具体描述
突破极限：高中数学核心概念精讲与思维训练 面向对象： 准备冲击顶尖高校的优秀高中生，对数学有浓厚兴趣并渴望深入理解数学本质的自学者。 内容概述： 本书并非针对任何特定考试的应试指南，而是一本旨在构建高中数学宏观知识体系、锤炼高级数学思维的深度学习用书。全书围绕数学的核心概念、内在联系和高级解题范式展开，旨在帮助读者跨越“会做题”与“懂数学”之间的鸿沟。我们相信，扎实的理论基础和灵活的思维能力是应对未来一切数学挑战的根本。 第一部分：数学的基石——概念的深度解析与重构 本部分将对高中数学中常被视为理所当然的基础概念进行彻底的“解构”与“重建”。我们不满足于教科书的定义，而是深入探究这些概念的历史渊源、公理化基础及其在不同数学分支中的延展性。 第一章：函数的本质与结构 超越单变量： 深入探讨多变量函数的初步概念，理解函数作为一种“映射关系”的本质，而非仅仅是 $y=f(x)$ 的图像。 连续性的严格定义与拓扑意义： 引入 $epsilon-delta$ 语言，并解释其在分析学中的重要性。讨论不连续点（可去、第一类、第二类）的分类及其几何意义。 函数的构造性方法： 聚焦于如何通过已知的基本函数（如指数、对数、三角函数）通过复合、反演、线性组合等操作，构造出具有特定性质的复杂函数。着重分析周期性、单调性在复合函数中的传递规律。 第二章：数列的极限与收敛性 从直觉到严谨： 回顾并强化极限的严格定义。特别分析了等比数列、调和数列的收敛性证明过程，强调极限的“局部行为”特性。 数列与函数的关联： 探讨函数序列和级数的初步概念，理解收敛半径和幂级数展开的背景知识（不涉及泰勒级数公式的直接应用，侧重理解其思想）。 递推关系的求解策略： 系统梳理特征方程法、构造函数法求解线性常系数递推关系，并讨论非线性递推关系（如涉及分式或复杂乘积）的迭代分析思路。 第二部分：几何的语言——空间想象与逻辑推理的融合 几何部分旨在提升读者的空间感知能力和逻辑构建能力，将代数运算与几何直观相结合。 第三章：向量空间思想的萌芽 二维空间的基与坐标系： 将平面向量提升到线性代数的视角，理解线性无关组（基）的概念，以及坐标变换对向量表示的影响。 空间几何的代数表达： 深度解析空间中直线、平面的向量方程和法向量表示。重点训练如何利用向量点积和叉积来精确计算角度、距离和投影，避免纯粹的立体几何“构造法”。 第四章：解析几何的高阶应用 圆锥曲线的统一描述： 深入理解圆锥曲线的焦点、准线、离心率的几何定义，并探讨如何利用极坐标系来简化某些特殊位置的解析表达。 相交与位置关系的代数判定： 不仅限于判别式，更侧重于利用参数化、参数范围控制等方法来处理二次曲线间的复杂交点问题，特别是涉及“切线”、“公切线”的探究。 第三部分：概率论的思维框架与统计推断的初步 本部分关注如何用数学模型处理不确定性，培养科学的随机观念。 第五章：概率模型的构建与检验 条件概率与独立性的深入剖析： 重点辨析“互斥”与“对立”、“条件独立”与“事件独立”的区别，并通过复杂场景（如贝叶斯问题的前置分析）巩固理解。 随机变量的特征量： 详细阐述期望（E）和方差（Var）的性质，特别是线性性质和独立性对这两个特征量的影响。引入“大数定律”和“中心极限定理”的非技术性描述，理解其在统计推断中的地位。 第六章：统计思维的建立 抽样方法的选择与偏差分析： 讨论简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等方法的适用场景，并分析在实际问题中可能出现的抽样偏差。 回归分析的几何意义： 引入线性回归的基本思想，理解最小二乘法的几何含义（最小化点到直线的垂直距离平方和），而非简单套用公式。 第四部分：解题范式的升级与数学思想的提炼 这是全书的升华部分，聚焦于通用的、可迁移的高级解题策略。 第七章：数学归纳法与反证法的灵活运用 归纳法的边界： 分析归纳法在何种命题上失效，以及如何通过“强归纳法”来解决更复杂的问题。 反证法的精妙： 区分直接反证、间接反证（或对立面证明）。强调选择“最难反驳”的结论进行假设的重要性。 第八章：构造法、转化法与数形结合的艺术 构造：构造函数、构造数列、构造几何图形： 阐述构造法的核心在于“目标导向”，即根据需要解出的结论反推所需的中间环节。 转化与化归： 讨论“降维打击”（如从空间问题转化为平面问题）、“代数化”（如用代数方法处理几何问题）和“几何化”（如用图像直观判断代数方程的解的个数）的通用原则。 极值问题的处理： 探讨如何利用基本不等式（除了一般形式外，还需关注其“等号成立条件”）和导数思想（作为一种高级的“平滑化”工具）来解决最值问题。 本书特色： 本书中的所有例题和思考题都来源于对数学原理的深度挖掘，而非对某一特定考试题型的模仿。它强调证明的逻辑链条、思维的横向联系以及对数学概念的批判性思考。读者通过本书的学习，将建立起一套坚实的、面向未来高等学习的数学思维框架，有效提升处理陌生、复杂问题的能力。本书的难度适中偏高，需要读者具备扎实的初高中代数与几何基础，才能更好地领略其中蕴含的数学之美与逻辑之严。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 qciss.net All Rights Reserved. 小哈图书下载中心 版权所有