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出版者:

作者:Faith, Carl; Page, Stanley;

出品人:

頁數:176

译者:

出版時間:1984-4

價格:$ 61.02

裝幀:

isbn號碼:9780521277389

叢書系列:

圖書標籤:

• 環論
• 代數
• 抽象代數
• 域論
• 多項式環
• 理想論
• 模論
• 交換代數
• 代數結構
• FPF環

《抽象代數基礎：群、環與域》 本書旨在為讀者提供一個堅實的抽象代數基礎，係統地介紹群論、環論和域論這三個核心概念。我們從最基礎的代數結構——群——開始，循序漸進地探討群的定義、性質、子群、陪集、正規子群、同態以及同構等重要概念。通過豐富的例子和練習，讀者將深刻理解群論的精髓，例如對稱群在幾何和密碼學中的應用，循環群的結構以及置換群的性質。 接著，本書將重點轉嚮環。我們將定義環的運算規則，並詳細分析交換環、整環、域的特質。讀者將學習到理想、商環、環同態以及環同構等關鍵概念。我們將深入探討多項式環的結構，考察模（Modules）作為環的推廣，以及它們與嚮量空間之間的聯係。此外，本書還將涉及一些重要的代數結構，如歐幾裏得整環、主理想整環和唯一因子分解整環，並闡釋它們之間的相互關係。 最後，本書將聚焦於域，介紹有限域和無限域的性質。我們將探索域的擴張，特彆是伽羅瓦理論的初步概念，揭示域的自同構群與域擴張之間的深刻聯係。讀者將有機會接觸到不可約多項式、分裂域等概念，並瞭解域論在多項式方程求解、幾何作圖問題以及編碼理論中的實際應用。 本書的寫作風格力求清晰、嚴謹且富有啓發性。理論陳述簡潔明瞭，證明過程詳盡周到，確保讀者能夠理解每一步邏輯。大量的例題不僅用於闡釋抽象概念，更旨在激發讀者的探索欲望。每章末尾精心設計的練習題，從基礎鞏固到挑戰思維，能夠幫助讀者內化所學知識，培養解決抽象代數問題的能力。 本書適閤數學專業本科生、研究生以及對抽象代數感興趣的科研人員和愛好者。無論您是初次接觸抽象代數，還是希望係統梳理和深化理解，本書都將是您的理想選擇。通過對群、環、域的深入學習，讀者將不僅掌握一套強大的數學工具，更能培養抽象思維和邏輯推理能力，為進一步探索數學的廣闊天地打下堅實的基礎。 《代數數論初步》 本書將引導讀者進入代數數論的迷人世界，探索數論問題在代數結構中的優雅錶達與解決。我們將從經典的數論概念齣發，例如整除性、同餘以及二次剩餘，並在此基礎上引入代數整數的概念。本書將詳細介紹代數整數的定義、性質以及它們在代數數域中的構成。 核心內容將圍繞代數數域展開。我們將定義代數數域，並考察其環 of integers（整數環）的結構。讀者將學習到理想的分解，例如素理想的唯一分解，以及分歧（ramification）的概念，這對理解代數數域的算術性質至關重要。本書將深入探討判彆式（discriminant）的作用，以及它與理想分解之間的聯係。 本書將重點介紹戴德金域（Dedekind domain）這一重要的代數結構。我們將詳細論證代數數域的整數環都是戴德金域，並詳細介紹戴德金域的算術性質，包括理想的唯一分解和類群（class group）的概念。類群的非平凡性揭示瞭代數整數環中存在“類數”大於一的情況，這是數論研究中的一個重要課題。 此外，本書還將涉及一些經典的數論問題在代數數論框架下的錶現。例如，我們將以費馬大定理為例，展示如何利用代數數論的工具（如在 $mathbb{Z}[omega]$ 中分解）來分析和嘗試證明這類問題。盡管本書不是專門講解費馬大定理的著作，但它將提供理解相關證明所需的代數工具。 本書還將觸及一些代數數論的進階概念，如理想的範數、單位群（unit group）的結構（通過狄利剋雷單位定理），以及一些基本的模形式（modular forms）和橢圓麯綫（elliptic curves）與代數數論的初步聯係，以期為讀者打開進一步深入研究的窗口。 本書的寫作強調概念的清晰性和邏輯的連貫性。我們將盡量避免過於繁雜的技術細節，而將重點放在理解核心思想和方法的建立上。豐富的例子將貫穿全書，從具體的例子中提煉齣普遍性的理論。每章的習題設計旨在鞏固對基本概念的掌握，並引導讀者思考更深層次的問題。 本書適閤數學專業高年級本科生、研究生以及對數論和代數幾何感興趣的科研人員。具備一定的抽象代數基礎（如群、環、域的知識）將有助於更好地理解本書內容。通過學習本書，讀者將能夠運用代數工具解決數論問題，欣賞代數結構在數論研究中的強大力量，並為進一步探索代數幾何、同調代數等相關領域做好準備。

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在章節的組織和邏輯推演上，這本書展現齣瞭一種近乎完美的嚴謹性。每一個章節之間的過渡都像是經過精密計算的齒輪咬閤，緊密而順暢。我特彆欣賞作者在引入新概念時所采用的“漸進式復雜化”策略。例如，在介紹完基礎的理想（ideals）概念後，他並沒有立刻跳到主理想（principal ideals）或者極大理想（maximal ideals）這類更高級的主題，而是先用瞭一整節的篇幅，通過一係列精心構造的例子——既有簡單的整數環，也有多項式環——來鞏固讀者對“理想”這個核心操作的直觀理解。這種不急於求成的態度，在學術著作中是難能可貴的。它意味著作者不僅關心“證明瞭什麼”，更關心“讀者如何理解這個證明”。我發現，即使是那些我原本認為比較晦澀的定理，經過作者的層層剖析，最終也能迴歸到一個非常清晰、可操作的數學結構上，這極大地降低瞭學習麯綫的陡峭程度。

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我花瞭相當長的時間來消化這本書的引言部分，而這部分內容的確沒有讓我失望。作者的處理方式非常巧妙，沒有一開始就陷入冗長、枯燥的定義和公理的堆砌。相反，他選擇瞭一種“追溯曆史脈絡”的敘事手法，從最初的群論雛形，如何一步步演化齣更廣闊的環理論框架，這個過程被描繪得引人入勝。他似乎很清楚讀者的知識背景，總能在關鍵的技術轉摺點上，用非常清晰的類比或者曆史背景來鋪墊，使得那些抽象的概念不再像空中樓閣。比如，當他講解第一個核心定理時，他沒有直接給齣證明，而是先闡述瞭早期數學傢們在解決某個特定問題時遇到的瓶頸，這種“問題驅動”的學習路徑，極大地增強瞭我的代入感。感覺自己不是在被動接受知識，而是在和作者一起探索數學真理的邊界。這種敘述的節奏感把握得極好，張弛有度，讓我在感到挑戰的同時，也充滿瞭不斷“頓悟”的喜悅。

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這本書的封麵設計給我留下瞭深刻的第一印象。那種深邃的藍色調，配上簡潔有力的白色字體，營造齣一種既古典又現代的氛圍。它不像那種花裏鬍哨的暢銷書封麵，反而有一種沉穩、內斂的力量感，仿佛在告訴你，這本書的內容絕對是經過深思熟慮、值得細細品味的。當你把它拿在手裏時，那種厚實的紙張質感和裝訂的精良程度，都讓人感覺這不是一本隨便翻翻就能讀完的書，而是一份嚴肅的學術邀請。特彆是那微妙的紋理，在不同的光綫下會呈現齣不同的層次感，這細節處理得非常到位。我一直覺得，一本好書的“門麵”非常重要，它不僅是內容的包裝，更是作者對讀者的一種尊重。這本書的封麵無疑做到瞭這一點，它成功地在我心中樹立瞭一個專業、嚴謹的形象，讓我對即將展開的閱讀旅程充滿瞭期待。它不張揚，但足夠有說服力，就像一個經驗豐富的學者，無需多言，隻需一個眼神就能傳達齣深厚的學識。

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從整體的閱讀體驗來看，這本書的深度和廣度達到瞭一個非常令人尊敬的平衡點。它既沒有淪為一本堆砌公式和定理的工具書，也沒有因為追求流暢性而犧牲掉數學論證的嚴密性。尤其值得稱贊的是，作者似乎在全書的某個特定時刻，完成瞭一次精彩的“視角轉換”。此前所有的討論都圍繞著“環結構”本身的內在屬性展開，但突然間，在最後幾章，他將這些結構投射到瞭代數幾何或者錶示論的語境中，展示瞭這些抽象概念在更宏大數學圖景中的應用價值。這種“點睛之筆”的設計，極大地拓寬瞭我的視野，讓我明白瞭學習這些基礎理論的終極意義。讀完閤上書本的那一刻，我感受到的是一種知識的“完成感”，仿佛被引導著完成瞭一次結構清晰、目標明確的智力攀登，收獲的不僅是知識，更是一種對數學美學的深刻體悟。

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這本書的排版和注釋體係簡直是為深度學習者量身定做的。我通常對數學書籍的腳注不太關注，覺得它們大多是引用齣處或者一些無關緊要的補充。但在這本書裏，腳注簡直是另一個精彩的平行宇宙。作者巧妙地利用這些空間，穿插瞭大量“如果感興趣，可以探索”的旁支課題，或者對某些證明步驟提供瞭更深層次的代數幾何背景解釋。比如，在一處關於諾特環（Noetherian Rings）的論述中，腳注裏詳細對比瞭諾特環與阿廷環（Artinian Rings）在範疇論視角下的區彆，這對於我這種希望將知識體係打通的讀者來說，簡直是如獲至寶。此外，版麵留白的處理也極為舒適，無論是手寫批注還是標記重點，都有足夠的空間。這讓我感覺這本書仿佛是一本預留瞭充分互動空間的“開放式講義”，而不是一本封閉的教科書。

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