Combinatorics and Graph Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:John Harris

出品人:

页数:381

译者:

出版时间:2008-9-19

价格:USD 54.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387797106

丛书系列:Undergraduate Texts in Mathematics

图书标签:

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离散数学核心：逻辑、集合与代数结构 内容简介 本书深入探讨离散数学的基石——逻辑、集合论以及抽象代数结构。它旨在为读者提供坚实的理论基础，使他们能够理解和应用现代计算科学、理论物理以及纯数学中的核心概念。全书结构严谨，内容涵盖了从最基础的公理化集合论到复杂的群、环、域等代数结构，同时辅以大量的实例和练习，以期帮助读者透彻理解理论与实践之间的桥梁。 第一部分：基础逻辑与证明方法 本部分聚焦于数学思维的严谨性，即如何构建有效的论证。 第一章：命题逻辑 我们从命题逻辑的语法和语义开始，详细介绍连接词（AND, OR, NOT, IMPLIES, IFF）的真值表及其逻辑等价性。重点分析重言式、矛盾式和可满足式。随后，引入推理规则，如分离规则（Modus Ponens）和假言三段论。本章还讨论了如何使用逻辑语言准确地表达自然语言陈述，特别是量词（全称量词 $forall$ 和存在量词 $exists$）的规范使用，并分析了量词的否定规则。 第二章：一阶谓词逻辑 在命题逻辑的基础上，扩展到谓词逻辑，引入变量、谓词符号和函数符号。详细讲解如何构造复杂的逻辑公式，并阐述满足、有效性和可满足性的概念。特别关注如何将复杂的数学陈述（如“所有素数都是奇数，除了2”）精确地翻译成一阶逻辑表达式。 第三章：证明的艺术与技巧 本章是理解数学论证的关键。我们系统地介绍了主要的证明方法： 直接证明 (Direct Proof)： 依据定义和已知定理进行线性推导。 反证法 (Proof by Contradiction)： 假设结论不成立，导出逻辑矛盾。 逆否命题证明 (Proof by Contrapositive)： 证明 $P Rightarrow Q$ 等价于证明 $ eg Q Rightarrow eg P$。 构造性证明 (Constructive Proof)： 直接给出一个构造实例来证明存在性。 归纳法 (Mathematical Induction)： 详细区分标准数学归纳法、强归纳法（Well-Ordering Principle）以及结构归纳法。对涉及递归定义的结构（如斐波那契数列或树结构）的应用进行了深入剖析。 第四章：集合论基础 集合论是构建所有数学对象的语言。本章奠定集合论的基础： 集合的定义与表示： 描述性定义、枚举法以及集合建构符号（Set-Builder Notation）。 集合运算： 并集、交集、补集、差集以及笛卡尔积。详细讨论了德摩根定律及其在集合运算中的推广。 幂集 (Power Sets)： 探讨幂集的性质及其基数的计算。 关系的定义： 笛卡尔积、二元关系、关系的性质（自反性、对称性、传递性）。重点分析等价关系及其等价类的划分性质，并探讨偏序关系和哈斯图 (Hasse Diagrams) 的绘制与分析。 第二部分：函数、计数与可数性 本部分将集合论的应用扩展到函数分析和计数原理。 第五章：函数与映射 本章严格定义了函数，并探讨了不同类型的映射： 单射 (Injective)、满射 (Surjective) 和双射 (Bijective)： 详细阐述这些性质如何影响函数的逆和复合。 函数的逆和复合： 分析复合函数的性质以及双射函数存在唯一逆函数的原因。 基数 (Cardinality)： 初步引入基数的概念，比较有限集的大小。 第六章：计数原理 这是概率论和算法分析的基础。我们系统地介绍计算排列组合的工具： 加法原理与乘法原理。 排列 (Permutations)： 不重复和有重复的排列。 组合 (Combinations)： 组合公式 $inom{n}{k}$ 的推导及其应用。 鸽巢原理 (Pigeonhole Principle)： 基础形式及其推广形式在证明中的应用，例如证明至少存在多少个具有特定属性的对象。 容斥原理 (Inclusion-Exclusion Principle)： 解决复杂的重叠计数问题，例如错排问题（Derangements）。 第七章：无限集的基数 本章挑战有限数的直觉，深入探讨无限性。 可数集 (Countable Sets)： 自然数集 $mathbb{N}$ 的基数 $aleph_0$。证明整数集 $mathbb{Z}$ 和有理数集 $mathbb{Q}$ 也是可数的。 不可数集 (Uncountable Sets)： 使用康托尔对角线论法 (Cantor's Diagonal Argument) 证明实数集 $mathbb{R}$ 的基数 $c$ 大于 $aleph_0$。 康托尔定理： 证明任何集合的幂集具有严格大于原集合的基数。 第三部分：抽象代数结构 本部分从集合论的结构过渡到代数系统的严格定义和研究。 第八章：代数结构基础与群论 本章介绍代数结构的概念，并重点剖析群论： 运算的封闭性与性质： 结合律、单位元、逆元。 群的定义： 详细分析具有结合律、单位元和逆元（四组公理）的代数结构。 常见的群实例： 整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$、非零有理数的乘法群 $(mathbb{Q}^, imes)$、矩阵群（如可逆矩阵群 $GL(n, mathbb{R})$）。 子群与陪集： 子群的判定定理。拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）的阐述及其重要推论，如群中任意元素的阶整除群的阶。 同态与同构： 映射如何保持代数结构。 第九章：更深层次的群论概念 深入探讨群的内部结构： 正规子群 (Normal Subgroups)： 判定标准，以及正规子群与陪集结构的内在联系。 商群 (Quotient Groups)： 如何通过正规子群构造新的群结构。 同态基本定理 (First Isomorphism Theorem)： 建立商群与同态像之间的关键联系。 循环群 (Cyclic Groups)： 生成元、阶的概念及其在有限群中的重要性。 第十章：环与域 从群的单操作扩展到具有两个运算的结构： 环的定义： 满足加法群结构和乘法结合律，并满足分配律的结构。 特殊类型的环： 交换环、单位环。零因子、整环 (Integral Domains)。 域的定义： 作为“非零元素构成乘法群”的交换环。 域的实例： 整数模 $n$ 的环 $mathbb{Z}_n$ 何时构成域（即 $n$ 为素数时）。 理想 (Ideals)： 环论中的“子群”概念的推广，以及商环的构造。 附录：基础代数回顾 简要回顾整数、有理数和实数的基本代数性质，以确保读者对不同数域的操作有清晰的认识。 本书的特点在于其对概念定义的严格性，同时通过大量的结构化练习，确保读者不仅能记忆定义，更能灵活运用这些强大的抽象工具来解决实际的数学和计算问题。每一章节都包含“思考题”和“扩展练习”，引导读者探索概念的边界和更复杂的应用场景。

评分☆☆☆☆☆

本书是RICE UNIVERSITY数学专业MATH 368使用的教材。作为美国的教材，50刀hardcover新书的价格已经是非常非常亲民了（paperback会更为便宜），并且SPRINGER出版的教科书一直质量过硬。也推荐自学使用。但是和大部分美国教材一样，这本书没有习题解答。所以做不出的题目活不确定...

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

这本教材的习题设计是我见过最具有启发性和挑战性的范例之一。它们不仅仅是简单地复述课本中讲解的知识点，很多题目本身就是对某一特定理论应用场景的微型研究。难度梯度设置得非常合理，从基础的巩固性练习，到需要综合运用多个章节知识点的综合大题，再到那些只在脚注中暗示的“开放性探索”，无不体现出编撰者对该学科的深刻理解和对教学效果的精妙平衡。我发现，很多我原本以为已经掌握的概念，在尝试解决那些稍微拐了个弯的习题时，才猛然发觉自己理解上的细微偏差。更棒的是，书后附带的某些章节的解答思路（虽然不是完整的步骤），已经足够引导我走出困境，而不是直接给出答案而扼杀了思考的乐趣。对于希望真正将理论知识转化为解决实际问题的能力的读者来说，这本书的练习部分是物超所值的内容。

评分☆☆☆☆☆

老实说，这本书的难度系数绝对不低，它更像是一次智力上的攀登，而不是轻松的散步。对于那些仅仅希望快速了解该领域皮毛的读者来说，可能需要做好心理准备，因为它毫不留情地深入到了证明的细节和理论的深处。其中涉及到的某些高级结构和复杂映射的讨论，即便是对有一定基础的人来说，也需要多次回溯和反复咀嚼才能真正消化。但正是这种毫不妥协的深度，使得这本书的价值得以凸显——它训练的不仅仅是知识的获取能力，更是严谨的数学思维模式。读完之后，我感觉自己在处理逻辑问题时的条理性得到了显著提升，那种面对未知挑战时能够保持冷静并拆解问题的能力，是任何速成指南都无法给予的。它要求读者投入时间与精力，但回报是以一个更加坚实和深刻的知识体系为代价的。

评分☆☆☆☆☆

深入阅读后，我越来越佩服作者在选择覆盖范围上的精准把控力。这本书的内容组织结构清晰得令人惊叹，章节之间的逻辑衔接丝滑流畅，仿佛是在沿着一条精心规划的路径引导读者穿越一片复杂的知识森林。它巧妙地避开了那些过于偏门、应用价值不高的分支，而是将篇幅集中于那些构成了该学科坚实基础的核心理论和最具代表性的经典案例上。例如，它对某些经典算法的介绍，不仅给出了最标准的描述，还对其复杂度进行了深入的剖析，这种对效率和可行性的关注，体现了作者的实践精神。我个人尤其欣赏它在引入新概念时，往往会先从一个历史背景或一个实际应用需求出发，这样能让读者立刻理解该理论存在的价值，而不是仅仅将它们视为纯粹的数学构造。这种高度聚焦且兼顾宏观视野的编排，使得学习路径非常高效。

评分☆☆☆☆☆

这本书的印刷质量堪称一流，装帧设计也颇具匠心，初拿到手时，那种厚重而坚实的质感就让人对其中的内容充满了期待。内页的纸张选择相当考究，文字的排版清晰、疏朗有致，即使是面对那些复杂的数学公式和图示，阅读起来也不会感到费神。我尤其欣赏作者在图表绘制上的细致程度，每一个图形的线条都精准无误，色彩的运用也恰到好处，极大地增强了对抽象概念的直观理解。举例来说，在讲解某些网络流的构造时，配合的流程图简直是神来之笔，一下子就把原本拗口的定义变得清晰可见。不过，对于初学者而言，可能需要更多的上下文铺垫，毕竟内容深度是毋庸置疑的。尽管如此，作为一本工具书或进阶参考资料，它的实体制作水准绝对是教科书中的典范，拿在手里就能感受到一种沉甸甸的专业感，这在当今充斥着轻量化电子书的时代，实在是一种难得的体验。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的叙述风格简直爱不释手，它没有那种传统数学教材的刻板和枯燥，反而充满了探讨和引导的智慧。作者似乎非常懂得如何与读者进行一场深入的对话，每一个定理的引入都伴随着精妙的动机阐述，让人清楚地知道“为什么我们需要研究这个？”而不是简单地抛出一个结论。这种循序渐进、层层递进的讲解方式，使得原本可能让人望而生畏的抽象概念，逐步变得可触可感。特别是在处理那些需要巧妙构造的证明时，作者会先展示一个直觉上的思路，然后才逐步落实到严密的逻辑推导，这种“先见林，后见木”的教学法，极大地激发了我解决问题的欲望。我甚至会忍不住在读完一个章节后，合上书本，尝试自己重新构建一遍证明的框架，这比死记硬背公式有效得多。这种强调理解而非记忆的教学态度，无疑是本书最宝贵的财富之一。

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课后习题有参考答案的话就好了

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