Discrepancy of Signed Measures and Polynomial Approximation pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Vladimir Andrievskii

出品人:

页数:456 pages

译者:

出版时间:December 14, 2001

价格:$109.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387986524

丛书系列:Springer Monographs in Mathematics

图书标签:

• Signed measures
• Polynomial approximation
• Discrepancy theory
• Harmonic analysis
• Real analysis
• Functional analysis
• Fourier analysis
• Number theory
• Mathematical analysis
• Approximation theory

《有界变差函数理论及其应用》 本书深入探讨了有界变差函数（Total Variation Functions）这一在数学分析、测度论、逼近论以及信号处理等多个领域都至关重要的概念。本书旨在为读者提供一个全面而深入的理论框架，并辅以丰富的应用实例，帮助读者理解有界变差函数的性质、构造方法及其在解决实际问题中的强大能力。 第一部分：有界变差函数的理论基础 本部分将系统性地介绍有界变差函数的定义、基本性质及其与积分、微分等概念的内在联系。 定义与等价刻画： 我们将从多个角度阐述有界变差函数的定义，包括全微分的积分、有限差的界限等，并证明这些定义之间的等价性。重点会放在如何直观理解“有界变差”这一概念，即函数在任何区间上的变化总量都是有限的。 变差测度： 详细介绍与有界变差函数相关的变差测度（Total Variation Measure），并阐述其作为一种非负测度的性质。我们将探讨如何从一个函数构造出其变差测度，以及变差测度在分析函数性质方面的重要作用，例如确定函数的单调性、凸性以及其导数的分布。 分解定理： 深入研究了勒贝格（Lebesgue）分解定理的推广，特别是针对一般可测函数，阐述其分解为绝对连续部分、奇异连续部分和离散部分。我们将重点关注如何识别和提取函数的绝对连续分量，以及为何奇异连续分量在某些应用中也扮演着关键角色。 函数空间： 讨论与有界变差函数相关的函数空间，如BV空间。我们将分析BV空间的拓扑结构、完备性以及其对函数逼近理论的重要性。 第二部分：构造与性质的深入分析 本部分将进一步探讨有界变差函数的构造方法、其导数的性质以及与其他函数类别的关系。 特殊函数的有界变差性： 研究一类具有特殊性质的函数的有界变差性，例如多项式、三角函数、指数函数以及分段光滑函数。我们将分析这些函数何时具有有限的变差，并提供具体的计算方法。 导数的性质： 详细分析有界变差函数的导数（如果存在）的性质。我们将深入探讨勒贝格-史蒂尔切斯（Lebesgue-Stieltjes）积分与黎曼-史蒂尔切斯（Riemann-Stieltjes）积分的关系，并展示如何利用导数来理解函数的局部行为。 有界变差函数与其他函数类的关系： 探讨有界变差函数与 Sobolev 空间、Lipschitz 函数等其他重要函数类别的包含关系和区别。我们将分析在不同应用场景下，选择哪种函数空间更适合。 第三部分：有界变差函数的应用 本部分将展示有界变差函数在多个数学和工程领域的实际应用。 逼近理论： 阐述有界变差函数在多项式逼近和样条逼近中的作用。我们将讨论如何利用有界变差函数的性质来设计高效的逼近算法，并分析逼近误差的上界。 傅里叶分析： 探讨有界变差函数与傅里叶级数收敛性之间的关系。我们将详细分析狄利克雷-约旦（Dirichlet-Jordan）定理，并展示为何有界变差函数能保证其傅里叶级数在特定点收敛。 测度论与概率论： 介绍有界变差函数在测度论中的应用，例如作为概率测度的累积分布函数。我们将分析如何利用有界变差函数的性质来研究随机过程的性质。 信号处理： 讨论有界变差函数在信号去噪、边缘检测等信号处理技术中的应用。我们将展示如何利用变差测度来衡量信号的复杂度，并设计能够保留关键特征的滤波算法。 偏微分方程： 介绍有界变差函数在某些偏微分方程（如变分问题）的解的性质分析中的作用，特别是在研究非光滑解时。 学习目标： 通过阅读本书，读者将能够： 深刻理解有界变差函数的定义、性质和等价刻画。 熟练掌握变差测度的构造和应用。 了解有界变差函数与多项式逼近、傅里叶分析等理论的紧密联系。 认识有界变差函数在信号处理、概率论等多个应用领域的价值。 为进一步深入研究相关数学理论打下坚实的基础。 本书适合数学专业本科生、研究生以及对函数分析、逼近理论、信号处理等领域感兴趣的研究人员和工程师阅读。

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这本书的封面设计极具吸引力，深蓝色的背景搭配银色的书名，有一种沉静而专业的学术氛围。初次翻开，我便被作者严谨的逻辑和深厚的数学功底所折服。虽然我对“带符号测度”和“多项式逼近”这两个概念并不十分熟悉，但书中清晰的引言和逐步深入的讲解，让我逐渐领略到这两个看似独立的数学领域之间竟然有着如此深刻而精妙的联系。作者以一种近乎艺术性的方式，将抽象的数学概念具象化，使得即便对于初学者，也能从中窥见数学的魅力。例如，在介绍带符号测度的性质时，作者通过几个精心设计的例子，将抽象的定义转化为具体的几何图形和物理意义，这种直观的阐释方式极大地降低了理解的门槛。接着，书中对多项式逼近理论的引入，更是将我带入了一个全新的数学世界。多项式，这个我们熟悉的数学工具，在作者的手中焕发出了强大的生命力，被用来解决一系列复杂的问题。我特别欣赏作者在处理理论推导时的细致入微，每一个步骤都清晰明了，辅以大量的图表和符号解释，使得我能够跟随作者的思路，一步一步地攻克难题。读这本书的过程，与其说是学习，不如说是一场与数学智慧的深度对话。

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本书的结构安排非常合理，内容由浅入深，循序渐进。开篇对“带符号测度”的介绍，虽然简洁，但却精准地抓住了核心概念，为后续内容的展开奠定了坚实的基础。作者通过引入一些直观的例子，迅速拉近了读者与抽象概念的距离。我特别欣赏作者在解释“不一致性”时，所采用的类比和可视化方式，这极大地帮助我理解了那些复杂的数学表达。接着，书中自然而然地过渡到“多项式逼近”的讨论。作者并没有孤立地介绍逼近理论，而是将其与前面的测度理论紧密地结合起来，展示了两者之间千丝万缕的联系。在介绍各种逼近方法时，作者不仅给出了数学公式，还详细解释了每种方法的适用范围和局限性，以及在不同场景下的表现。我尤其对书中关于“收敛性”和“稳定性”的讨论印象深刻，这部分内容为理解多项式逼近的实际应用提供了重要的理论指导。总的来说，这本书提供了一个系统而全面的视角，帮助读者深入理解了“带符号测度的不一致性”与“多项式逼近”之间的深刻联系，对于从事相关领域研究的学者和学生来说，具有极高的参考价值。

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这本书的论述风格非常独特，带着一种哲学的思辨色彩。作者在探讨“带符号测度的不一致性”这一核心议题时，并非简单地罗列公式和定理，而是深入挖掘其背后的数学本质和逻辑结构。我感觉自己像是跟随一位经验丰富的向导，在广阔的数学森林中穿梭，作者不断点拨我注意那些隐藏在细节中的重要线索。他对“不一致性”的定义和衡量标准进行了多角度的审视，提出了几种新颖的视角，这些视角不仅丰富了我们对该问题的理解，也为未来的研究打开了新的可能性。在衔接多项式逼近的部分，作者巧妙地将抽象的测度理论与具体的逼近问题联系起来。我印象深刻的是，作者在介绍某种逼近定理时，详细阐述了其成立的必要条件以及失效时的情景，这种细致的分析让我深刻理解了理论的边界和适用范围。书中的论证过程严谨而流畅，有时甚至会让我产生一种“原来如此”的豁然开朗之感。作者的语言虽然专业，但通过精炼的表述和巧妙的比喻，成功地避免了枯燥乏味。总的来说，这本书不仅仅是一部学术著作，更是一次关于数学思想的深刻探索，它激发了我对未知领域的好奇心，也让我对数学的严谨性有了更深的敬畏。

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从内容上看，这本书的深度和广度都令人惊叹。它不仅仅是简单地介绍“Discrepancy of Signed Measures”和“Polynomial Approximation”这两个概念，而是将它们放在一个更宏大的数学框架下进行考察。我尤其对书中关于不同类型测度的比较和分析印象深刻。作者列举了多种测度，并逐一分析了它们在多项式逼近过程中的表现，这种对比分析非常有价值，能够帮助读者理解不同测度性质对逼近效果的影响。接着，书中对不同逼近方法的优劣进行了详细的阐述，包括它们的收敛速度、误差界以及在不同问题上的适用性。我特别关注了作者关于“最佳逼近”和“近似逼近”的讨论，这部分内容为理解多项式逼近的精髓提供了关键的钥匙。书中还包含了一些我之前从未接触过的定理和引理，这些内容极大地拓展了我的数学视野。作者在推导这些定理时，思路清晰，逻辑严密，让我能够理解其数学推导的每一步。阅读这本书，感觉就像是接受了一次高强度的数学训练，它不仅巩固了我已有的知识，更让我学到了许多全新的概念和方法。

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这本书的书写风格非常具有个人特色，夹杂着一种对数学的深沉热爱。作者在讨论“带符号测度不一致性”时，不仅仅是陈述事实，更像是与读者进行一场心灵的对话，引导读者去思考数学问题背后更深层的意义。他对“不一致性”的度量方法进行了深入的探讨，提出了几种新颖的度量指标，并分析了它们的数学性质和优缺点。我被作者在处理这些抽象概念时的细腻和独到所吸引。随后，书中将目光转向多项式逼近。我一直觉得多项式逼近是一个非常实用的数学工具，而这本书则从更理论、更本质的角度去揭示了它的威力。作者在介绍一些经典的逼近定理时，没有简单地引用，而是深入剖析了这些定理的证明思路和几何直观意义，让我对多项式逼近有了更深刻的理解。他对逼近误差的分析尤其精妙，能够从不同的角度去刻画误差的大小，为实际应用提供了重要的理论支撑。总的来说，这本书在数学的严谨性之外，还充满了一种人文关怀，让我在学习数学知识的同时，也感受到了数学之美和作者的智慧。

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