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出版者:Pearson Custom Publishing

作者:K. Elayn Martin-Gay

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2003

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780536729569

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 中级代数
• 数学
• 高等教育
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• 方程
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• 因式分解

深入探索：微积分与线性代数前沿精粹 本书籍旨在为对高等数学抱有浓厚兴趣的学习者提供一个坚实的基础，引领读者从代数思维的彼岸，稳健地迈入微积分和线性代数这两个现代数学科学的基石领域。我们摒弃了对初级代数概念的重复叙述，而是直接聚焦于那些构成高等数学分析与结构理解不可或缺的核心工具与概念。 本书的编排逻辑是经过精心设计的，它遵循一条从直觉理解到严谨证明的递进路径。我们深知，真正的数学理解不仅仅是掌握公式的运用，更在于领悟其背后的逻辑和几何直观。因此，全书的叙事风格力求清晰、富有启发性，同时又不失数学的精确性。 --- 第一部分：微积分的基石——极限、连续性与导数 本部分是为所有希望掌握“变化率”和“无限过程”的读者量身打造的。我们不再停留在简单的函数图像描绘，而是直接深入到微积分的灵魂——极限。 1. 极限的严谨构建 (The Rigorous Foundation of Limits) 我们从 $epsilon-delta$ 语言的引入开始，这被视为微积分的“宪法”。通过大量精心选择的范例和反例，读者将学会如何精确地证明一个极限是否存在，以及它为何等于某个特定值。我们将探讨单侧极限、双侧极限、无穷极限，以及函数在无穷远处的极限行为。特别地，我们会深入分析周期函数、震荡函数等非平凡情况下的极限处理技巧。 2. 连续性的本质剖析 (Analyzing the Essence of Continuity) 连续性被视为函数“行为良好”的直观描述，但其数学定义却蕴含深邃的意义。我们将详细探讨拓扑学中开集与闭集的概念在实数线上的具体表现，以此来阐释连续函数的全局性质。介值定理 (Intermediate Value Theorem, IVT) 和极值定理 (Extreme Value Theorem, EVT) 将不再是孤立的结论，而是从连续性这一基本属性自然推导出的必然结果。我们将演示如何运用这些定理来证明复杂方程解的存在性，例如牛顿法（作为迭代过程）的收敛性基础。 3. 导数：瞬间变化的量化 (Quantifying Instantaneous Change) 导数的定义——差商的极限——将直接承接极限理论。本部分的核心在于导数的物理和几何意义的转化。我们将细致分析切线的斜率、瞬时速率，并扩展到更抽象的场景，如薄膜的曲率、利率的瞬时变化率。 4. 导数的应用与技巧 (Techniques and Applications of Differentiation) 链式法则 (The Chain Rule) 将被视为复合函数求导的核心结构化工具。我们将花费大量篇幅专门讨论如何识别和应用链式法则的嵌套结构。隐函数求导 (Implicit Differentiation) 和相关变化率问题 (Related Rates) 将通过实际工程和物理模型来展示导数作为建模语言的强大能力。 更进一步，洛必达法则 (L'Hôpital's Rule) 将被置于“未定式极限”的背景下进行阐述，而非仅仅作为一个公式被记忆。我们将探讨其适用的条件——导数存在性以及函数在趋近点处的局部行为。 --- 第二部分：积分学——累积、面积与反向操作 本部分将微积分的视角从“变化”转向“累积”，为理解面积、体积、功以及物理系统中的总效应打下基础。 5. 定积分的黎曼和构建 (The Riemann Sum Construction of the Definite Integral) 我们不直接跳到微积分基本定理，而是首先通过黎曼和来构造定积分的严格定义。读者将学会如何通过对区间进行划分、选择采样点，来逼近曲线下的面积。我们将分析上和与下和的收敛性，并探讨不同采样点（左端点、右端点、中点）对收敛速度的影响。 6. 微积分基本定理的深刻内涵 (The Profound Meaning of the Fundamental Theorem of Calculus, FTC) FTC 被清晰地分解为两个部分。第一部分（建立不定积分与定积分的联系）展示了积分作为微分的逆运算的本质。第二部分（评估定积分）则提供了实际计算面积和累积量的实用方法。我们会通过案例研究，展示FTC如何将原本需要复杂极限求和的问题，转化为相对简单的函数求值问题。 7. 不定积分技巧的扩展 (Expansion of Antiderivative Techniques) 本章节集中于如何找到函数的原函数（不定积分）。除了直接的积分表查找，我们将重点介绍以下高级技巧： 换元法 (Substitution Rule)：这是对链式法则在积分方向上的逆向应用，侧重于识别“内部函数”及其“微分的常数因子”。 分部积分法 (Integration by Parts)：基于乘积法则的逆推，我们将使用 LIATE/ILATE 原则来指导选择 $u$ 和 $dv$，并讨论如何迭代使用分部积分法来解决循环积分问题。 --- 第三部分：线性代数的入门——向量空间与变换 本部分将视角从一维的变化率转移到多维空间的结构与变换，为理解数据科学、物理场和工程系统提供必要的代数框架。 8. 向量与线性组合 (Vectors and Linear Combinations) 我们将从几何直观出发，定义二维和三维空间中的向量，并立即推广到 $n$ 维空间。核心概念是线性组合。本书强调，线性代数中的几乎所有操作都可以被解释为向量在空间中的拉伸、旋转或投影。我们将精确定义跨度 (Span) 和线性相关性 (Linear Independence)，并展示它们如何决定向量集的“自由度”。 9. 矩阵：线性变换的表示 (Matrices as Representations of Linear Transformations) 矩阵不再仅仅是数字的矩形排列。本部分的核心是理解矩阵乘法如何对应于连续的线性变换。我们将探讨矩阵的列空间 (Column Space) 和零空间 (Null Space)——这两个空间直接揭示了变换的“像”和“核”。通过对这些空间的分析，读者将理解为什么有些方程组有解，有些没有，以及解的结构如何。 10. 行列式与逆矩阵 (Determinants and Matrix Inverses) 行列式的计算方法（代数余子式展开）将被置于其几何意义之下：行列式是线性变换对面积或体积的缩放因子。零行列式意味着体积被压缩到零，对应于信息丢失（不可逆）。逆矩阵的求解将通过高斯消元法（而不是单纯的代数公式）来展示，强调其作为“撤销变换”的操作的本质。 11. 特征值与特征向量：系统的内在模式 (Eigenvalues and Eigenvectors: The Intrinsic Patterns of a System) 这是线性代数中最关键的概念之一。特征向量被定义为在特定线性变换作用下，方向不改变的向量。特征值则量化了这些向量被拉伸或压缩的程度。我们将详细解释特征分解的意义，并展示它在系统动力学（如马尔可夫链、微分方程组的求解）中的核心作用，即分离出系统最基本的、独立变化的“模式”。 --- 本书的最终目标是培养读者一种强大的数学直觉：能够将实际问题（无论是关于速率、面积还是多维数据的结构）转化为精确的数学模型，并运用微积分的动态分析和线性代数的结构分析工具来解决它们。本书的所有内容均服务于此高级目标的实现。

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《中间代数》这本书，说实话，我当初拿到它的时候，心情是有点忐忑的。毕竟“中间”这个词，总给人一种不尴不尬的感觉，既不是基础到可以随便翻翻，也不是高级到需要专家指导。我当时面临的是一个数学瓶颈期，很多基础的概念好像懂，但又抓不住精髓，一遇到复杂一点的问题就卡壳。翻开这本书，最先吸引我的是它的排版，一点也不死板，很多地方用了不同的颜色来强调重点，还有图示，这一点真的非常贴心。一开始的章节，我以为会很枯燥，但作者似乎很擅长用生活化的例子来引入抽象的数学概念。比如讲到方程组的时候，他举了一个点餐的例子，虽然听起来有点老套，但不得不说，这确实让我在脑海里构建了一个清晰的场景，不再是冷冰冰的数字和字母在跳舞。而且，书中例题的讲解步骤非常详细，每一个小小的运算都给出了清晰的解释，不像我之前看过的某些教材，跳步太多，看完一遍还是云里雾里。《中间代数》给我的第一印象是，它真的在努力地降低学习的门槛，让那些对代数感到畏惧的人，也能找到一条通往理解的道路。我记得有一个关于二次函数的部分，作者用了抛物线的轨迹来解释，还配了几个小动画的描述，虽然只是文字，但我能想象出那个画面，这比单纯的公式和定义要生动得多。整体来说，这本书给我的感觉是，它不是那种只会堆砌知识点的教材，而是更像一位循循善诱的老师，一步步地引导你，让你在不知不觉中掌握那些复杂的代数技巧。

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我必须承认，《中间代数》这本书在某种程度上颠覆了我对数学教材的刻板印象。我之前接触过的数学书，要么是写得像天书，要么就是干巴巴的公式堆砌，看完后脑子里只剩下一片浆糊。然而，这本书的叙述方式却相当有趣，它不像是在讲课，更像是在与读者进行一次深入的交流。作者的语言风格非常灵活，时而幽默，时而严谨，但始终保持着一种让人容易理解的节奏。我特别喜欢它在介绍新概念时，会先给出一些直观的解释，然后才慢慢深入到数学的逻辑和推导。举个例子，在讲到不等式的时候，它并没有直接抛出“大于号”、“小于号”，而是先用了一个“天平”的比喻，生动地解释了什么叫做平衡，什么叫做倾斜，这比单纯地告诉我“这个数比那个数大”要容易理解得多。而且，这本书对练习题的设置也很有考究，循序渐进，难度逐渐增加，每一个章节的练习题都能很好地巩固前面学习到的知识点，让你在实践中不断加深理解。我尤其欣赏作者在解答一些难题时，会给出多种解题思路，并且分析每种思路的优劣，这让我意识到，数学并非只有一种解法，而是充满着探索和创新的空间。读这本书，我感觉自己不再是被动地接受信息，而是主动地参与到数学的思考过程中，这种体验是非常宝贵的。

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《中间代数》这本书，对我来说，就像在迷雾中找到了方向。我之前对代数的理解，总是模模糊糊的，遇到稍微复杂一点的方程或者函数，就感觉脑袋一片空白。这本书的独特之处在于，它不仅仅是告诉“怎么做”，更重要的是解释“为什么这么做”。作者的讲解方式非常注重逻辑的清晰性，他会把一个看似复杂的数学概念，一层层地剥开，直到露出最核心的原理。比如，在讲解指数和对数的时候，他从最基本的乘方概念开始，一步步推导出指数的运化性质，然后再引入对数，强调它们之间的互逆关系。这种由浅入深的讲解方式，让我能够清晰地看到知识点之间的联系，而不是孤立地记忆。而且，这本书对错误类型的分析也相当到位，很多章节都会列出常见的解题错误，并分析错误的原因，这让我能够提前规避一些容易犯的错误，也让我对一些易混淆的概念有了更深刻的认识。我记得有一个关于分式方程的章节，作者花了很大篇幅来讲解如何识别和处理增根，这对我之前一直感到困扰的问题，有了茅塞顿开的感觉。总而言之，这本书给我最大的收获是，它让我不再是被动地学习数学，而是学会了如何去思考数学，如何去理解数学的内在逻辑。

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在我翻阅《中间代数》的初期，我曾担心它会像市面上大多数教材一样，流于表面，无法真正解决我在实际问题中遇到的困难。然而，这本书的深度和广度很快就打消了我的疑虑。它并没有止步于简单的运算和概念的介绍，而是深入探讨了代数原理背后的逻辑和应用。特别是在函数部分，作者不仅仅讲解了各种函数的定义和性质，更着重于分析它们在现实世界中的应用场景，比如金融领域的复利计算，物理学中的运动轨迹等等。这些实际案例的引入，让我对抽象的代数公式有了更深刻的体悟，也让我明白了学习代数的重要性。这本书的另一个亮点在于其严谨的数学推导。虽然语言风格相对轻松，但其数学逻辑的严密性却丝毫不打折扣。作者在证明定理时，步骤清晰，逻辑流畅，而且还会对关键步骤进行详细的解释，让你清楚地知道每一步是如何得出的，以及其背后的数学原理。这对于培养我的数学思维能力非常有帮助。此外，书中还包含了一些挑战性的思考题，这些题目往往需要综合运用多个章节的知识，能够极大地锻炼我的解决问题的能力。总的来说，《中间代数》是一本既有深度又有广度，既能激发兴趣又能提升能力的优秀教材。

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坦白说，我最初对《中间代数》的期望并不高，只是抱着“也许有用”的心态去翻看。但这本书的表现，远远超出了我的预期。它的叙述方式非常独特，不拘泥于传统的数学教材模式，而是充满了活力和创新。作者的语言风格非常具有感染力，他能够将枯燥的数学概念，以一种引人入胜的方式呈现出来。我尤其欣赏他在讲解一些抽象概念时，所使用的形象化比喻和生动的故事。例如，在介绍矩阵的概念时，他用了一个“信息管理系统”的比喻，将复杂的矩阵运算变得形象易懂。这种方式，极大地降低了我的学习难度，也让我对代数产生了浓厚的兴趣。而且，这本书在数学的严谨性与易读性之间找到了一个绝佳的平衡点。它既保证了数学内容的准确性和深度，又通过生动的语言和巧妙的结构，让读者更容易理解和接受。我记得书中有一个关于“数学归纳法”的章节，作者用了一个“多米诺骨牌效应”的例子来解释其原理，这让我瞬间就理解了这个在之前让我头疼的概念。这本书不仅仅是知识的传授，更是一种学习方法的引导，它让我学会了如何去探索数学的奥秘，如何去享受学习的过程。

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