Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds (Beitrage Zur Osterreichischen Statistik) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhauser

作者:David E. Blair

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2001-01

价格:0

装帧:Hardcover

isbn号码:9783764342616

丛书系列:

图书标签:

• Riemannian geometry
• Contact manifolds
• Symplectic manifolds
• Differential geometry
• Manifolds
• Topology
• Mathematics
• Geometry
• Statistics
• Beitrage Zur Osterreichischen Statistik

《黎曼几何在接触与辛流形上的应用：数学物理前沿探索》 内容提要： 本书深入探讨了微分几何、拓扑学与数学物理交叉领域的前沿课题——黎曼几何在接触流形（Contact Manifolds）与辛流形（Symplectic Manifolds）结构下的精妙应用与深刻洞察。全书系统性地梳理了黎曼几何的核心工具，如黎曼度量、曲率概念、测地线方程，并将其与接触结构（由一个微分1-形式定义）和辛结构（由一个非奇异、闭合的2-形式定义）的特殊性质相结合。重点分析了在这些非欧几里得几何框架下，如何定义和分析诸如李奇-平坦（Lichnerowicz-flat）条件、辛黎曼度量（Symplectic-Ricci-flatness）的特征，以及它们在哈密顿动力学、规范场论以及量子场论背景下的几何诠释。本书旨在为几何学研究者、理论物理学家以及高级数学专业的学生提供一个严谨而全面的视角，理解非完全可积系统与规范理论背后的几何基石。 第一章：几何基础与流形结构 本章首先回顾了光滑流形、张量分析、微分形式、外导数与德拉姆上同调的基础知识。随后，章节聚焦于几何结构的核心：辛流形。辛流形 $(M, omega)$ 由一个非奇异且闭合的2-形式 $omega$ 定义。我们将详细阐述辛结构的保持性（辛同胚）、泊松括号的构造及其与李代数结构的联系。 接着，引入接触结构。接触流形 $(M, xi, alpha, g)$ 具备一个由1-形式 $alpha$ 定义的垂直分布 $xi$ 和满足特定正交条件的黎曼度量 $g$。这构成了一类特殊的超曲面结构，它自然地出现在复结构理论和哈密顿动力学的边界值问题中。我们将区分欧拉（Reeb）向量场、接触拉普拉斯算子，并建立接触结构与超平面场之间的内在联系。 第二章：黎曼度量与结构兼容性 在具有额外结构的流形上引入黎曼度量需要特殊的兼容性条件。本章的核心工作是分析辛-黎曼度量（Symplectic-Riemannian Metric）和接触-黎曼度量（Contact Riemannian Metric）。 对于辛流形 $(M, omega)$，一个黎曼度量 $g$ 被称为辛-兼容的，如果 $g$ 与 $omega$ 通过黎曼张量 $G$ 的方式相关联，即 $omega(X, Y) = G(JX, Y)$，其中 $J$ 是一个复结构（即 $J^2 = -I$）。我们将探讨这种兼容度量存在的拓扑条件，特别是关于Chern类与辛结构的代数关系。 对于接触流形，接触度量 $g$ 必须满足 $alpha(T) = 0$ 且 $g(T, cdot) = dalpha(cdot, Jcdot)$ 的条件，其中 $T$ 是Reeb向量场。我们将深入分析这种度量对接触拉普拉斯算子（有时称为接触狄拉克算子）的影响，并引入Sasakian几何作为一种特殊的、与复几何紧密相关的接触几何。 第三章：曲率的推广与几何测地性 传统黎曼几何的基石是曲率张量。在本章中，我们将其推广到具有额外结构的流形上。 对于辛-黎曼流形，我们将定义辛-黎奇曲率（Symplectic-Ricci Curvature）。这不再仅仅是传统黎曼曲率的迹，而是依赖于辛结构 $J$ 的特殊张量。我们将研究李奇-平坦（Lichnerowicz-flat）辛流形的特性，即黎奇张量在辛结构下的消失条件，以及它如何等价于某些特定的哈密顿方程的解的存在性。 在接触几何中，我们分析接触截面曲率和接触拉普拉斯算子的谱性质。特别是，我们将研究与Reeb向量场相关的测地线方程，并探讨标准接触流形上的Sasakian曲率如何简化或复杂化传统的黎曼曲率。 第四章：几何在规范理论中的体现 几何结构与物理理论之间的联系是本研究的另一核心焦点。本章将视角转向规范场论。 辛结构在经典哈密顿力学中扮演着基础角色，相空间本身就是一个辛流形。我们探讨如何将规范群的自由度（如电磁场或杨-米尔斯场）嵌入到广义的辛流形上，构建规范流形。重点分析阿瑟顿-威滕（Atherton-Witten）模型的几何结构，以及吉布斯测度在辛流形上的作用。 接触结构在某些拓扑量子场论（TQFT）的边界条件下扮演重要角色。我们分析了作为规范理论边界的接触流形，探讨了Chern-Simons理论与接触流形上三维拓扑场论之间的深层联系。特别是，如何利用接触几何来规范化边界的模空间。 第五章：流形上的积分几何与拓扑不变量 本章关注如何利用黎曼几何工具来提取流形的拓扑信息。 我们将介绍热核展开（Heat Kernel Expansion）在辛流形和接触流形上的应用。与标准黎曼几何不同，由于存在额外的结构（如 $J$ 或 $T$），热核展开的低阶项会包含结构相关的修正因子。分析这些修正因子，特别是与Weyl-Van Vleck 密度相关的项，可以导出关于流形拓扑的积分公式。 特别地，我们将探讨GW-不变量（Gromov-Witten Invariants）在辛几何中的重要性。虽然GW不变量主要与辛拓扑相关，但黎曼度量的存在（即辛-黎曼结构）为计算这些不变量提供了实际的积分路径，尤其是在Kähler-Einstein度量的背景下。 第六章：高级课题：非阿贝尔几何与超对称 最后，本章探讨了更抽象且物理意义深远的课题。我们将简要介绍非阿贝尔辛几何，即当辛形式或结构张量由连接和曲率定义时的情况，这在非交换几何和弦理论中有重要应用。 此外，我们将讨论超对称理论中的几何模型。在某些超对称理论中，流形上必须同时存在辛结构和（或）接触结构。研究超对称场方程在特定黎曼度量下的简化形式，例如在特定拓扑下，几何结构如何决定场的量子行为，是现代数学物理研究的热点。 总结： 本书致力于构建一个跨越纯粹几何与理论物理的桥梁。通过对接触和辛流形上黎曼几何工具的细致考察，我们揭示了古典力学、规范理论和拓扑量子场论背后深刻的几何规律。每一章都建立在前一章的基础上，最终目标是提供一个看待现代几何物理问题的统一框架。

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一本 Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds (Beitrage Zur Osterreichischen Statistik) 终于到了我的书架上，这本厚重的著作，光是书名就足够吸引人，尤其是我一直对黎曼几何与辛几何的交汇之处充满好奇。虽然我还没来得及深入研读，但仅从目录和引言部分，就能感受到作者在其中倾注的严谨与深度。我想这本书无疑是为那些对微分几何有扎实基础，并且渴望探索更前沿理论的读者准备的。它所涉及的概念，如接触结构、辛结构、度量张量等，都预示着一场关于空间内在几何性质的精彩旅程。

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说实话，拿到 Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds (Beitrage Zur Osterreichischen Statistik) 的那一刻，我脑海里立刻浮现出我之前阅读过的几本经典几何学著作。这本书的装帧和排版都显得十分专业，散发着浓郁的学术气息。我个人特别关注其中关于非紧流形上的几何性质的部分，因为这往往是研究中最具挑战性和趣味性的领域。这本书的出现，让我看到了一种将全局与局部几何特性相结合的可能，尤其是在联系接触结构和辛结构上引入黎曼度量之后，这种探索会带来怎样的可能性，让我倍感兴奋。

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收到这本 Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds (Beitrage Zur Osterreichischen Statistik) 时，我的内心是充满期待的，尤其考虑到它来自“Beitrage Zur Osterreichischen Statistik”这一系列，通常意味着其内容的扎实和学术的严谨。我一直认为，数学研究中，几何与代数、拓扑的融合是催生新思想的重要源泉。这本书的名字直接点出了研究的主题——黎曼几何、接触流形和辛流形。我期待这本书能够提供一种新的视角，来理解这些几何结构在黎曼度量下的行为，以及它们之间可能存在的深刻联系。

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对于 Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds (Beitrage Zur Osterreichischen Statistik) 这本书，我有一种直觉，它将成为我学术生涯中一个重要的参考。我一直对流形上的测度理论和其与几何结构的相互作用着迷，而这本书的书名恰好触及了这些核心问题。我尤其期待书中能够对辛流形上的某些动力学系统进行几何化的分析，或者是在接触流形上构建一些富有意义的度量。

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这本 Riemannian Geometry of Contact and Symplectic Manifolds (Beitrage Zur Osterreichischen Statistik) 引起了我极大的兴趣，因为我最近正在研究一些与偏微分方程和几何分析相关的问题，而接触流形和辛流形往往是这些问题的天然舞台。我非常想知道，书中是否会深入探讨这些几何结构如何影响方程的解的性质，或者反过来，通过方程的解来揭示几何结构的奥秘。

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