Differential Algebra & Related Topics

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出版者:World Scientific Pub Co Inc
作者:P. Cassidy
出品人:
页数:250
译者:
出版时间:2002-6-15
价格:USD 122.00
装帧:Hardcover
isbn号码:9789810247034
丛书系列:
图书标签:
  • 代数
  • 微分代数
  • 抽象代数
  • 数学
  • 高等数学
  • 代数几何
  • 模型论
  • 环论
  • 域论
  • 李代数
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具体描述

探索数学的抽象之美:从代数方程的根到更深层的结构 这本《代数方程与相关专题》并非一本关于某个特定数学家生平的传记,也非一本聚焦于某个工程应用领域的实用手册。它是一场智力上的探险,带领读者深入代数世界的内核,揭示方程背后隐藏的深刻结构和一般性原理。 我们都知道,解代数方程是数学的基石之一。从孩童时期开始,我们就接触到形形色色的方程,例如 $2x + 3 = 7$ 这样的线性方程,或者 $x^2 - 4 = 0$ 这样的二次方程。随着数学的发展,我们接触到更高次的方程,如三次、四次方程,甚至更复杂的方程组。然而,当方程的次数升高,求解的难度也随之增加。直至19世纪,伽罗瓦理论才为我们提供了判断一个多项式方程是否能用根式(加、减、乘、除、开方)求解的普适性标准。 本书并非简单地罗列各种方程的解法,而是着眼于更宏观、更具普遍性的视角。它将从方程的根(roots of equations)这一最基本概念出发,引申到更为抽象和强大的数学工具。我们将探讨方程根的性质,例如它们的存在性、唯一性、重数(multiplicity)以及它们在复数域中的分布。这些性质往往能揭示出方程背后更深层次的代数结构。 多项式的理论(polynomial theory)将是贯穿全书的核心脉络。我们将深入研究多项式的性质,包括它们的因子分解、根与系数之间的关系(如韦达定理)、多项式的代数运算(加、减、乘、除),以及更复杂的概念,如多项式的导数(derivative of polynomials)及其应用。多项式并非仅仅是数学竞赛中的题目,它们是构建更复杂代数对象的基础,也是许多数学分支的语言。 本书将引入抽象代数(abstract algebra)的思想,但不会仅仅停留在理论的层面。我们将从具体例子出发,逐步理解诸如群(groups)、环(rings)和域(fields)等基本代数结构。这些结构并非凭空产生,它们正是从我们熟悉的数系和方程中抽象提炼出来的。例如,整数模加法构成一个群,而我们熟悉的实数域在加法和乘法运算下则构成一个域。理解这些结构,能帮助我们认识到不同数学问题之间的联系,以及它们背后统一的数学思想。 我们将着重探讨多项式环(polynomial rings),这是研究多项式的重要框架。在这个框架下,多项式不再仅仅是一串符号,而是可以进行运算和分解的“元素”。我们将学习如何在多项式环中进行除法,理解“整除性”的概念,并探讨多项式的不可约性(irreducibility),即一个多项式是否能分解为次数更低的多项式之积。不可约多项式就像代数世界中的“质数”,它们是构建其他多项式的基本单元。 本书还将触及代数数论(algebraic number theory)的某些初步概念,尽管我们不会深入到其所有复杂性。代数数论研究的是代数方程的根所构成的数域的性质。例如,方程 $x^2 - 2 = 0$ 的根是 $sqrt{2}$ 和 $-sqrt{2}$,它们构成了数域 $mathbb{Q}(sqrt{2}) = {a + bsqrt{2} mid a, b in mathbb{Q}}$。这类数域的研究,将揭示整数在这些更广阔的数域中的行为,以及与数论经典问题(如费马大定理)的深刻联系。 Galois理论,作为本书标题中“Related Topics”的一部分,将是连接方程根与代数结构的桥梁。我们将从方程的根的置换(permutation of roots)出发,构建一个称为伽罗瓦群(Galois group)的群结构。这个群深刻地反映了方程根之间的对称性。伽罗瓦理论的核心洞见在于,一个多项式方程的根式可解性(solvability by radicals)可以完全由其伽罗瓦群的性质来决定。我们将详细阐述这一深刻的联系,理解为何五次及以上的多项式方程一般无法用根式求解。 除了理论的探讨,本书还会穿插一些计算性的方法和算法(computational methods and algorithms),用于处理实际的代数问题。例如,我们将讨论如何进行多项式的gcd(最大公约数)计算,这在化简有理函数和求解线性方程组中至关重要。此外,一些数值方法(numerical methods),虽然不是本书的重点,但也会被提及,以展示在某些情况下,数值逼近如何成为求解方程的有效途径。 线性代数(linear algebra)的某些概念也会在本书中隐约出现,尤其是在处理多项式方程组和向量空间的概念时。虽然我们不会专门展开线性代数的详细理论,但其基本思想,如线性无关性(linear independence)和基(basis),会在理解代数结构时起到重要的辅助作用。 总而言之,本书《代数方程与相关专题》是一次探索数学抽象和结构之美的旅程。它从最熟悉的代数方程出发,通过多项式理论、抽象代数概念以及Galois理论,揭示了隐藏在数字和符号背后的深刻数学规律。它旨在培养读者对数学问题的深刻理解,以及运用一般性工具解决具体问题的能力,从而为进一步深入学习数学的各个分支打下坚实的基础。这本书将带领你看到代数世界中隐藏的优雅和力量。

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读后感

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用户评价

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我必须说,《Differential Algebra & Related Topics》这本书,确实是一部令人印象深刻的学术著作。它所探讨的领域,虽然在普通大众中鲜为人知,但对于那些对数学有深入追求的人来说,绝对是一份宝贵的财富。这本书的语言风格非常独特,既有科学论文的严谨与客观,又不乏对数学之美的细腻描绘。作者在阐述每一个概念时,都力求做到滴水不漏,每一个定义、每一个定理都经过深思熟虑,并辅以恰当的证明和解释。我尤其喜欢作者在引入一些前沿研究方向时,所展现出的那种前瞻性和洞察力。他能够敏锐地捕捉到数学发展的最新趋势,并将之与微分代数的核心理论相结合,为读者提供了一个观察和思考数学前沿问题的独特视角。尽管我并非该领域的专家,但在阅读过程中,我仍然能够感受到作者深厚的学术功底和对知识的热情。他对于细节的关注,对于严谨性的追求,都给我留下了深刻的印象。有时候,我会因为书中某个证明的精妙而反复阅读,试图理解其中的每一个逻辑步骤,并从中学习作者的论证技巧。这本书并不适合速读,它需要读者静下心来,仔细体会每一个字句,每一个公式,才能真正领略其精髓。但正是这种需要投入心力去钻研的过程,才使得阅读的收获更加丰厚。它让我明白,真正的知识,往往蕴藏在那些需要耐心和毅力去探索的领域之中。

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《Differential Algebra & Related Topics》这本书,是一次充满惊喜的学术探索。我一直认为,真正的数学著作,不仅仅是知识的传授,更是一种思维方式的启发。而这本书,正是这样一部能够引人深思的杰作。作者在书中构建了一个庞大而精密的理论框架,将微分代数这一抽象而又深刻的数学分支,进行了系统而深入的阐述。我尤其欣赏作者在介绍关键概念时,所采用的“由浅入深,由具体到抽象”的讲解方式。他并没有上来就给出晦涩的定义,而是通过一系列精心设计的例子,逐步引导读者理解这些概念的本质,并体会到其在数学体系中的重要性。书中对某些复杂证明的解析,堪称数学论证的艺术,每一个逻辑环节都严丝合缝,没有一丝一毫的含糊之处。我甚至会尝试在阅读时,去预测作者下一步的推导方向,并在脑海中与作者的思路进行比对,这种主动参与式的阅读,极大地加深了我对内容的理解和记忆。这本书也让我开始重新审视一些基础的代数结构,并尝试从更广阔的视角去理解它们。它不仅仅是知识的传递,更是一种智力上的锻炼,它教会我如何以更严谨、更系统的方式去分析和解决问题。

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《Differential Algebra & Related Topics》这本书,是一次令人惊艳的学术探索之旅。我一直以来都对那些能够将看似孤立的数学概念,通过巧妙的联系和统一的框架,展现出其内在深刻联系的著作,怀有极大的敬意。而这本书,正是这样一本杰作。作者在书中构建了一个庞大而又精密的数学体系,将微分代数这一抽象而又重要的分支,进行了系统而深入的阐述。我印象最深刻的是,作者在介绍某个复杂概念时,会追溯其历史渊源,并联系到其在不同数学领域中的应用,这不仅帮助我理解了概念的形成和发展,更让我看到了微分代数在数学王国中的重要地位。书中对一些抽象代数结构的描述,虽然初看之下可能令人望而生畏,但作者通过层层递进的解释和具体的例子,逐渐消除了我对于理解的障碍。我甚至会尝试在脑海中构建这些抽象结构的具象模型,虽然这并不总是容易,但这样的尝试本身就极大地加深了我对概念的理解。这本书对于逻辑推理的要求非常高,每一个论证都环环相扣,容不得一丝一毫的懈怠。我常常会因为一个巧妙的证明而欣喜若狂,或者因为一个推理的严密而赞叹不已。这本书不仅仅是知识的传递,更是一种思维方式的启迪,它教会我如何用更严谨、更系统的方式去思考问题,如何从纷繁复杂的表象中抓住事物的本质。

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我最近有幸拜读了《Differential Algebra & Related Topics》这本书,这次阅读经历,对我来说是一次令人振奋的智力挑战。这本书所涉及的数学领域,虽然对我来说是相对陌生的,但作者的讲解方式却让我能够逐步地进入这个领域。我特别喜欢作者在介绍每一个新的概念时,都会提供一些历史背景和发展脉络的信息。这不仅仅是简单的信息堆砌,更是让我能够理解这些抽象概念是如何在数学发展的长河中孕育而生,并扮演着怎样的角色。在阅读过程中,我经常会被书中某些证明的巧妙和简洁所打动。作者能够用最少的笔墨,却能够严谨地证明一个复杂的命题,这种化繁为简的能力,让我深深敬佩。我甚至会尝试自己去复现书中的一些证明,尽管过程中会遇到很多困难,但一旦有所突破,便会带来巨大的成就感。这本书也让我开始重新思考一些基础的代数概念,并尝试从微分代数的视角去审视它们。这种跨领域的联系和思考,极大地拓展了我的数学视野。尽管有些内容对我来说依然难以完全消化,但我能够感受到作者在内容组织上的匠心独运,他努力让每一个读者都能尽可能地理解并欣赏微分代数的魅力。

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《Differential Algebra & Related Topics》这本书,无疑是一部具有里程碑意义的学术著作。我长期以来对那些能够连接不同数学领域、揭示普遍规律的理论体系,一直抱有浓厚的兴趣。而微分代数,正是这样一个极具潜力的领域。本书的作者,以其深厚的学术功底和独到的见解,将这个复杂而迷人的数学分支,进行了全面而深入的阐释。我尤为赞赏作者在处理抽象概念时的耐心和细致。他并没有急于给出最终的定义,而是通过一系列精心设计的引例和逐步完善的描述,帮助读者逐步理解这些抽象概念的生成和演变过程。这使得我在面对复杂的代数结构时,不会感到过于茫然,而是能够抓住其核心思想。书中对一些经典定理的证明,堪称数学论证的典范,每一个步骤都经过了严格的推敲,每一个推理都环环相扣,展现了数学的强大逻辑力量。我甚至会尝试在阅读过程中,将书中的理论与我所了解的其他数学概念进行类比和联系,这种主动的思考和探索,不仅加深了我对内容的理解,也激发了我对相关领域更进一步学习的兴趣。这本书的语言风格非常严谨,但又不失优雅,它让我在领略数学魅力的同时,也感受到了一种文字之美。

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《Differential Algebra & Related Topics》这本书,给我带来了前所未有的阅读体验。我之前对微分代数了解不多,甚至可以说是一无所知,但这本书的出现,彻底改变了我对这个领域的看法。作者用一种非常有条理的方式,将这个复杂的数学分支展现在我面前,让我得以窥探其中令人着迷的奥秘。我尤其欣赏作者在引入每一个新概念时,都会追溯其产生的历史背景,并阐述其在数学发展中的重要意义。这种宏观的视角,帮助我更好地理解这些抽象概念是如何从实际问题中孕育而生,并最终发展成为一套成熟的理论体系的。在阅读过程中,我常常会因为作者的论证思路而感到惊叹,他能够将看似毫不相关的概念,通过巧妙的逻辑连接,最终整合成一个和谐统一的整体。我甚至会尝试在脑海中构建出这些抽象概念的图像化表示,尽管这并不总是奏效,但这种主动的思考和联想,极大地加深了我对内容的理解。这本书的排版设计也非常精良,公式清晰,图表规范,这为我的阅读提供了极大的便利。尽管有些章节的内容对我来说依然具有相当的挑战性,但我能够感受到作者在内容组织上的用心良苦,他努力让每一个读者都能尽可能地接近这个学科的核心。

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《Differential Algebra & Related Topics》这本书,简直是我近期阅读体验中的一股清流。我一直对那种能够将看似枯燥的抽象概念,通过严谨的逻辑推导,最终演变成具有强大解释力和预测能力的理论体系的学科,抱有浓厚的兴趣。而微分代数,恰恰就是这样一种学科。这本书没有辜负我的期待。在阅读过程中,我惊叹于作者对概念的精准把握和清晰阐述。他能够用一种近乎艺术的方式,将复杂的代数结构与微积分的思想巧妙地融合在一起,创造出一个既有理论深度又不乏实践应用前景的数学分支。我尤其欣赏书中对一些关键概念的引入方式,比如在介绍微分域时,作者并没有仅仅给出定义,而是通过一系列精心设计的例子,逐步引导读者理解其核心思想,并体会到其与其他代数结构的区别和联系。这使得我在理解这些抽象概念时,能够更加得心应手。而且,这本书在逻辑上的衔接也非常流畅,每一章的知识点都像是为下一章做铺垫,环环相扣,引人入胜。我常常会在阅读某个章节时,为作者的论证思路所折服,感叹于数学家们思维的严谨性和创造力。虽然我可能无法完全消化书中的每一个公式,但整体上,这本书给我带来的启迪是巨大的。它不仅仅是知识的传递,更是一种思维方式的训练,让我学会如何以更抽象、更普遍的视角去理解数学问题。我感觉自己在这本书的引领下,仿佛打开了数学世界的一扇新大门,看到了更多精彩的可能性。

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我近期阅读了《Differential Algebra & Related Topics》,这本书给我留下了极为深刻的印象。我并非数学科班出身,但这本书以其独特的魅力,让我对抽象数学产生了浓厚的兴趣。作者在书中对于微分代数这一分支的阐释,堪称精妙绝伦。他并没有上来就堆砌晦涩的定义和公式,而是从最基本的代数结构入手,循序渐进地引导读者进入这个全新的数学世界。我非常喜欢书中对每一个新概念的引入方式,作者总会先从其产生的背景、解决的问题出发,再逐步给出严谨的定义和必要的证明。这种“由表及里”的讲解方式,大大降低了我理解的难度,也让我能够更深刻地理解这些数学概念的内在逻辑。在阅读过程中,我常常会被书中某些证明的巧妙所折服,作者能够在看似毫无关联的元素之间,找到一条严谨的逻辑通路,最终得出令人信服的结论。这种智力上的挑战和愉悦感,是阅读其他类型书籍所难以比拟的。我甚至会尝试自己去复现书中的一些证明过程,虽然并不总是能够成功,但每一次的尝试,都让我对数学的严谨性和创造力有了更深的体会。这本书让我认识到,数学并非冰冷的符号堆砌,而是充满智慧和艺术的学科,它能够以最抽象的方式,揭示出世界最本质的规律。

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我最近偶然间翻阅了《Differential Algebra & Related Topics》,虽然我并非这个领域的专家,但这本书所散发出的那种严谨而又深邃的学术气息,着实令我着迷。翻开第一页,扑面而来的是一种古老而又现代的数学语言,那些符号和定义,初看之下如同天书,但细细品味,却能感受到其中蕴含的逻辑之美和思想的深度。作者在引入基本概念时,并没有急于求成,而是循序渐进,从最基础的代数结构出发,逐步构建起微分代数的世界。这种扎实的铺垫,对于我这样初次接触这个领域的读者来说,无疑是极大的福音。我尤其喜欢作者在阐述某个定理或引理时,会引用大量的历史背景和相关研究成果,这不仅仅是学术的严谨,更是一种对前人智慧的尊重,也让我对这个领域的发展脉络有了更清晰的认识。有时候,我会因为一个证明的巧妙而反复推敲,或者因为一个例子的通俗易懂而豁然开朗。尽管我可能无法完全掌握书中的所有细节,但每一次的阅读,都像是在攀登一座知识的高峰,虽然过程艰难,但每一次的突破都带来了无与伦比的成就感。这本书不仅仅是一堆数学公式的堆砌,它更像是一扇窗,让我得以窥探更广阔的数学天地,激起了我对未知领域探索的强烈欲望。我常常会一边阅读,一边在脑海中勾勒出抽象概念的具象化图景,或者试图将书中的理论联系到其他我熟悉的数学分支,这样的过程本身就是一种智力上的挑战和乐趣。总而言之,这本书是一次令人难忘的知识之旅,它用一种独特的方式,向我展示了数学的魅力和深度。

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在翻阅《Differential Algebra & Related Topics》的过程中,我被作者深厚的学术造诣和严谨的治学态度深深折服。这本书并非一本通俗读物,它所触及的是数学领域中一个高度抽象且极具挑战性的分支。然而,即便如此,作者在内容编排和语言表达上,都展现出了极高的水准。我特别欣赏书中对核心概念的介绍方式,作者并没有简单地给出定义,而是通过深入浅出的解释,以及大量的数学推导,来引导读者逐步理解这些概念的内涵和外延。每一次的阅读,都像是在进行一次精密的数学推理,每一个步骤都充满了逻辑的力量。我有时会花很长时间去揣摩书中某个定理的证明过程,试图理解作者是如何从已知条件推导出结论的,这种过程虽然艰辛,但一旦有所领悟,便会有一种豁然开朗的喜悦。这本书让我深刻体会到了数学的严谨性和普适性。它所构建的理论框架,不仅仅局限于微分代数本身,更能够渗透到数学的其他分支,并为解决相关问题提供强大的工具。我常常会一边阅读,一边思考这些理论在更广泛的数学研究中有何潜在的应用,这种思考的过程,本身就极大地拓展了我的视野。尽管这本书的难度不低,但我相信,对于那些真正热爱数学,并愿意为之付出努力的读者来说,它将是一笔不可多得的精神财富。

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