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出版者:CreateSpace

作者:Brian S. Thomson

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2008-04-14

价格:USD 16.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781434896209

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 实分析
• 数学分析
• 高等数学
• 分析学
• 数学
• 基础数学
• 本科教材
• 理论数学
• 极限

《解析几何基础》 本书旨在为读者提供坚实的解析几何基础，深入探讨直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本二次曲线的几何性质及其代数表示。我们将从二维空间出发，逐步构建起对这些重要几何对象的理解，并在此基础上扩展到三维空间，介绍平面、空间直线、球面、椭球、双曲面、抛物面等三维二次曲面的概念和方程。 第一部分：二维解析几何 直线的方程与性质： 从点斜式、斜截式、两点式、截距式等多种形式出发，阐述直线的代数方程如何反映其几何特性。我们将深入分析直线的斜率、截距的几何意义，以及两直线平行、垂直、相交的条件。此外，还将讨论点到直线的距离公式，以及直线束方程的应用。 圆的方程与性质： 探讨圆的标准方程和一般方程，理解圆心坐标和半径如何决定一个圆的形状和位置。我们将学习圆与直线的位置关系，包括相切、相交、相离，并掌握求切线方程的方法。圆系方程及其在解决几何问题中的巧妙运用也将是本书的重要内容。 圆锥曲线： 椭圆： 从离心率和焦点-准线定义出发，推导椭圆的标准方程。深入剖析椭圆的半长轴、半短轴、焦点、顶点、离心率等重要参数的几何含义。我们将学习椭圆的参数方程，并研究椭圆与直线相交的弦长公式，以及椭圆的切线性质。 双曲线： 同样从离心率和焦点-准线定义出发，推导双曲线的标准方程。理解双曲线的实轴、虚轴、焦点、顶点、渐近线等几何特征，并掌握其与直线相交的性质。渐近线在理解双曲线形状中的关键作用将被重点强调。 抛物线： 从焦点-准线定义出发，推导抛物线的标准方程。分析抛物线的顶点、焦点、准线等参数，并学习抛物线的轴对称性。抛物线的参数方程以及其在反射光学中的应用也将得到介绍。 第二部分：三维解析几何 空间向量： 引入空间向量的概念，包括向量的加减法、数乘、数量积和向量积。我们将学习空间向量的坐标表示，并利用向量解决空间中点、线、面之间的位置关系问题，例如求两向量夹角、求向量的模长等。 空间直线： 从参数方程和对称式方程的角度，描述空间直线的方程。我们将学习如何判断两条空间直线的位置关系（平行、相交、异面），并掌握求两异面直线间距离的方法。 平面： 探讨平面的点法式方程和一般方程。理解平面的法向量在确定平面方向中的作用。我们将学习点到平面的距离公式，以及两个平面之间的位置关系（平行、相交、重合），并掌握求交线方程的方法。 曲面： 球面： 介绍球面的标准方程，理解球心坐标和半径如何确定一个球体。 二次曲面： 扩展二维圆锥曲线的概念至三维，介绍椭球、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面等基本二次曲面的标准方程。我们将通过分析这些方程的各项系数，理解不同二次曲面的形状特征，例如轴对称性、焦点、顶点等。通过与平面相交的截面分析，进一步揭示这些曲面的几何结构。 学习目标： 通过学习本书，读者将能够： 熟练掌握直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本二维图形的代数方程表示和几何性质。 理解圆锥曲线的定义及其几何特性之间的联系。 掌握空间向量的运算及其在解决几何问题中的应用。 理解平面和空间直线的方程表示及其位置关系的判定。 能够识别和描述常见的三维二次曲面的形状。 初步建立代数方程与几何图形之间的直观联系，为进一步学习高等数学打下坚实基础。 本书内容循序渐进，理论与计算并重，辅以大量例题和练习题，旨在帮助读者构建扎实的解析几何知识体系，提升空间想象能力和数学思维能力。

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这本书的习题部分，才是真正的战场。前文的阅读过程可能只是开胃菜，真正的挑战从习题开始才算真正展开。我感觉作者在设计习题时，有一种“反直觉”的倾向。那些看起来最简单的、似乎只需要套用公式就能解决的题目，往往隐藏着一个微妙的陷阱；而那些看似最复杂、需要综合运用多个定理的题目，一旦抓住了核心思想，反而能迎刃而解。我记得有一组关于稠密的题目，要求证明在某个特定拓扑下，有理数的子集稠密。我尝试了所有标准的对角线论证法和区间套方法，都陷入了僵局。直到我回头重读了关于拓扑基的定义，才意识到我完全忽略了题目中给出的那个非标准的拓扑结构所带来的特殊性质。这本书的习题不是让你重复练习知识点的，它们更像是对你理解深度的“压力测试”，强迫你跳出教材中提供的标准语境，去思考数学概念的边界和适用范围。做完一套习题，我感觉自己对基本概念的掌握程度，比完成十套其他教材的习题还要扎实得多。

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这本书，说实话，拿到手的时候我就对它的名字《Elementary Real Analysis》有点摸不着头脑。它给人的感觉是“基础的实分析”，但你翻开目录，或者随便看看里面的章节标题，就会发现“基础”这个词在这里被重新定义了。我原以为会读到一些直观的、与微积分紧密相关的例子，比如数列收敛的几何意义，或者函数连续性的直观理解。然而，这本书一上来就扎得非常深，直奔拓扑和度量空间而去。它对待“开集”、“闭集”这些概念的处理方式，非常严谨，几乎没有给你喘息的空间去理解抽象的定义，而是直接要求你接受并应用它们。这对于一个期待“入门”读物的人来说，简直是一种挑战。我记得有一次，我花了一个下午的时间试图搞明白“紧致性”的定义在 $mathbb{R}^n$ 上的具体含义，结果发现书里给出的定义是如此的抽象和简洁，以至于我感觉自己像是在解一个谜语，而不是在学习数学。这种对严谨性的极致追求，虽然最终会让你受益匪浅，但初期的阅读体验绝对是磕磕绊绊的，让人不禁怀疑自己是否真的适合继续读下去。

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我对这本书的插图和图表的依赖程度几乎为零，因为这本书里几乎就没有什么图表。这本身就是一个非常鲜明的特征。很多现代的分析教材会用大量的图形来辅助理解极限、导数乃至积分的几何意义，但《Elementary Real Analysis》似乎完全拒绝这种视觉上的“拐杖”。它坚信，真正的理解必须是通过纯粹的逻辑和符号推导产生的。书中唯一的“可视化”可能就是那些关于数列在数轴上收敛的点集描绘，但即便是这些，也往往是以文字描述的形式出现的。我尝试着自己画图来辅助理解一些高级概念，比如Borel $sigma$-代数或者勒贝格测度的基本概念，结果发现，图形在这个层面上往往会带来误导。这迫使我必须完全依靠抽象思维来构建我对这个数学世界的认知框架。这种“去图形化”的教学方法，无疑筛选掉了那些习惯于依赖视觉辅助学习的读者，但对于那些追求纯粹逻辑美感的人来说，这可能恰恰是它的魅力所在。

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从排版和装帧上看，这本书充满了上个世纪中叶数学专著的经典气息，虽然是现代再版，但那种朴素、不加修饰的风格依然保留得淋漓尽致。没有花哨的彩色字体，没有为了吸引眼球而设计的封面图案，就是标准的黑白文本，字体选择也偏向于传统衬线体，这使得长时间阅读下来眼睛的负担相对可控，但也带来了一种略显沉闷的视觉体验。我记得有一次在咖啡馆里拿出这本书阅读，旁边一个学计算机的朋友好奇地问我：“这是什么老古董教材？看起来太枯燥了。”但正是这种刻意的朴素，反而营造了一种沉浸式的、专注于内容的氛围。它不试图用任何外部元素来分散你的注意力，它赤裸裸地把数学的核心摆在你面前，告诉你：“这就是分析，自己消化吧。”这种坦诚，也许就是它最打动我的地方——它不迎合任何人，只忠于数学本身。对于那些渴望接触经典、追求学术本真的学习者来说，这本书的物理形态本身就是一种宣言。

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这本书的叙述风格，简直就像是一位脾气古怪但才华横溢的教授在给你上课。他似乎默认你已经掌握了所有必要的预备知识，并且对数学的本质有着近乎宗教般的虔诚。章节之间的衔接常常是跳跃式的，一个定理的证明往往会引用前面好几个不甚起眼的引理，而这些引理的证明又可能分散在好几页之前。我特别注意到作者在处理证明时，非常喜欢用一种“极简主义”的方式，每一个步骤都省略了最显而易见的推理，仿佛在考验读者的心算能力和逻辑串联能力。举个例子，他在引入黎曼积分的精细化概念时，对 $epsilon$ 和 $delta$ 的选择描述得极其简略，只留下了关键的几行代数操作，而中间那些繁琐的、需要反复调整不等式的步骤，完全需要读者自己去脑补和填充。我不得不经常停下来，拿起草稿纸，用比书上多出三倍的篇幅把那些“跳过的步骤”一一写出来，才能真正跟上作者的思路。这使得阅读过程异常缓慢，但每当成功跟上一次后，那种顿悟的感觉又是无与伦比的。

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