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出版者:

作者:K. Elayn Martin-Gay

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780536840059

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 中级代数
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 学习
• 方程
• 函数
• 多项式
• 因式分解

好的，这是一份关于一本名为《高等代数入门》的图书简介，内容详实，旨在涵盖代数学习的各个重要阶段，但不涉及《Intermediate Algebra》中的具体内容。 --- 《高等代数入门》 一部面向基础学习者与进阶探索者的全面代数指南 内容概述 《高等代数入门》旨在为读者提供一个坚实而深入的代数基础，它不仅仅是对基础概念的简单回顾，更是一次对代数思维和结构化解决问题的系统的探索。本书的编排遵循逻辑递进的原则，从最基本的数系和运算律出发，逐步过渡到更抽象的结构，如群、环和域的初步概念。它致力于弥合初级代数与更高级抽象代数之间的鸿沟，为有志于深造数学或需要强大定量分析能力的理工科学生奠定不可或缺的基石。 第一部分：基础的重塑与深化——数系与基本结构 本书的开篇部分将对读者已有的数系知识进行一次严谨的、具有更高视角的审视。 第一章：数系的拓扑与拓展 本章从自然数集 ($mathbb{N}$) 开始，详细阐述如何通过皮亚诺公理构造整数集 ($mathbb{Z}$)，并在此基础上构建有理数集 ($mathbb{Q}$)。我们着重探讨了有理数集的完备性问题，这为引入无理数和实数集 ($mathbb{R}$) 奠定了必要的逻辑基础。实数集的引入将侧重于其代数结构（作为域）和拓扑性质的初步介绍。复数集 ($mathbb{C}$) 的构建将不仅仅停留在代数形式 $a+bi$，而是深入探讨其在几何意义上的表示——复平面，以及其作为场的性质。我们还将花大量篇幅讨论基本运算律在不同数系下的保持性，特别是结合律、分配律在扩展数系中的作用。 第二章：多项式代数的基础 本章将多项式的概念提升到代数结构的高度。我们不仅讨论多项式的加法、乘法和除法（包括带余除法），更重要的是，将多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 是一个域，如 $mathbb{R}$ 或 $mathbb{C}$）作为核心研究对象。我们将深入探讨多项式的根的性质，包括重根判别法、有理根定理以及如何使用因式分解定理在不同域上分解多项式。对于复系数多项式，我们将引入基本定理的严格证明，并探讨代数基本定理的深远意义。 第二章的亮点在于： 将多项式视为系数在特定域上的函数对象，而非仅仅是变量的组合，从而引入代数结构的研究视角。 第二部分：线性结构的探索——向量空间与线性变换 这是本书的核心篇章之一，它将代数思维扩展到更高维度的结构中。 第三章：向量空间：抽象化的几何 本章从二维和三维空间（$mathbb{R}^2, mathbb{R}^3$）的具体例子出发，抽象定义出向量空间（Vector Space）的严格定义，即满足十条公理的集合。我们将详细讨论子空间的概念，生成（Span）的概念，线性无关性，以及基（Basis）和维数（Dimension）的唯一性定理。本章将大量使用抽象的线性组合和线性映射来阐明这些概念的普适性。 第四章：线性变换与矩阵表示 线性变换（Linear Transformation）被视为向量空间之间的结构保持映射。我们将探讨其核（Kernel）和像（Image）的概念，以及维度定理（Rank-Nullity Theorem）的推导及其重要性。矩阵将作为表示线性变换的工具出现，重点讨论矩阵乘法与复合变换的关系。本章将详述从一个基到另一个基的坐标变换公式，强调矩阵表示依赖于所选基的重要性。 第五章：线性系统的解与矩阵的结构 本章将线性代数的核心应用——求解线性方程组——置于抽象的向量空间框架下讨论。我们将使用高斯消元法（Gauss-Jordan Elimination）来系统地求解 $Ax=b$ 形式的方程组，并讨论解集构成的是一个仿射子空间。矩阵的秩（Rank）与解的存在性和唯一性之间的联系将得到清晰的论证。 第六章：特征值与特征向量 本章是理解线性变换本质的关键。我们将定义特征值和特征向量，并推导出求法。重点讨论对角化（Diagonalization）的概念，即寻找一组使得矩阵表示“最简单”（对角化）的基。我们将讨论对称矩阵的谱定理（Spectral Theorem）及其在正交对角化中的应用，这为后续的二次型分析和微分方程的求解奠定了基础。 第三部分：结构探秘——从数域到抽象代数 最后一部分将目光投向更抽象的代数结构，为读者理解现代数学打下基础。 第七章：域的扩展与域论的初步 本章将讨论域（Field）的概念，并从已知的域（如 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$）出发，构造新的数域，特别是通过添加根来构造域的扩张（Field Extension）。我们将探讨最小多项式（Minimal Polynomial）的概念，并介绍如何构建有限域（Galois Fields）的初步思想，尽管深度不会涉及伽罗瓦理论的全部复杂性。 第八章：群论的雏形 本章将引入最基础的代数结构——群（Group）。我们将从对称群（如 $S_3$）的具体例子开始，定义群的公理（封闭性、结合律、单位元、逆元）。接着，我们将讨论子群、陪集（Cosets）和拉格朗日定理（Lagrange's Theorem），这是群论中最为核心且普遍适用的工具之一。同态（Homomorphism）的概念将被引入，以理解结构是如何在不同群之间传递的。 总结与展望 《高等代数入门》的最终目标是培养读者一种“结构化思维”——能够识别不同数学对象（无论是多项式、向量还是特定运算的集合）背后潜在的代数结构，并运用统一的工具去分析它们。本书的每一章都力求在严谨的证明和直观的例子之间找到平衡，确保读者不仅知道“是什么”，更能理解“为什么”。本书为后续的抽象代数、拓扑学、以及高级的线性分析课程提供了坚实而必要的准备。 ---

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在学习过程中，我发现《Intermediate Algebra》的叙述风格非常具有启发性，它不仅仅是一本教材，更像是一位耐心而渊博的导师。作者在解释一些稍微复杂的概念，比如指数与对数运算，并没有简单地给出公式，而是从指数的定义出发，逐步引导读者推导出对数的性质。这种“循序渐进”的方式，让我能够更好地理解这些概念的由来和逻辑，而不是望而却步。我之前对对数函数的认识仅限于“指数的逆运算”，但这本书通过对数函数的图像、性质以及在科学计算中的应用（比如pH值、分贝等）的详细阐述，让我对对数有了更深刻、更全面的认识。书中还花了不少篇幅介绍求解对数方程的方法，并且提供了大量的例题进行演示，这些都极大地增强了我解决相关问题的信心。整本书的结构安排也很合理，知识点之间的过渡自然流畅，学习起来不会感到突兀。

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这本书简直是把我从对代数的恐惧中拯救了出来！我一直以来都对数学，尤其是代数，感到有些畏惧，总觉得那些x、y和各种奇怪的公式像天书一样。但当我翻开《Intermediate Algebra》，那种陌生感很快就被好奇心取代了。开篇的章节非常清晰地解释了代数的基本概念，就像是手把手地引导我一步步走进这个数学世界。作者在介绍方程时，并没有直接抛出复杂的解法，而是先从简单的线性方程入手，通过层层递进的例子，让我理解了方程的本质以及如何进行符号的转换和运算。特别是关于不等式的部分，我以前总觉得它比等式更难理解，但这本书通过生动的图示和贴切的生活化例子，比如商店打折、资源分配等，让我对不等式的概念有了全新的认识，也学会了如何判断不等式的解集。我尤其喜欢作者在讲解过程中，反复强调“为什么”这样做，而不是仅仅给出“怎么做”，这种深入浅出的讲解方式，让我真正理解了数学的逻辑和美妙之处，而不是死记硬背。

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不得不说，这本书在处理一些核心代数概念时，提供了相当深入且实用的视角。我一直对函数及其图像感到有些困惑，总觉得它们是抽象而难以捉摸的。但《Intermediate Algebra》在这方面做得非常出色。它不仅仅是介绍函数的三种表示法（解析法、图象法、列表法），更重要的是，它引导读者去理解函数之间的关系，以及如何通过函数的图像来分析其性质，比如增减性、奇偶性、周期性等。书中对二次函数和多项式函数的深入探讨，让我对抛物线的形状、顶点、对称轴有了更直观的理解，也学会了如何利用这些性质来解决实际问题。我特别欣赏的是，作者在讲解数学模型构建时，将代数知识与现实生活紧密联系，比如通过函数来描述物理运动、经济增长等，这让原本枯燥的公式变得生动有趣，也让我看到了代数在解决实际问题中的强大力量。这本书的习题设计也很有梯度，从基础巩固到综合应用，能够有效地检验学习效果。

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这本书对于那些希望深入理解代数原理的读者来说，无疑是一个宝藏。它在一些关键的代数技巧上，例如因式分解、分数运算以及解各种类型的方程（包括一元二次方程、无理方程、指数方程等），提供了详尽的步骤和清晰的解释。我之前在解决一些复杂的分数表达式时经常出错，但这本书通过大量的实例，展示了如何系统地进行通分、约分以及化简，让我掌握了应对这类问题的有效方法。特别是在讲解一元二次方程时，作者不仅介绍了求根公式，还深入探讨了判别式的意义以及如何通过配方法和因式分解法来求解，这让我明白了不同方法的优劣和适用场景。此外，书中还涉及了一些初步的复数概念，为后续更高级的数学学习打下了基础，这让我觉得这本书的覆盖面相当广，而且内容安排非常周全。

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《Intermediate Algebra》最让我印象深刻的是它在培养数学思维方面的努力。它不仅仅是在教授解题技巧，更是在潜移默化地引导读者如何去思考问题，如何构建数学模型。比如，在处理一些涉及比例和百分比的应用题时，书中不仅仅给了公式，而是教会我们如何识别问题中的关键信息，如何将现实情境转化为代数表达式，并最终求解。关于方程组的解法，除了代入法和消元法，书中还提到了矩阵法，虽然这部分内容可能对一些初学者来说稍有挑战，但它展示了代数在更广阔领域内的应用可能性。读这本书的过程，就像是在进行一场智力探险，每一章都充满了新的发现和挑战，让我乐在其中。我尤其喜欢书中不时出现的“思考题”，它们能激发我的独立思考能力，让我不再是被动接受知识，而是主动去探索和理解。

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