提供一个特定数学对象的详尽列表，而是聚焦于理解这些数学工具的普适性和力量。函数方程：探索数学结构的内在规律函数方程是数学中最基本也最迷人的领域之一。它们研究的不是孤立的函数值，而是函数本身所遵循的内在规律。想象一下，我们不是在解一个简单的 $f(x) = 2x + 1$ 这样的方程，而是去探究一类满足特定关系的函数。例如，著名的柯西方程 $f(x+y) = f(x) + f(y)$，它揭示了线性函数的本质。本书将从这类基础问题入手，逐步引导读者理解不同类型的函数方程，例如：加法型函数方程：如柯西方程及其变种，它们通常与线性、同态等概念紧密相连。我们将探讨其不同定义域上的解，以及一些重要的推广。乘法型函数方程：例如 $f(xy) = f(x) + f(y)$，这与对数函数的性质息息相关。迭代型函数方程：如 $f(f(x)) = x$ 或 $f(f(x)) = g(x)$，它们揭示了函数复合的深刻性质，并与动力系统、遍历理论等领域有所关联。其他类型的函数方程：包括涉及偏导数、积分等更复杂的方程，这些方程在物理、工程和金融等领域有着广泛的应用。本书不会列举所有已知的函数方程，而是通过分析代表性的方程，揭示求解函数方程的通用方法和策略。我们将学习如何利用函数的性质（如连续性、单调性、有界性）、代数技巧、以及逻辑推理来构造或证明函数解的存在性与唯一性。其中，对定义域和值域的细致考量，以及对特殊函数（如指数函数、对数函数、三角函数）在方程中的作用的理解，将是本书的重要组成部分。不等式：衡量与限制数学对象的边界不等式是数学中另一个不可或缺的工具，它为我们提供了衡量、比较和限制数学对象大小或性质的手段。与方程追求精确的等价关系不同，不等式关注的是关系的“方向”和“范围”。本书将深入探讨不等式的世界，涵盖：基本不等式：如算术-几何平均不等式 (AM-GM)、三角不等式、柯西-施瓦茨不等式等，它们是许多高级不等式推导的基础。我们将分析这些不等式的几何意义、代数证明以及它们在各种数学问题中的应用。变量的不等式：探索在不同变量条件下，不等式成立的范围和条件。这可能涉及到单变量、多变量函数的不等式，以及对参数的讨论。函数的不等式：研究函数与函数之间、函数值与常数之间的不等关系。例如，比较两个函数的大小，或确定一个函数的值域。极值问题与不等式：不等式在寻找函数的最大值或最小值问题中扮演着至关重要的角色。我们将学习如何利用不等式来界定函数的取值范围，从而推导出极值。证明不等式的技巧：本书将介绍多种证明不等式的通用方法，例如：代数方法：如配方法、变量替换、均值不等式、归纳法等。几何方法：利用几何图形的性质来证明不等式。微积分方法：利用导数来分析函数的单调性，从而证明不等式。分析方法：利用序列、极限等概念来证明不等式。本书不会罗列大量独立的不等式证明，而是侧重于传授证明不等式的核心思想和常用工具。我们将强调如何将抽象的不等式问题转化为更易于处理的代数或几何问题，并如何运用逻辑推理来构建完整的证明链。函数方程与不等式的交融：深刻的数学洞察本书的独特之处在于，它不仅仅分别探讨函数方程和不等式，更重要的是揭示它们之间千丝万缕的联系。许多函数方程的求解过程离不开不等式的应用，而很多不等式的证明也需要借助函数方程的性质。例如：利用不等式求解函数方程：有时，直接求解函数方程可能很困难，但我们可以通过构造合适的不等式来限制函数的行为，从而推导出其形式。利用函数方程证明不等式：一些具有良好性质的函数方程（如线性、凸性）可以被用来证明一系列相关的不等式。共同的研究领域：许多数学领域，如最优化、逼近论、概率论、信息论等，都同时需要函数方程和不等式的工具。本书将通过一些实际的例子，展示这种跨领域的应用。本书的目的是帮助读者建立起一种整体的数学观。它鼓励读者在面对一个数学问题时，能够灵活地运用函数方程和不等式这两种强大的数学语言，去理解问题的本质，寻找解决方案。本书提供的是一个框架，一个思维方式，一套工具，而真正的数学发现，则需要读者在阅读和思考的过程中，用自己的智慧去填补和拓展。本书的学习者不需要具备某个特定领域的深厚背景，但需要对基础数学概念（如函数、集合、逻辑等）有一定的理解。本书的目标读者可能是对数学充满好奇心的学生，也可能是希望拓宽数学视野的研究者。它将为那些渴望深入理解数学内在逻辑和解决复杂问题的人提供一份宝贵的指引。