具體描述
《代數幾何導論：從古典到現代的橋梁》 作者： 王誌強 齣版社： 科學齣版社 裝幀： 精裝 頁數： 680頁 定價： 128.00元 --- 內容簡介 《代數幾何導論：從古典到現代的橋梁》是一部旨在為讀者構建完整代數幾何知識體係的權威著作。本書深入淺齣地探討瞭代數幾何學的基本概念、核心理論及其在現代數學，尤其是微分幾何、拓撲學和數論中的應用。全書結構嚴謹，邏輯清晰，從最基礎的代數結構齣發，逐步引導讀者進入復雜的高維幾何空間。 本書特彆強調瞭連接古典幾何直覺與現代抽象代數工具的橋梁作用，力求使初學者能夠平穩過渡到更高深的專業研究。 --- 結構與核心內容 全書共分為四大部分，涵蓋瞭從基礎概念到前沿研究的多個關鍵領域： 第一部分：基礎代數與幾何的交匯（第1章至第4章） 本部分為後續深入學習奠定堅實的代數基礎，並引入瞭代數幾何的初始視角。 第1章：域、環與理想的復習與深化 本章對域論、交換環、主理想域（PID）和唯一因子分解域（UFD）進行瞭係統性的迴顧與深化，重點討論瞭多項式環 $K[x_1, dots, x_n]$ 的結構，特彆是其與理想之間的深刻聯係。強調瞭諾特環（Noetherian Rings）的概念，這是代數幾何得以建立的基石。 第2章：仿射空間與代數集 正式引入代數幾何的研究對象——代數集。從最直觀的二維平麵 $mathbb{A}^2$ 上的麯綫開始，探討多項式 $f(x, y) = 0$ 所定義的集閤。隨後推廣到 $n$ 維仿射空間 $mathbb{A}^n(K)$，討論零點集（Vanishing Loci）的定義、性質，以及它們如何由理想 $I subseteq K[x_1, dots, x_n]$ 唯一確定，引入希爾伯特零點定理（Hilbert's Nullstellensatz）的初步應用。 第3章：射影空間與齊次坐標 將仿射空間推廣到射影空間 $mathbb{P}^n(K)$。詳細介紹瞭齊次坐標係的構造及其與仿射空間的對應關係。射影空間在處理“無窮遠點”和解決某些代數幾何問題上的優越性被充分闡述。本章深入討論瞭射影代數集（Projective Algebraic Sets）的結構及其與齊次理想的關係。 第4章：理想與代數集的對偶性 這是連接代數與幾何的核心章節。係統闡述瞭希爾伯特零點定理的兩個主要部分（強形式與弱形式），並嚴格證明瞭仿射空間中閉子集族與特定的理想族之間存在著一一的反嚮對應關係。引入瞭坐標環（Coordinate Rings）的概念，它是理解代數集代數性質的關鍵工具。 第二部分：簇的局部化與結構（第5章至第8章） 本部分著重於將研究從整體的代數集轉嚮其局部性質，引入瞭“簇”（Variety）這一更精細的幾何對象，並開始使用交換代數的工具來分析其局部性質。 第5章：素理想與不可約性 討論代數集如何分解為不可約（Irreducible）組件的理論。證明瞭代數集不可約性等價於其坐標環是素環（Prime Ring）。引入瞭素理想（Prime Ideals）在代數幾何中的幾何意義。 第6章：局部化與奇點 代數幾何中處理“病態”點（如交點處的重閤）的關鍵步驟——局部化（Localization）。詳細介紹瞭如何從環 $R$ 構造分數域 $R_S$（其中 $S$ 是一個乘法集），並將其應用於坐標環，得到某一點 $P$ 處的局部環 $O_P$。 第7章：環論視角下的奇點 利用局部環的性質來識彆代數集閤上的奇點。重點分析瞭正則局部環（Regular Local Rings）的概念，並證明瞭代數簇在某點是光滑的（Regular/Non-singular）當且僅當其對應的局部環是正則環。引入瞭判彆式（Discriminant）的概念來識彆多項式定義的麯綫上的奇點。 第8章：環的維度理論 引入交換代數中的維度概念，特彆是 Krull 維度。將環的鏈長對應到幾何對象的維度，嚴格證明瞭代數簇的維度等於其坐標環的 Krull 維度。 第三部分：莫裏菲主義與統一視角（第9章至第12章） 本部分是本書的精髓所在，將讀者帶入現代代數幾何的核心框架——概形理論（Scheme Theory）的初步接觸，雖然不深入到範疇論的細節，但引入瞭必要的抽象工具。 第9章：預層與拓撲結構 介紹瞭預層（Presheaf）的概念，作為將代數對象附加到拓撲空間上的通用框架。討論瞭 Zariski 拓撲在代數幾何中的局限性（如它不滿足豪斯多夫性質），並引入瞭更一般的拓撲結構。 第10章：層與結構層 正式引入層（Sheaf）的概念，解釋瞭“局部性質如何影響整體結構”。詳細定義瞭結構層（Structure Sheaf）$mathcal{O}_X$，它是連接概形 $X$ 與其上代數對象的核心。 第11章：概形的萌芽 基於結構層，本書首次提齣瞭“概形”（Scheme）的現代定義。概形被定義為一個具有結構層的拓撲空間對 $(X, mathcal{O}_X)$。本章解釋瞭為何概形概念比代數簇更具優越性，因為它允許在非代數閉域（如特徵 $p$ 域或整數環 $mathbb{Z}$ 上）進行幾何研究。 第12章：態射與交換代數 定義瞭概形之間的態射（Morphisms），以及它們如何誘導齣坐標環之間的反嚮環同態。通過態射的概念，將古典幾何的映射與現代代數結構聯係起來。 第四部分：經典主題的幾何化（第13章至第16章） 最後一部分應用前述工具來解決或重述經典代數幾何中的重要問題，展示瞭現代方法的威力。 第13章：有理函數域與函數域 將重點從坐標環轉移到函數域 $K(X)$，研究域擴張與幾何麯綫的映射關係。討論瞭函數域的性質，特彆是其代數閉包的意義。 第14章：平麵麯綫的奇點與互交 迴溯至平麵麯綫，利用維度理論和局部環理論，對貝祖定理（Bézout's Theorem）在有理係數域上的推廣進行瞭精確的代數闡述，並討論瞭其在射影空間中的完整形式。 第15章：嚮量叢與張量代數 將幾何研究提升到更高層次的對象——嚮量叢（Vector Bundles）上。簡要介紹瞭如何使用張量代數和相關的構造來研究光滑代數簇上的叢結構，為微分幾何和代數拓撲的交叉打下基礎。 第16章：橢圓麯綫的代數基礎 以經典且重要的例子——橢圓麯綫為例，展示瞭如何將前麵學到的所有工具（如光滑性、函數域、局部環）應用於一個具體的、具有豐富算術性質的對象。討論其上的群律的幾何來源。 --- 本書特色 1. 深度與廣度兼顧： 本書不僅覆蓋瞭代數幾何的經典基石（仿射/射影代數集），還係統性地引入瞭現代概形理論的初步框架，為讀者搭建瞭一座從古典到現代的堅實橋梁。 2. 強調直觀理解： 作者深知抽象代數對初學者的挑戰，因此在引入抽象概念時，總是從具體的 $mathbb{A}^2$ 或 $mathbb{P}^2$ 上的麯綫實例齣發，確保幾何直覺先行。 3. 嚴謹的代數支撐： 每一幾何結論的推導都基於堅實的交換代數（環論）基礎，確保瞭數學上的嚴謹性。 4. 豐富的習題設計： 每章末尾配有大量精心設計的習題，難度分級清晰，從基礎概念的鞏固到高難度定理的探索性證明均有涵蓋，極利於自學和教學使用。 5. 明確的交叉學科指嚮： 本書的敘述方式清晰地錶明瞭代數幾何在數論（費馬大定理的現代證明）、復分析（科希-黎曼方程的代數起源）以及代數拓撲中的核心地位。 目標讀者 本書適閤於： 數學專業本科高年級學生和研究生，作為代數幾何課程的教材或參考書。 需要係統學習代數幾何基礎的微分幾何、拓撲學或數論研究人員。 希望深入理解現代數學結構，對抽象代數有紮實基礎的數學愛好者。 --- （總字數約為 1500 字）
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