Extensions of First-Order Logic pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Manzano, Maria

出品人:

页数:412

译者:

出版时间:2005-8

价格:$ 94.92

装帧:

isbn号码:9780521019026

丛书系列:

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• 待找
• 形式句法/形式语义
• Linguistics
• 逻辑学
• 一阶逻辑
• 模型论
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• 数理逻辑
• 形式语义学
• 递归论
• 集合论
• 元逻辑
• 哲学逻辑

经典逻辑学进阶：形式系统与语义基础 （本书旨在探讨传统一阶逻辑（First-Order Logic, FOL）之外的逻辑系统，不涉及《Extensions of First-Order Logic》一书的具体内容，而是深入阐述经典逻辑学的核心概念、公理化结构及其在数学基础中的应用，为读者构建一个坚实的、基于传统框架的逻辑认知体系。） 第一部分：经典逻辑的基石——命题演算与谓词演算的严谨构建 本书首先从最基础的逻辑结构——命题演算（Propositional Calculus）——入手，详细剖析其语法和语义。我们并非停留在直观的真值表分析，而是着重于其公理化系统的构建。读者将学习如何利用一组最小的连接词（如否定和蕴含）和一组逻辑公理模式，通过推理规则（如肯定前件 Modus Ponens），系统地推导出所有有效的逻辑真理。这部分内容强调形式语言的精确定义，包括符号集、合式公式（Well-Formed Formulas, WFFs）的递归定义，以及如何严格区分重言式（Tautologies）、矛盾式（Contradictions）和可满足式（Satisfiable Formulas）。 随后，我们将进入谓词演算，即一阶逻辑（FOL）的核心。这一部分的核心是引入个体、谓词、函数符号和量词（全称量词 $forall$ 与存在量词 $exists$）。我们将花费大量篇幅讨论如何将自然语言中的陈述准确地转化为一阶逻辑的表达式，特别是如何处理多变量关系和量词的嵌套。 在语义学层面，本书深入探讨了经典模型的理论。我们详细阐述了“结构”（Structure）或“解释”（Interpretation）的正式定义，它由一个非空域（Domain of Discourse）和对符号的赋值构成。重点解析了“满足关系”（Satisfaction Relation, $models$）的定义，特别是对量化语句的递归定义。理解 $Sigma models phi$（结构 $Sigma$ 满足公式 $phi$）的精确含义，是掌握逻辑推理能力的关键。 第二部分：完备性、可靠性与证明论 经典逻辑的强大之处在于其证明工具和元逻辑性质。本书的第二部分专注于这些理论属性。 2.1 可靠性（Soundness）与完备性（Completeness） 可靠性是关于证明系统的基本要求：所有可证明的公式都必须是有效的（可满足的）。本书将使用归纳法，在不同的证明系统中（如自然演绎系统或序列演算 Gentzen Calculus），严格证明可靠性定理。 完备性定理，由哥德尔（Gödel）奠定，是逻辑学的里程碑。它声称：所有有效的逻辑公式都是可以被证明的。我们将详细追溯哥德尔关于一阶逻辑完备性的证明思路，这通常涉及使用具有特定性质的“最大理论”或通过构造性模型理论来完成。理解完备性，意味着证明系统与语义系统之间的完美对等。 2.2 证明系统与证明论 我们不局限于单一的证明系统。本书将对比分析几种主要的证明方法： 1. 公理化系统（Axiomatic Systems）： 强调最小公理集与推理规则的效率。 2. 自然演绎系统（Natural Deduction）： 更贴近人类的直观推理过程，侧重于引入（Introduction）和消除（Elimination）规则。 3. 序列演算（Sequent Calculus）： 这是一种更具结构化的证明方法，对于后续的剪切定理（Cut Elimination Theorem）的证明至关重要。 剪切定理是序列演算的一个核心结果，它表明推理中冗余的“中间结论”可以被消除，这极大地简化了证明的结构并具有重要的理论意义。 第三部分：模型论与数学基础 本书的第三部分将逻辑与数学的本体论联系起来，聚焦于经典模型论的几个关键主题。 3.1 紧致性定理（Compactness Theorem） 紧致性定理是经典一阶逻辑区别于其他逻辑系统的一个重要特征。它陈述：如果一个公式集合的所有有限子集都是可满足的，那么整个集合也是可满足的。本书将提供紧致性定理的两种经典证明：基于超积（Ultraproduct）的证明或基于构造性模型（如使用 L"{o}wenheim–Skolem 定理的变体）的证明。我们将探讨紧致性定理在证明数学结构（如抽象代数结构）存在性时的应用。 3.2 洛文海姆-斯科勒姆定理（Löwenheim–Skolem Theorems） 这些定理关注于模型的大小。下述定理指出：如果一个公式集合在某个无限模型中是可满足的，那么它在所有具有相同（无限）基数的模型中也是可满足的。上文定理则表明，如果公式集合是可满足的，那么它在某些比它“小”的模型中也是可满足的。我们将详细分析这些定理如何挑战我们对“定义”的直觉，特别是它们在构造非标准模型（如整数环 $mathbb{Z}$ 的非标准模型）时的深刻含义。 3.3 算术与不完全性 在逻辑与数学基础的交叉点，我们必须面对哥德尔的不完全性定理。本书将清晰界定算术语言（如使用 Peano 公理的系统 $PA$）的形式化过程。随后，我们将深入分析一阶算术的两个核心不完全性结果： 1. 第一不完全性定理： 在足够强的、可靠的、递归可定义的算术系统 $T$ 中，必然存在一个在该系统内既不能被证明亦不能被证伪的算术命题。我们将探讨哥德尔编码（Gödel Numbering）和自指（Self-Reference）的构造方法。 2. 第二不完全性定理： 这样的系统 $T$ 不能证明自身的可靠性（即“该系统是可靠的”这个陈述）。 通过对这些经典理论的系统性梳理，本书旨在为读者提供一个关于二阶逻辑、模态逻辑等更高级主题（这些主题是《Extensions of First-Order Logic》所关注的）的坚实前置知识，确保读者能够在一个完整、自洽的经典逻辑框架内进行深入思考和研究。

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