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出版者:中国科学技术大学出版社

作者:孙淑玲

出品人:

页数:330 页

译者:

出版时间:1999年

价格:16.0

装帧:平装

isbn号码:9787312010408

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现代离散数学前沿：图论、组合设计与算法优化 本书旨在深入探讨离散数学领域中几个至关重要且相互关联的分支：图论的拓扑结构与性质、组合设计的精妙构造以及高效算法在复杂问题求解中的应用。它不仅是对现有理论体系的系统梳理，更是对前沿研究方向的探索与展望，尤其侧重于理论与实际工程应用的紧密结合。 本书的构建遵循逻辑递进的原则，从最基础的离散结构单元出发，逐步深入到复杂系统的建模与优化。全书共分为六大部分，涵盖了现代离散数学中的核心内容。 --- 第一部分：图论基础与网络流理论的深度解析 本部分将扎实奠定读者在图论领域的理论基础，并着重剖析网络流理论在资源分配与路径优化中的强大能力。 第一章：图的拓扑结构与表示 详细阐述图的基本概念，包括有向图、无向图、多重图以及超图的精确定义。重点讲解图的矩阵表示法——邻接矩阵、关联矩阵以及拉普拉斯矩阵的构造与性质。深入分析这些矩阵在描述图结构特性（如连通性、度序列等）时的数学意义。引入子图、导出子图、图同构等核心概念，并讨论判断图同构的理论挑战与实用方法。 第二章：图的连通性、回路与割 系统分析图的连通性概念，包括 $k$-连通图、边连通度与点连通度的区别。深入研究割集、最小割以及桥的概念。回路方面，详细阐述欧拉路径、哈密顿回路的存在性判据（如欧拉定理、Dirac定理、Ore定理及其推广），并探讨NP-完全性在此类问题中的体现。 第三章：网络流理论与最大流最小割 本章聚焦于带权图上的流问题。精确定义网络、容量、流量等基本要素。全面介绍求解最大流问题的经典算法：Ford-Fulkerson方法及其基于增广路径的实现（如Edmonds-Karp算法）。随后，深入探讨利用Dinic算法和Push-Relabel算法实现的高效求解策略，并严格证明最大流-最小割定理的对偶性与普适性。此外，本书还将覆盖最小费用最大流问题的基础理论框架。 --- 第二部分：图的着色、覆盖与匹配理论 本部分将重点关注图的资源分配问题，这些问题在调度、资源共享和逻辑推理中具有直接的应用价值。 第四章：图的着色问题 细致讲解图的边着色与点着色。在点着色方面，深入剖析 $chi(G)$ 的性质，讨论著名的四色定理的现代证明思路（非直接算法描述）。着重分析判定图是否为 $k$-可着色的NP-完全性，并探讨判定更容易的特例，如二分图的着色特性。在边着色方面，阐述Vizing定理及其在调度问题中的应用。 第五章：覆盖与独立集 探讨点覆盖、边覆盖的概念及其相互关系。着重分析最小点覆盖与最大独立集之间的对偶关系，并讨论在一般图和二分图中的求解策略。介绍支配集（Dominating Set）的概念，并讨论其在网络覆盖优化中的作用。 第六章：图的匹配理论 全面介绍匹配（Matching）的定义，特别是最大匹配的求解。深入讲解二分图中的最大匹配问题，应用Hall的定理（Hall’s Marriage Theorem）进行理论分析。对于一般图，详细阐述Tutte矩阵和Tutte公式的原理，并介绍利用Blossom算法解决一般图最大匹配问题的关键步骤。 --- 第三部分：组合设计与代数结构 本部分将从抽象代数的角度审视离散结构，探讨具有高度对称性和平衡性的组合构造。 第七章：设计理论基础 引入组合设计的核心概念，如平衡不完全区组设计（BIBD）、平衡列块设计（BCTD）和正交拉丁方（Orthogonal Latin Squares）。详细分析这些设计的存在性条件（如Fisher不等式）和构造方法，特别是利用有限域（Galois Field）构造设计（如Hadamard矩阵的构造与性质）。 第八章：有限几何与射影平面 介绍有限域上的几何结构，特别是射影平面（Projective Planes）和仿射平面（Affine Planes）的构造原理。阐述射影平面与特定类型组合设计的内在联系，探讨其在编码理论和密码学中的潜在应用。 --- 第四部分：生成函数与高级计数方法 本部分专注于强大的计数工具——生成函数及其在递推关系求解中的应用。 第九章：普通生成函数（OGF）与指数生成函数（EGF） 系统介绍OGF的代数性质，如何利用OGF解决线性齐次递推关系，并探讨其在特定组合对象计数中的应用（如Catalan数、Fibonacci数）。随后，引入EGF，并阐述其在处理标记（Labeled）对象和指数级增长序列计数中的优势，特别是与排列和结构组合相关的计数问题。 第十章：容斥原理与莫比乌斯反演 深入阐述容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion, PIE）的精确表述及其在集合计数问题中的应用。系统介绍在偏序集上的莫比乌斯反演公式，并讨论其在格论和算术函数（如欧拉 $phi$ 函数）计算中的重要性。 --- 第五部分：算法复杂度与计算模型 本部分将视角转向算法的效率分析，这是将理论应用于实际工程的关键。 第十一章：判定问题与复杂度类 系统回顾图灵机模型与可计算性理论的基础。精确定义时间复杂度、空间复杂度，并详细讲解多项式时间（P类）与非确定性多项式时间（NP类）的严格区别。重点分析NP-完全问题的概念，并通过Karp约化（Karp Reductions）展示若干经典组合问题（如集合覆盖、旅行商问题）的NP-完全性证明框架。 第十二章：近似算法与启发式方法 鉴于许多重要组合问题是NP-难的，本章探讨在无法在多项式时间内获得精确解时，如何设计高效的近似算法。介绍近似比（Approximation Ratio）的概念，并针对旅行商问题（TSP）和集合覆盖问题介绍具有可证明界限的贪婪算法或局部搜索启发式方法。 --- 第六部分：随机组合学与概率方法 本部分探索在处理大规模或结构不明确的组合对象时，概率论工具的强大威力。 第十三章：概率方法基础 介绍概率方法的基本思想：如果一个随机构造的对象集存在某个具有所需性质的对象，则该性质的对象必然存在。详细讨论了线性期望法和概率论证法，重点分析Chernoff界和马尔可夫不等式在建立集中性界限中的应用。 第十四章：随机图模型 重点研究Erdős-Rényi随机图模型 $G(n, p)$ 和 $G(n, M)$。分析关键阈值现象（Threshold Phenomena），例如连通性、最大团的出现与消失所依赖的概率 $p$ 的临界值。讨论随机图在网络科学和容错系统建模中的意义。 --- 本书的读者对象是数学、计算机科学、信息工程、运筹学及相关领域的本科高年级学生和研究生。 书中包含了大量的例题、习题及开放性研究问题，旨在培养读者严谨的数学思维和解决实际复杂组合问题的能力。理论推导严密，同时注重与现代优化技术和算法实现的衔接。

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对于一个自学者来说，选择一本好的教材至关重要，而这本《组合数学引论》的排版和内容的组织结构，简直是为我们这些“非科班出身”的探索者准备的。首先，它的语言风格极其清晰、准确，没有太多晦涩难懂的行话堆砌，即便是初次接触生成函数或斯特林数的读者，也能跟上节奏。书中对每一个重要定理的引入，都附带着详尽的动机说明，这极大地减少了阅读时的“认知负荷”。我特别欣赏它在介绍概率论与组合数学交汇点时的处理方式，那些关于随机图或抽样理论的章节，平衡得恰到好处，既没有偏废理论深度，又确保了应用层面的可理解性。唯一让我稍感遗憾的是，对于更前沿的一些计数方法，比如符号演算的应用，篇幅稍显不足，但考虑到这是一本“引论”，它的基础奠定工作已经做得非常出色了。总而言之，这是一本可以反复翻阅，每次都有新收获的经典之作。

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读完这本书后，我感觉自己对计算机科学中许多核心算法的理解都得到了质的飞跃。以前在学习动态规划或者网络流的时候，总觉得有些“凭空出现”的优化技巧，但现在通过书中关于排列组合、鸽巢原理等底层逻辑的剖析，我明白了这些高效算法背后的数学必然性。例如，书中对二分图匹配的介绍，虽然没有直接深入到复杂的网络流模型，但它用清晰的构造性证明展示了最大匹配的存在性，这种构造性的视角对于实际编程实现太有指导意义了。作者在处理一些涉及对称性和不变性的问题时，展现出一种近乎哲学的洞察力，让我意识到组合数学不仅仅是计数，更是一种寻找结构不变性的强大工具。这本书的价值在于，它让你从“知道怎么做”提升到了“理解为什么这样做”，这在快速迭代的工程领域是极其宝贵的财富。

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这本书简直是为那些想在离散数学的海洋里乘风破浪的人量身定做的指南。从一开始，作者就非常巧妙地将枯燥的数学概念融入到一系列引人入胜的实际问题中，让人在不知不觉中学到了核心思想。比如，对于集合论的基本操作，书中并没有停留在抽象的符号推导上，而是通过大量的例子，比如棋盘上的涂色问题、抽屉原理在日常生活中的应用，让读者能够直观地感受到这些工具的强大。尤其是讲解容斥原理的那几章，简直是茅塞顿开，那些曾经让我头疼不已的复杂计数问题，在作者的层层递进的逻辑梳理下，变得清晰易懂。更值得称赞的是，书中对图论基础的介绍，那种严谨又不失趣味的笔触，让我仿佛置身于一个充满结构和连接的迷宫中，每走一步都充满了发现的喜悦。可以说，这本书为我搭建了一个坚实的知识平台，让我有信心去探索更深层次的算法和结构。

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这本书的阅读体验简直是一种享受，因为它似乎非常清楚地知道读者在什么时候最容易感到迷茫。它总是在关键的转折点提供一个“小憩站”——可能是对一个复杂证明的简化回顾，也可能是一个启发性的几何解释。我尤其对其中关于“生成函数的指数型应用”的那一章印象深刻，作者巧妙地将抽象的符号运算与实际的标记组合问题联系起来，那种从具体情景跳跃到抽象框架，再从抽象框架回归具体解释的往复过程，极大地增强了我的数学直觉。这本书的行文风格非常沉稳、可靠，就像一位经验丰富的导师在身边耐心引导，它不会为了炫耀理论的难度而故意设置阅读障碍。对于任何希望系统掌握离散结构分析方法的人来说，这本书不仅是一本工具书，更是一本能够培养数学思维习惯的良师益友，它的深度与广度都恰到好处，让人读完后充满信心去面对更艰深的学术挑战。

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我花了很长时间寻找一本能真正将“美感”融入到数学理论中的教材，而这本《组合数学引论》无疑是其中的佼佼者。它的叙述方式非常具有人文关怀，作者似乎时刻都在提醒我们，这些看似冰冷的公式背后，蕴含着宇宙运行的某种和谐韵律。例如，在讲解生成函数的部分，作者引入了一些关于数列和函数的奇妙转换，那种将无穷级数简化为有理函数的过程，本身就是一种艺术。我特别喜欢它在讨论递推关系时所采用的视角，不仅仅是解出答案，而是深入探讨解的结构和性质，这让我对序列的未来行为有了更深刻的预判能力。书中的习题设计也极其巧妙，它们往往不是简单地套用公式，而是需要读者进行创造性的思考和转换，有几道题我冥思苦想了很久，最终得出答案时的那种成就感，是任何标准答案都无法替代的。这本书真正做到了“授人以渔”，它教会了我如何用组合数学家的思维去观察和建模世界。

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