Asymptotic Theory of Elliptic Boundary Value Problems in Singularly Perturbed Domains pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Nazarov, Serguei

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页数:454

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价格:$ 281.37

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isbn号码:9783764363970

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图书标签:

• Asymptotic Analysis
• Elliptic Equations
• Boundary Value Problems
• Singular Perturbations
• Domain Decomposition
• Partial Differential Equations
• Mathematical Analysis
• Numerical Analysis
• Applied Mathematics
• Differential Equations

《奇异摄动域中椭圆边值问题的渐近理论》 图书简介 本书深入探讨了奇异摄动域中椭圆边值问题（Elliptic Boundary Value Problems in Singularly Perturbed Domains）的渐近理论。奇异摄动问题的核心在于其参数（摄动参数）趋于零时，问题的解会表现出剧烈的变化，通常伴随着边界层、内部层等复杂的结构。这类问题在流体力学、化学反应工程、弹性力学、电磁学等诸多科学和工程领域有着广泛的应用。 本书旨在为读者提供一个全面而系统的理论框架，用以理解和分析在包含“细长”、“尖锐”或“边界处几何畸变严重”等奇异特征的区域内定义的椭圆型方程的边值问题。这些区域，即奇异摄动域，使得传统的数值方法和分析方法面临巨大挑战。 核心内容与结构： 本书的结构设计旨在循序渐进地引导读者掌握奇异摄动域中椭圆边值问题的渐近分析技术。 第一部分：基础理论与经典摄动方法 引论： 详细介绍奇异摄动问题的背景、重要性及其在不同学科中的应用实例。阐述在奇异摄动域中分析边值问题的挑战，以及渐近理论的必要性。 椭圆型方程与边值问题回顾： 简要回顾线性椭圆型方程的基本理论，包括狄利克雷（Dirichlet）、诺依曼（Neumann）和罗宾（Robin）边值条件的定义与性质。复习一些标准区域上的解的存在性、唯一性等基本结果，为后续奇异摄动分析奠定基础。 经典摄动方法： 介绍用于处理参数小的方程的经典渐近方法，如外展开（Outer Expansion）和内展开（Inner Expansion）。详细阐述如何构建渐近展开式，并解释这些展开式如何描述问题的渐近行为。 第二部分：奇异摄动域的几何特征与空间构造 奇异摄动域的分类与描述： 详细分析和分类各类奇异摄动域，例如： 细长区域（Slender Domains）： 区域的一个维度远小于其他维度，例如一个非常细长的矩形或管道。 尖角区域（Domains with Sharp Corners）： 区域包含尖锐的角点，尤其是在这些角点附近，可能存在解的奇点性行为。 带有小孔洞的区域（Domains with Small Holes）： 区域内部包含尺寸趋于零的孔洞。 边界光滑性被破坏的区域（Domains with Degenerate Boundaries）： 区域边界可能存在渐近趋于光滑或出现“突变”的情况。 特殊函数空间： 介绍为处理奇异摄动域和边界层现象而发展起来的特殊函数空间，如指数加权空间、对数加权空间等，以及它们在分析中的作用。 多尺度分析方法： 介绍多尺度分析（Multiscale Analysis）的思想，特别是如何结合不同尺度的分析来描述解的整体行为和局部细节，包括全局尺度和局部（边界层）尺度。 第三部分：奇异摄动域中椭圆边值问题的渐近分析技术 边界层理论（Boundary Layer Theory）： 深入分析摄动参数趋于零时，解在区域边界附近产生的快速变化，即边界层。详细介绍如何识别边界层的存在、宽度和强度，以及如何构建边界层修正项（Boundary Layer Correction Terms）。 内部层与奇点理论（Internal Layer and Singularity Theory）： 探讨在区域内部可能出现的类似边界层的现象（内部层），以及在尖角等几何奇点处解的奇点行为。 渐近展开式的构造与证明： 详细演示如何系统地构造不同类型的渐近展开式，包括外展开、内展开以及将它们有效连接的匹配方法（Asymptotic Matching）。重点阐述如何严格证明这些展开式的有效性，即证明渐近解与真实解之间的误差估计。 特征值问题（Eigenvalue Problems）： 讨论在奇异摄动域中，带有摄动参数的椭圆型特征值问题的渐近分析，包括特征值和特征函数的渐近行为。 第四部分：具体应用与案例分析 多孔介质中的流动问题： 分析在具有复杂几何形状（如细小通道网络）的多孔介质中流体流动方程的奇异摄动性质。 薄壳理论（Thin Shell Theory）： 阐述如何将奇异摄动理论应用于分析薄壳结构的力学行为，其中厚度参数的微小是典型的摄动。 电磁学与微波工程： 探讨在包含细小结构的微波器件或电磁散射问题中，奇异摄动方法如何用于分析和设计。 传热与传质问题： 分析在具有复杂边界几何或包含微小扰动的传热传质过程中，解的渐近行为。 本书特色： 理论严谨性： 本书注重理论的严谨性，在介绍各种渐近方法的同时，也强调其数学基础和误差分析。 系统性与全面性： 覆盖了奇异摄动域中椭圆边值问题研究的多个方面，从基础理论到具体应用，形成了一个完整的知识体系。 方法论指导： 详细阐述了多种分析技术，为研究人员提供解决实际问题的思路和工具。 丰富的实例： 通过多个跨学科的应用案例，直观地展示了奇异摄动理论的强大生命力。 目标读者： 本书适合从事偏微分方程、应用数学、物理学、工程学（如航空航天、机械工程、土木工程、化学工程、电子工程）等领域的研究生、博士后以及相关领域的专业研究人员阅读。也适合希望深入了解奇异摄动问题分析方法的数学和工程学者。 通过阅读本书，读者将能够深刻理解奇异摄动域中椭圆边值问题的复杂性，掌握一套强大的分析工具，从而能够有效地研究和解决现实世界中遇到的各种具有奇异摄动特性的数学物理问题。

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这本书带给我的感觉是肃穆而令人兴奋的。它像是一座宏伟的数学知识殿堂，需要一步一个脚印地攀登。我尤其赞赏作者在构建理论框架时所展现出的百科全书式的知识广度，从泛函空间的选择到合适的拓扑结构设定，每一步都是经过深思熟虑的。在研读过程中，我发现自己不仅仅是在学习如何解题，更是在理解一个数学理论体系是如何从零开始，通过严密的公理化和构造过程建立起来的。那些看似抽象的符号和定理，在作者的引导下，逐渐具象化为对真实世界中复杂边界现象的精确刻画。对于任何希望在微分方程领域深入研究，特别是关注边界层、激波或界面问题的学者来说，这本书绝对是案头不可或缺的参考书，它提供的理论深度和广度，足以支撑多年的后续研究。

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老实说，这本书的阅读门槛不低，它绝对不是一本可以轻松翻阅的休闲读物。它更像是一部需要反复研磨的经典。当我第一次尝试理解其中关于自由边界问题演化的章节时，我不得不停下来，查阅了许多前置知识，甚至需要回头去重温一些高等分析的细节。但这正是它的价值所在——它强迫你走出舒适区，去接触那些最前沿、最核心的数学难题。我注意到，作者在引言和结论中对未来研究方向的展望，充满了洞察力和远见。他不仅解决了当下存在的问题，更像是为后来的研究者铺设了一条通往更广阔数学疆域的桥梁。每次合上书本，我都能感觉到自己的数学思维又得到了一次极大的拓展和淬炼，那种智力上的充实感，是其他很多材料无法比拟的。

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这本书的语言风格是教科书式的典范，清晰、精确，极少使用花哨的辞藻，所有论述都直指核心。然而，正是这种极致的理性表达，反而凸显了问题的深刻性。在处理那些涉及物理直觉的边界行为时，作者总是能用最简洁的数学语言，将其转化为可操作的、可证明的命题。我个人对书中关于“结构稳定性”的讨论印象深刻，它解释了为什么在小扰动下，系统的解并不会发生灾难性的变化，而是表现出一种内在的韧性。这种对稳定性的深层剖析，使得原本复杂的数学模型有了一种坚实的物理基础。如果用一个比喻来说，这本书就像是一份精密的外科手术指南，每一步的切割和缝合都必须精确无误，容不得半点马虎，但最终呈现出来的，是一个完美无瑕的数学构造。

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这本书的结构安排极其巧妙，从基础概念的引入，到复杂模型的建立，再到最终的渐近展开，每一步都环环相扣，逻辑链条严密到几乎没有一丝空隙。我特别欣赏作者在处理那些“奇异”区域时所展现出的耐心和精确性。那些在传统分析方法下显得异常棘手的边界层问题，在本书的处理下，仿佛被一层层剥开，露出了其内在的简单本质。这种“化繁为简”的能力，绝非易事，它需要作者对变分法、泛函分析以及复变函数等多个领域都有着炉火纯青的驾驭能力。对我而言，最震撼的莫过于看到那些高维、非线性体系，在经过精妙的正则化和渐近处理后，能够回归到相对容易处理的常微分方程组，这种降维打击的数学美学，令人拍案叫绝。阅读体验是需要沉浸和消化的，它要求读者放下浮躁，全神贯注地与作者进行一场深刻的智力对话。

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这部著作的标题听起来就充满了深邃的数学美感，让人联想到那些在无穷远处展现出精妙规律的数学结构。我记得刚翻开这本书时，就被它严谨的逻辑和对复杂问题的深刻洞察力所吸引。作者似乎有一种魔力，能将那些看似杂乱无章的边界条件和微小扰动，梳理成一条清晰可见的数学轨迹。阅读过程中，我仿佛跟着作者的笔触，穿越了不同的数学空间，每一次证明的推导都像是雕琢一件艺术品，每一个公式的出现都恰到好处，为最终的结论奠定了坚实的基础。它不仅仅是提供了一套解决特定问题的工具箱，更重要的是，它培养了一种看待问题的全新视角——如何在看似不连续的物理或数学现象中，捕捉到隐藏在背后的渐近和谐。对于那些长期在偏微分方程领域摸索的人来说，这本书无疑是一盏指路明灯，它解答了许多困扰已久的疑难，并提出了更深层次的思考方向。

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