Singular Homology Theory (Graduate texts in mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:William S. Massey

出品人:

页数:265

译者:

出版时间:1980-06

价格:USD 49.50

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387904566

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 拓扑学
• 同调论
• 代数拓扑
• 数学
• 研究生教材
• 抽象代数
• 代数几何
• 上同调
• 谱序列
• 数学分析

《奇异同调论：一本循序渐进的入门指南》 概述 《奇异同调论》是一本专为研究生设计的数学教材，深入浅出地介绍了代数拓扑学的核心概念——奇异同调论。本书旨在为读者提供一个坚实的理论基础，使其能够理解并应用同调论的强大工具来研究拓扑空间。本书内容严谨，论证清晰，配以丰富的例子和练习，是学习同调论的理想选择。 核心内容 本书的核心在于构建和理解奇异同调群。它从最基本的概念出发，逐步引入链复形、链映射、同伦以及奇异同调的定义。本书将详尽阐述以下关键主题： 链复形与链映射： 引入链复形的概念，即一系列带有边界算子的群，这是构建同调群的基础。 定义链映射，并探讨其在链复形之间的传递性。 讲解链同伦，这是判断链映射是否“等价”的关键概念，为后续的同调等价奠定基础。 奇异同调群的构造： 详细介绍奇异单纯复形及其奇异链复形。 定义奇异同调群，包括奇异 $n$ 维同调群 $H_n(X)$。 阐述链复形中的边界算子如何定义同调群的生成元（链）和关系（边界）。 同调的性质： 同调等价： 证明同伦等价的空间具有同调等价的性质，即它们的同调群是同构的。这是同调论最 fundamental 的应用之一，表明同调群是拓扑不变量。 精确序列： 详细介绍长正合序列，包括约化同调群的概念，以及如何利用精确序列计算和理解同调群。 菊菊尼定理（Mayer-Vietoris Sequence）： 深入讲解菊菊尼定理，这是一个强大的工具，允许我们将一个空间的同调群与其子空间的同调群联系起来，特别适用于处理“切割”空间的情况。本书将提供清晰的证明和多种应用示例。 扇形覆盖（Excision）： 讨论扇形覆盖定理，该定理允许我们在计算同调群时移除空间的某些子集，这为简化计算提供了极大的便利。 更高级的主题（视具体版本和侧重点而定）： 系数域： 探讨在不同系数域（如整数 $mathbb{Z}$、有理数 $mathbb{Q}$、有限域 $mathbb{F}_p$）下计算同调群的差异以及系数的作用。 万有系数定理（Universal Coefficient Theorem）： 介绍万有系数定理，它将同调群与上同调群联系起来，并展示了同调与上同调之间的深刻关系。 积群（Cup Product）： 引入乘法结构，即积群，它赋予了同调群一个环的结构，这在研究空间的代数结构方面至关重要。 胞腔同调（Cellular Homology）： （如果包含）介绍胞腔同调，这是一种更适用于计算胞腔复形同调群的方法，与奇异同调并行，有时计算更有效。 本书特色 循序渐进的教学方法： 本书从最基础的概念出发，逻辑严谨，层层递进，确保读者能够逐步掌握抽象的理论。 数学严谨性： 所有的定义、定理和证明都经过精心构建，确保了数学的精确性。 丰富的例子： 书中穿插了大量的具体例子，从简单的空间（如球面、环面）到更复杂的例子，帮助读者直观理解抽象概念。 精选练习： 每章末尾都附有精心设计的练习题，难度适中，旨在巩固读者对所学知识的理解，并鼓励读者进行独立思考和探索。 为进一步研究奠定基础： 本书不仅教授同调论本身，更重要的是为读者提供了继续深入学习代数拓扑学、微分几何、微分流形等相关领域的坚实基础。 适读对象 本书适合具有扎实线性代数和一点点点集拓扑学基础的研究生，特别是数学、物理学等相关专业的研究生。也适合对代数拓扑学有浓厚兴趣，希望系统学习同调论的本科高年级学生。 总结 《奇异同调论》是一本内容充实、逻辑清晰、教学方法得当的经典教材。通过本书的学习，读者将能够深刻理解奇异同调论的精髓，掌握运用这一强大工具分析拓扑空间的技巧，并为进一步的学术研究打下坚实的基础。它不仅是一本学习手册，更是引导读者进入代数拓扑学奇妙世界的引路人。

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我曾尝试用其他几本流行的代数拓扑书籍来学习奇异同调，但最终还是回到了这本《Singular Homology Theory》。其独特之处在于对**链复形的代数结构**的偏爱和深入挖掘。作者仿佛在强调，同调的真正威力源于其背后的代数工具，而非仅仅是拓扑的直观解释。书中对**边界算子**和**链映射的诱导作用**的细致描绘，让我彻底理解了为什么两个连续映射之间存在“同伦”关系时，它们在同调群上会产生相同的线性映射。这种对映射性质的关注，远超出了仅仅计算群结构本身。然而，必须提醒潜在读者，这本书在讨论**基础域**的选择时，虽然倾向于有理数域，但对域对结果影响的讨论略显不足，可能需要读者自己结合其他资料来补充这部分知识，以应对处理有限域或更一般环上的同调问题。对于需要深刻理解理论深层机制的严肃学习者来说，这些小小的遗憾并不能掩盖其作为经典教材的卓越地位。

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我花费了相当长的时间来消化这本书的内容，坦白地说，它绝对不是一本轻松的读物，但其深度和广度是其他许多入门教材所无法比拟的。本书最让我欣赏的一点是，它并没有将奇异同调理论视为孤立的知识点，而是巧妙地将其嵌入到更广阔的代数拓扑图景中。例如，**Eilenberg-Steenrod公理系统**的引入，虽然在某些部分可能显得略微“跳跃”，但它清晰地揭示了同调论之所以重要的根本原因——作为一种强大的、满足特定性质的拓扑不变量构造方法。书中对**函子**和**自然性**概念的强调，体现了作者深厚的代数功底和对数学本质的深刻理解。读者必须对范畴论有一定的初步了解，才能真正体会到这些构造的优雅之处。此外，书中对CW复形的同调计算部分处理得尤为出色，它有效地连接了奇异同调与更具操作性的组合拓扑工具，为计算实战提供了坚实的理论后盾。如果你渴望的不仅仅是学会计算，而是理解为什么这些计算是有效的，这本书绝对能满足你的求知欲，尽管这需要付出时间和精力的双重投入。

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不得不提，这本书的排版和数学符号的规范性达到了教科书的顶级水准，这一点在处理复杂的张量积和上同调理论时显得尤为重要。它构建了一个从**单纯同调**到**奇异同调**的自然过渡，这种循序渐进的处理方式极大地降低了读者的认知负担。尤其是关于**拓扑不变量**的讨论，书中清晰地论证了同调群如何捕获空间的“洞”的结构，并用严密的语言说明了**同伦等价**如何导致同调群的相同。对于那些已经在学习复分析或微分几何，并希望引入拓扑工具来解决问题的读者而言，这本书提供了完美的桥梁。虽然部分章节略显简略，比如在介绍**流形上同调**时，似乎期待读者已经熟悉微分形式的基础知识，但整体而言，这种“挑战性”恰恰是其魅力所在——它鼓励读者去查阅相关的前置知识，从而构建一个更完整的知识体系。它不是一个保姆式的教程，而是一个优秀的导师，在你需要时提供最精准的指引。

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这本书的价值在于它对**经典拓扑问题**的系统性解决框架的构建。从最简单的点集拓扑空间开始，到如何利用同调工具区分那些拓扑上相似但本质不同的空间，全书的逻辑链条扣人心弦。特别是在处理**嵌入与浸入问题**时，同调理论展现出的穿透力令人印象深刻。作者对**系数域的切换**（比如从整数域 $mathbb{Z}$ 到有理数域 $mathbb{Q}$ 或有限域 $mathbb{F}_p$）的讨论虽然简要，但指明了方向，展现了理论的灵活性。读完这本书，读者将不仅能熟练计算复杂空间的奇异同调群，更能理解拓扑学中“同调”这一核心概念在数学不同分支中的普遍适用性。它成功地架设了代数与几何之间的桥梁，对于任何想要深入研究现代几何或拓扑学的学者来说，这本书都应该占据书架上一个不可替代的位置，尽管其阅读过程需要极大的专注力和一定的数学成熟度。

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这本经典的教材以其严谨的结构和深入的探讨，为拓扑学领域的研究者和高年级本科生提供了一份宝贵的财富。它不仅仅是罗列公式和定理，更在于构建了一个清晰的逻辑框架，引导读者逐步理解奇异同调理论的精髓。从最基础的链复形概念出发，作者耐心地铺陈了链的构造、链映射的定义，以及同调群作为一种拓扑不变量的内在联系。特别是关于**Mayer-Vietoris序列**的引入和详尽的证明过程，是全书的亮点之一。这个工具的强大威力使得许多看似复杂的拓扑空间的同调计算变得井然有序，书中通过大量的实例，如球面、环面等基本空间的计算，充分展示了理论与实践的完美结合。对于初次接触这个领域的读者来说，可能会觉得初始的抽象性稍有挑战，但只要坚持读下去，那种豁然开朗的感觉是无与伦比的。作者在概念的引入上非常谨慎，确保每一步推导都有坚实的代数基础支撑，使得整个理论体系异常稳固。对于那些希望未来从事微分几何或代数拓扑研究的人来说，这本书无疑是绕不开的里程碑式的作品，它打下的基础将使后续的学习事半功倍。

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