Differentiable Germs and Catastrophes (London Mathematical Society Lecture Note Series) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Theodor Bröcker

出品人:

页数:188

译者:Lander, L.

出版时间:1975-08-29

价格:USD 37.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521206815

丛书系列:London Mathematical Society Lecture Note Series

图书标签:

• 微分几何
• 灾难理论
• 奇异性
• 分化胚
• 拓扑学
• 数学分析
• 伦敦数学学会讲义
• 微积分
• 几何学
• 稳定性理论

好的，以下是关于一本假想的、主题与“可微胚与灾变论”无关的数学书籍的详细简介，字数控制在1500字左右。 --- 拓扑数据分析中的几何结构与拓扑不变量 作者： [此处留空，可想象为某位知名拓扑学或几何学教授] 出版社： [此处留空，想象为某权威学术出版社] 丛书： [此处留空，可想象为某一经典数学系列] 页数： 约 650 页 定价： [此处留空] --- 内容简介 本书深入探讨了在现代数据分析与高维几何建模中至关重要的两个核心概念：数据的内在几何结构以及可用于描述这些结构的稳定拓扑不变量。本书旨在搭建起纯粹的代数拓扑理论与其实际应用，尤其是在复杂的、高维数据集中提取有意义特征之间的桥梁。 全书分为四个主要部分，结构清晰，逻辑严密，既为研究生和研究人员提供了坚实的理论基础，也为应用数学家和计算机科学家提供了丰富的工具箱。 第一部分：基础与预备知识 (Foundations and Preliminaries) 第一部分奠定了后续章节所需的数学基础，侧重于对点集拓扑、微分流形以及代数拓扑中基础概念的复习与深化。 第1章：拓扑空间与连续性。 涵盖了度量空间、紧致性、连通性等核心概念，并引入了均匀连续性在处理大数据集边界问题时的重要性。本章特别关注了拟度量（Quasimetrics）在描述噪声环境中数据点之间“接近性”方面的不足与修正。 第2章：微分流形与嵌入理论。 讨论了光滑流形、切丛以及张量场的构造。重点剖析了Whitney 嵌入定理在数据可视化中的局限性，并引入了浸入（Immersion）的概念，用以理解高维数据投影到低维空间时信息的保持程度。 第3章：基础代数拓扑工具。 详述了基本群（Fundamental Group）和同调群（Homology Groups）的构造，特别是胞腔同调（Cellular Homology）在计算离散数据拓扑时的效率。本章的难点在于对拓扑变换群（Topological Transformation Groups）在数据流形上的作用进行了初步探讨。 第二部分：持久化理论与拓扑特征 (Persistence Theory and Topological Signatures) 本书的核心部分聚焦于如何从离散数据中提取稳定、可计算的拓扑特征，这是拓扑数据分析（TDA）方法论的基石。 第4章：过滤与拓扑构建。 详细介绍了如何使用距离函数或密度估计对点云数据进行过滤（Filtration），从而构建出一系列嵌套的拓扑空间（例如，简化复形或尼尔森复形）。本章深入比较了Vietoris-Rips复形、Čech复形以及Alpha复形在计算复杂度和拓扑保真度之间的权衡。 第5章：持久同调的代数基础。 聚焦于持久化模块的理论。不同于传统的初等系数同调，本章侧重于如何利用矩阵的Smith正规形来计算持久化区间（Persistence Intervals）。引入了系数环的拓扑选择对计算结果的影响分析。 第6章：拓扑特征图谱：持久性图谱与条形码。 这是对持久化结果进行可视化的关键章节。详细讨论了拓扑特征图谱（Persistence Diagrams）的性质，包括其在Wasserstein度量下的收敛性。专门辟出部分讨论了如何将高维、多参数（multi-parameter）的持久化结构投影到二维可解释的条形码（Barcodes）上，并探讨了“噪声阈值”对结果的敏感性。 第三部分：稳定几何描述与度量 (Stable Geometric Descriptors and Metrics) 本部分转向更关注几何形状的稳定性以及如何在度量空间中对拓扑对象进行比较。 第7章：平衡与鲁棒性：对持久性图谱的稳定映射。 关注如何从持久性图谱中提取出稳定特征向量。引入了“拓扑特征的矩量”——即持久性图谱的中心性、散布度和方向性——作为描述数据形状的统计量。特别讨论了如何利用Kernel方法对持久性图谱进行平滑处理，以增强其在小扰动下的稳定性。 第8章：几何化拓扑不变量。 探讨了将拓扑信息与底层流形几何相结合的方法。重点分析了平均曲率和平均正曲率（Mean Positive Curvature）的离散近似，以及它们如何与持久化同调的特定阶数相关联。本章引入了Ricci曲率的离散估计在识别数据流形中“凹陷”区域的应用。 第9章：拓扑空间间的距离：图谱间的度量。 深入研究了比较不同数据集的拓扑特征所必需的度量理论。除了标准的 $W_p$ 距离，本章还详细分析了Bottleneck距离在处理长短寿命特征的差异敏感性上的优势与劣势，并提出了拓扑梯度下降法用于优化匹配问题。 第四部分：高维数据流与动力系统 (High-Dimensional Flows and Dynamical Systems) 最后一部分将视角从静态数据提升到动态过程，探讨拓扑工具在时间序列分析中的潜力。 第10章：时间序列的拓扑嵌入。 讨论了如何利用Takens定理的拓扑修正版，将时间序列数据嵌入到高维相空间中。重点分析了如何选择合适的延迟参数以最大化嵌入空间的拓扑保真度，同时避免引入不必要的代数结构（如扭率）。 第11章：动力系统的拓扑稳定性。 将持久化理论应用于分析系统的吸引子（Attractors）。探讨了在系统参数变化时，吸引子的拓扑结构（如其基本群）如何保持不变，从而识别出系统的拓扑极限环。引入了基于同调的流分析（Homology-based Flow Analysis, HFA）来追踪高维轨迹的“空洞”变化。 第12章：多尺度分析与拓扑滤波。 探讨了如何利用小波分解的思想来处理具有多尺度结构的复杂数据集，实现对不同尺度上的拓扑特征进行分离和分析。本章通过一系列实例展示了如何构建“多尺度拓扑滤波器”来过滤掉尺度过小（噪声）或尺度过大（全局背景）的拓扑特征，从而聚焦于中等尺度上具有信息量的结构。 目标读者 本书适合具有扎实代数拓扑、微分几何或离散数学背景的研究生、博士后及专业研究人员。它对应用计算机科学中涉及高维几何建模、机器学习特征工程，以及复杂系统分析的从业者具有极高的参考价值。阅读本书要求读者对范畴论和线性代数有良好的理解。

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翻阅《Differentiable Germs and Catastrophes》的目录，我看到了诸如“奇异性理论”、“分歧理论”以及“拓扑学在动力系统中的应用”等章节，这些名词让我对书的内容有了更具体的想象。作为一个对数学的某些分支有着好奇心的爱好者，我一直对“奇异性”这个概念非常着迷。它似乎总是在描绘事物发展过程中那些“意料之外”的转折点，而“可微的胚芽”又像是这些转折点萌发前的最初形态。我设想，这本书可能会从最基础的微积分概念出发，逐步构建起研究这些奇异现象的数学工具，例如使用微分同胚、Jet流形等概念来刻画函数在局部行为的精细结构。而“突变论”的部分，想必会深入讲解哥德曼（Thom）的突变论，分析不同类型的突变如何由参数空间中的区域划分而来，以及它们在物理、生物、工程甚至社会科学中的潜在应用。我尤其好奇，这本书会如何将高度抽象的数学理论与实际的现象联系起来，为读者提供一个理解复杂系统行为的新视角，即使是初学者也能从中找到切入点。

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《Differentiable Germs and Catastrophes》这本书的标题本身就带有某种哲学意味。在我看来，“胚芽”象征着事物的起源和潜在的可能性，而“可微”则意味着我们可以用连续、光滑的数学工具来描述它的生长和变化。然而，这种看似平稳的演进，在“突变”面前却显得不堪一击。这不禁让我联想到许多现实世界中的例子：一个微小的技术突破，可能瞬间改变整个行业格局；一个看似不起眼的社会事件，可能引发连锁反应，导致重大的政治变革。这本书，我猜想，就是尝试用严谨的数学语言来阐述这种“量变引起质变”的规律，并将之抽象化、普适化。它可能不仅仅是一本纯粹的数学著作，更是一部关于理解和预测系统行为的哲学指南。我期待它能揭示隐藏在现象背后的数学结构，帮助读者培养一种更敏锐的观察力，去发现那些孕育着巨大变革的“胚芽”，以及理解不可避免的“突变”的机制。

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对于《Differentiable Germs and Catastrophes》这本书，我的第一印象就是其研究对象的复杂性和深刻性。想象一下，我们试图用数学来理解和描述那些在微小尺度上看似平凡，但在某个临界点却会发生翻天覆地变化的现象。这就像是在观察一个正在发育的生命体，它的每一个细胞都在经历微小的变化，但最终却会形成一个拥有复杂结构的完整生物，中间可能还会经历各种发育阶段的“突变”。我猜想，这本书会深入探讨如何使用微积分的语言来捕捉这种“可微”的特性，比如函数在某个点附近的行为，以及如何利用代数几何或拓扑学的工具来分析这些“胚芽”在参数空间中移动时所经历的“突变”。我特别感兴趣的是，作者会如何处理那些非光滑、非线性的复杂情况，以及是否会提供一些可视化的方法来帮助读者理解这些抽象的概念。

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在我看来，《Differentiable Germs and Catastrophes》这本书的题目本身就蕴含着一种引人入胜的数学探索之旅。它暗示着我们将要深入到一个既是基础又是变革的领域。这里的“胚芽”可以理解为数学模型中最基础、最微小的组成部分，而“可微”则意味着我们可以用平滑、连续的数学工具来分析它们的性质。然而，这些看似稳定的“胚芽”在某些条件下却可能经历“突变”，也就是形态或性质上的剧烈变化。这让我联想到在物理学中，相变就是一个典型的例子，微小的温度或压力变化就可能导致物质从一种状态转变为另一种状态。我猜想，这本书会深入研究那些导致这种“突变”的数学条件，以及如何用数学语言来描述这些临界现象。我期待它能够提供一些关于如何识别和分析这些“突变”的理论框架，从而帮助我们更深刻地理解复杂系统的行为。

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这本书，从书名《Differentiable Germs and Catastrophes》就能感受到一股浓厚的数学气息，伦敦数学会讲义系列更是为其镀上了一层学术的金光。我拿到这本书时，首先被其沉甸甸的质感和封面低调而经典的排版所吸引。虽然我并非研究这个领域的专业人士，但对数学中那些精巧的结构和深刻的洞察力始终怀有敬意。这本书的名字本身就勾勒出一种抽象的美感——“可微的胚芽”和“突变”这几个词语，仿佛在暗示着某种在微小尺度下暗流涌动，却能在关键时刻引发巨大变革的数学现象。我猜想，这本书或许会带领读者深入探索那些看似微不足道的起点，如何通过微积分的语言孕育出复杂的函数行为，又如何在某些特定的参数变化下，使得系统的形态发生剧烈的、非连续的转变，正如“突变论”所揭示的那样。这种从细微处洞察全局，从平静中预见风暴的视角，在很多科学领域都有着极高的价值，我非常期待能从中一窥其数学上的逻辑和推理过程。

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