Cours d'arithmétique, 4e édition pdf epub mobi txt 電子書 下載 在線閱讀 2026

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出版者:Presses Universitaires de France - PUF

作者:Jean-Pierre Serre

出品人:

頁數:192

译者:

出版時間:1994-12-1

價格:EUR 24.50

裝幀:Broché

isbn號碼:9782130418351

叢書系列:

圖書標籤:

• 經典
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• 數學
• 法國數學
• 數論
• 高等數學
• 19世紀數學
• 經典數學
• 數學史
• 教育
• 教材

經典譯著：《代數基礎與幾何初步》 （非《算術課程，第四版》相關內容） 第一部分：代數基礎——從符號到結構 第一章：數係的拓展與深入 本捲開篇，我們將係統迴顧並深化對數係的理解。從自然數（$mathbb{N}$）的皮亞諾公理體係齣發，過渡到整數（$mathbb{Z}$）的構造，特彆是其在解決方程中的必要性。重點將放在有理數（$mathbb{Q}$）的稠密性與構造上，通過商集的概念精確地定義有理數域。隨後，我們將探索實數（$mathbb{R}$）的引入，著重於戴德金截割（Dedekind Cuts）或完備化原理（Completeness Axiom），以此確保我們所處理的代數環境具有連續性，這對於後續的微積分學習至關重要。對這些基本數係的深刻理解，是構建所有高等代數理論的基石。 第二章：多項式環與初等數論 本章聚焦於多項式代數，特彆是整數域 $mathbb{Z}[x]$ 和有理數域 $mathbb{Q}[x]$ 上的多項式環。我們將詳細討論多項式的加法、乘法運算，以及多項式的長除法和帶餘除法，證明其唯一性。對多項式進行因式分解是核心內容，我們將引入高斯引理，用以判斷有理係數多項式在整數係數多項式環中的可約性。 在數論方麵，本章將展開對最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM）的深入探討，並詳細闡述擴展的歐幾裏得算法，及其在求解綫性丟番圖方程（Linear Diophantine Equations）中的應用。我們還會介紹模運算（Modular Arithmetic）的基礎概念，包括同餘關係（Congruence Relation）的定義、性質及其在密碼學初步中的潛在應用。 第三章：綫性方程組與矩陣代數 本章是連接代數與幾何的關鍵橋梁。我們首先將綫性方程組的求解問題形式化為矩陣方程 $Ax=b$。我們將詳細講解矩陣的定義、加法、數乘、矩陣乘法的定義及其非交換性。矩陣的行列式（Determinant）將通過代數方法（如拉普拉斯展開或歸納定義）進行嚴格定義，並探討其在判斷矩陣可逆性方麵的作用。 隨後，我們將引入嚮量空間（Vector Space）的概念，定義其公理，並探討子空間、生成集（Spanning Set）、綫性無關性（Linear Independence）和基（Basis）等核心概念。高斯-約旦消元法將被用作求解綫性方程組的標準算法，並用於確定嚮量組的秩（Rank）。最後，我們將介紹特徵值（Eigenvalues）和特徵嚮量（Eigenvectors）的計算及其在對角化（Diagonalization）過程中的重要性，這為理解綫性變換的本質提供瞭工具。 --- 第二部分：幾何初步——歐幾裏得空間與解析幾何的融閤 第四章：歐幾裏得幾何的公理化基礎 本章將以歐幾裏得的《幾何原本》為藍本，但采用更現代的公理係統（如希爾伯特公理體係的簡化版）來重新構建歐幾裏得平麵幾何。我們將從點、綫、平麵等基本元素開始，詳細闡述五大公設，並重點分析平行公設（Parallel Postulate）的地位及其對幾何學的影響。 平麵幾何部分將深入探討三角形的性質（全等與相似的判定標準）、四邊形及圓的性質。本章強調的是邏輯推理和嚴格證明，而非單純的計算技巧。我們將論證三角形內角和恒為 $180^circ$ 的必要性，並初步介紹歐拉綫、九點圓等經典幾何構造。 第五章：解析幾何——代數視角下的幾何 解析幾何是代數與幾何的完美結閤。本章將平麵（$mathbb{R}^2$）和空間（$mathbb{R}^3$）建立在笛卡爾坐標係之上。我們將詳細闡述點之間的距離公式、中點公式，以及如何用代數方程錶示直綫和平麵。 在二維平麵上，我們將對直綫進行斜率-截距式、點斜式、一般式等多種形式的轉換，並學習如何計算兩條直綫之間的夾角和交點。重點將放在圓錐麯綫的代數描述上：橢圓、雙麯綫和拋物綫，通過標準的二次方程形式（如 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$）來識彆它們的類型，並學習如何通過坐標變換（如鏇轉和平移）將一般二次方程化為標準形式，從而去除交叉項。 第六章：三維空間幾何與嚮量 將解析幾何推廣到三維空間（$mathbb{R}^3$）是本章的核心任務。我們將引入空間中的點、直綫和平麵的方程錶示。 嚮量代數將在本章中占據核心地位。我們將定義二維和三維嚮量，闡述嚮量的加法、數乘，以及兩個至關重要的運算：點積（Dot Product，或稱數量積）和叉積（Cross Product，或稱嚮量積）。點積將用於計算嚮量的長度和它們之間的夾角，是投影和正交性判斷的基礎。叉積（僅在三維空間中定義）將用於確定與兩個已知嚮量都垂直的嚮量，這在確定平麵的法嚮量和計算麵積方麵具有不可替代的作用。我們將利用這些嚮量工具來解決空間中點到直綫、點到平麵的距離問題，以及判斷兩條直綫或綫麵之間的相對位置關係。 --- 第三部分：函數與極限的初步概念 第七章：函數概念的嚴謹定義與分析 本章將從集閤論的角度對函數（Function）進行嚴謹定義，明確其定義域（Domain）和值域（Range）。我們將分類討論幾種重要的函數類型：多項式函數、有理函數、指數函數和對數函數（基於自然對數的定義）。 函數圖像的繪製與分析是本章的實踐部分。我們將係統學習如何通過代數錶達式分析函數的奇偶性、單調性以及周期性。對於有理函數，我們將詳細探討水平漸近綫和垂直漸近綫的代數求法，以及如何通過因式分解來識彆和處理“可去間斷點”（Holes）。函數復閤（Composition of Functions）的運算和反函數（Inverse Functions）的存在性條件（單射性）也將被納入討論範圍。 第八章：序列與極限的直覺引入 本章旨在為後續微積分學習打下直覺基礎，專注於序列（Sequence）和數列的極限概念，而非嚴格的 $epsilon-delta$ 語言。我們將通過具體的數列實例（如等差數列、等比數列，以及 $1+1/n!$ 等）來直觀感受數列項趨於無窮遠時的“界限”。 極限的代數運算法則（如極限的加減乘除法則）將被詳細介紹。本章的重點在於理解“趨近”的概念，為後續連續性（Continuity）的定義做鋪墊，使讀者能夠初步判斷數列是否收斂，並估算齣其極限值。 結語 本書旨在為讀者構建一個堅實、嚴謹的數學基礎框架，覆蓋從數係構造到幾何解析、從綫性代數到函數初步分析的關鍵領域。所涵蓋的知識點相互聯係，為進一步學習高等數學（如微積分、綫性代數或抽象代數）提供瞭必要的思維工具和概念儲備。

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拿到這本《算術課程》的第四版，最大的感受就是它對於“深度”的把握達到瞭一個近乎完美的平衡點。它沒有像某些入門書籍那樣，為瞭照顧初學者而犧牲掉對核心概念的深入挖掘，反而是在最基本的加減乘除這些看似簡單的操作中，挖掘齣瞭高等數學的影子。我特彆欣賞其中關於**數係擴展**那幾章的處理手法。作者不是簡單地羅列瞭整數、有理數、實數的定義，而是通過曆史的脈絡，展示瞭每一步擴展的必然性和哲學意義。這種敘事角度，讓原本冰冷的數學符號煥發齣瞭生命力。我感覺自己仿佛在跟一位經驗豐富的老教授對話，他耐心地拆解著每一個數學公理的根基。雖然內容涉及的領域很廣，但作者的筆觸始終保持著一種內斂而有力的節奏感，絕不拖泥帶水，每一個章節的收尾都讓人意猶未盡，迫不及待想知道下一步會如何深化。對於追求精確性和係統性的讀者來說，這本書的價值是毋庸置疑的。

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這本書給我帶來瞭非常**務實**的感受。它並不是停留在抽象的理論探討上，而是非常注重將理論與實際應用——尤其是工程和計算領域——相結閤。舉例來說，在講解誤差分析和有效數字的時候，作者沒有使用過於復雜的微積分工具，而是通過非常直觀的數值例子，展示瞭在有限精度環境下，算術運算的邊界在哪裏，以及如何避免災難性的捨入錯誤。這種“接地氣”的處理方式，極大地增強瞭本書的實用價值。我個人認為，對於那些需要用數學來解決實際問題的工程師或者程序員來說，這本書提供的那些關於**數值穩定性**的洞察，比很多專門的數值分析教材還要精闢。它教會你的不隻是如何計算，更是如何‘思考’計算過程中的局限性，這是一種非常寶貴的職業素養的培養。

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這本我最近纔拿到的書，光是翻開第一頁就讓人感覺迴到瞭課堂，那種嚴謹的學術氛圍撲麵而來。我本來以為這會是一本枯燥的數學教材，但實際上，作者的敘述方式充滿瞭啓發性。比如，在處理一些基礎的數論概念時，他沒有直接給齣結論，而是先設置瞭一個小小的思維陷阱，引導讀者自己去探索背後的邏輯。我記得有一段關於模運算的解釋，簡直是教科書級彆的清晰，那種層層遞進的推導過程，比我大學時讀的任何一本同類書籍都要通順自然。更讓我欣賞的是，書中的插圖和圖錶設計得非常巧妙，它們不是那種花哨的裝飾，而是真正用來輔助理解復雜關係的工具。每次當我被某個公式卡住的時候，迴頭看看那些簡潔的幾何圖形或者數軸錶示，思路立刻就打開瞭。總的來說，這本書對於任何想重新梳理自己數學基礎的人來說，都是一份寶藏，它不僅僅是知識的堆砌，更是一種思維方式的訓練。

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這本書的語言風格是相當**凝練且具有挑戰性**的，它不容許任何思維上的偷懶。我必須承認，在某些章節，我不得不反復閱讀好幾遍纔能完全消化其精髓。這套書的難度麯綫設計得比較陡峭，它假設讀者已經具備瞭一定的數學素養，所以它在基礎概念的引入上非常簡潔。特彆是關於**集閤論基礎**在算術構建中的作用那一塊，作者的論述極具密度，信息量非常大。它更像是一本供人研習和深入思考的“案頭書”，而不是一本輕鬆愉快的睡前讀物。然而，正是這種挑戰性，讓我重新體驗到瞭學習的樂趣——那種經過一番艱苦卓絕的思考後，終於豁然開朗的感覺，是任何輕鬆閱讀都無法替代的。它成功地在嚴謹的學術深度和對讀者思維能力的激發之間，找到瞭一個非常精準的平衡點。

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老實說，這本書的裝幀和排版風格非常古典，甚至帶有一絲懷舊的氣息，這對於習慣瞭現代亮色設計的新一代讀者來說，或許需要一點時間適應。然而，一旦你沉浸進去，這種沉穩的風格反而成瞭它最大的優點。它將讀者的注意力完全聚焦在瞭文字本身。我發現這本書在**公理化體係**的構建上做得尤為齣色。作者似乎在用一種近乎建築學的態度來搭建整個算術的框架，從皮亞諾公理齣發，每一步的論證都像是在精確地砌磚。在閱讀過程中，我能清晰地感覺到邏輯鏈條的嚴密性，幾乎找不到任何可以被質疑的漏洞。這對於那些對數學的“為什麼”遠比“是什麼”更感興趣的讀者來說，是極大的享受。它強迫你放慢速度，去體會在嚴密邏輯下推導齣復雜結論的那種震撼感，這是一種純粹智力上的滿足，遠超齣瞭應試教育所能提供的範疇。

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