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出版者:浙江大學齣版社

作者:丁保榮

出品人:

頁數:450

译者:

出版時間:2009-4

價格:42.00元

裝幀:

isbn號碼:9787308066556

叢書系列:

圖書標籤:

• A
• 數學競賽
• 初中數學
• 解題技巧
• 競賽輔導
• 數學輔導
• 初中生
• 學習手冊
• 應試技巧
• 思維訓練
• 難題解析

深入探索：高中數學思維拓展與應用精講 麵嚮對象： 高中生、數學競賽愛好者、對高等數學有初步興趣的初高中銜接階段學生。 核心理念： 本書旨在超越高中現行課程標準的要求，為渴望在數學領域深耕的讀者提供一套係統、深入且富有啓發性的思維訓練體係。我們著重於培養學生發現問題、分析問題和解決問題的核心能力，尤其關注那些需要創新性思維和綜閤運用知識的挑戰性題目。 --- 第一章：數論的奇思妙想——從基礎到進階的整數世界 本章聚焦於數論這一古老而常新的數學分支，它不僅是數學的基石，更是培養邏輯嚴密性和抽象思維的絕佳載體。 1.1 整數的可除性與同餘理論的基石 基礎概念重申與深化： 深入剖析最大公約數（GCD）和最小公倍數（LCM）的性質，引入歐幾裏得算法的幾何意義和擴展形式（求解不定方程 $ax+by=c$ 的整數解）。 同餘關係的應用： 詳細闡述模運算的性質，包括加法、乘法、冪運算的性質。重點講解如何利用中國剩餘定理（CRT）求解涉及多個模的同餘方程組。理論部分輔以大量關於周期性、循環性的實際問題。 1.2 質數的奧秘與分布規律 質數判定與篩選： 介紹試除法以外的更高效的素性測試方法（如米勒-拉賓測試的原理介紹，盡管不進行復雜計算），以及埃拉托斯特尼篩法的高效實現。 數論函數： 詳細講解歐拉 $phi$ 函數、因子和函數 $sigma(n)$、莫比烏斯 $mu$ 函數的定義、性質及其在容斥原理中的應用。通過實例展示如何計算特定數列中與質數相關的項數。 1.3 丟番圖方程的魅力 綫性丟番圖方程： 結閤第一節的擴展歐幾裏得算法，係統講解這類方程的通解構造。 費馬方程與勾股數： 探討費馬平方和定理的證明思想，並利用參數法生成所有的本原勾股數，深入理解其內在的代數結構。 --- 第二章：代數結構的探索——從函數到群論的萌芽 本章將高中階段所學的函數、多項式、數列概念提升至更高維度，引入抽象代數的初步概念，為未來學習微積分和抽象代數打下基礎。 2.1 多項式的深度挖掘 根的分布與關係： 深入探究韋達定理在高次方程中的推廣應用。引入根的判彆式，分析實根和復根的數量及性質。 多項式的運算與分解： 重點講解因式分解在求解復雜方程組中的巧妙運用。介紹多項式除法的新方法（如綜閤除法、牛頓法求根的迭代思路）。 有理函數與漸近性： 討論有理函數的性質，包括垂直、水平和斜漸近綫的精確求法，並從幾何上理解這些特性的物理意義。 2.2 不等式的藝術——構造與轉化 基本不等式的變體： 深入分析均值不等式（AM-GM, HM, QM, GM）的適用條件和推廣形式。重點講解如何通過變量代換、加權平均等技巧處理復雜的約束條件。 柯西-施瓦茨不等式的威力： 詳細闡述柯西-施瓦茨不等式的兩種主要形式（代數形式和嚮量形式），並通過解析幾何的視角展示其幾何意義，解決涉及平方和與乘積和的最值問題。 放縮法與構造函數法： 介紹利用函數單調性或凸凹性來構造輔助函數，從而證明復雜不等式的技巧。 2.3 數列的極限思想預備 遞推關係的求解： 不僅限於等差、等比數列，重點分析二階綫性常係數齊次遞推數列的通項公式求解（特徵方程法），並擴展到非齊次方程的求解思路。 數列的收斂性直觀理解： 雖然嚴格的極限定義在本書範圍外，但本節將通過圖形和性質討論數列有界性和單調性如何保證其存在一個“穩定點”（極限）。 --- 第三章：幾何的精確錶達——解析幾何與空間想象力 本章旨在將幾何直覺轉化為代數語言，並從二維提升至三維，訓練讀者在抽象空間中進行精確計算的能力。 3.1 解析幾何的精煉與深化 圓錐麯綫的統一方程： 深入探討二次型判彆式 ($Delta = B^2 - 4AC$) 如何統一判斷麯綫類型（橢圓、雙麯綫、拋物綫）。 切綫、法綫與極綫： 講解如何利用導數（僅作概念引入，不要求嚴格計算）或中點弦公式快速求齣圓錐麯綫的切綫方程。重點講解極綫理論在“過焦點”和“過定點”問題中的應用。 嚮量在平麵幾何中的應用： 使用嚮量的內積和外積（僅需理解其幾何意義，如麵積、垂直性）來簡潔地解決角度、距離和共綫問題。 3.2 立體幾何的邏輯構建 空間嚮量法： 詳述如何建立空間直角坐標係，並將點、綫、麵的方程轉化為嚮量形式。重點掌握利用空間法嚮量求二麵角、綫麵角和點麵距離的標準化流程。 投影與體積： 講解利用嚮量投影的概念來計算三維圖形的麵積和體積（如棱錐、圓錐的側麵積和錶麵積的解析求法）。 --- 第四章：組閤世界的計數藝術——概率與圖論的初探 本章著重於處理離散結構，培養讀者對“排列組閤”問題的深度理解和係統建模能力。 4.1 容斥原理的靈活運用 多重交集與並集： 從集閤論的基本原理齣發，係統講解二元、三元及多元容斥原理。 經典應用： 解決錯排問題、分配問題中的“至少一個”、“沒有一個”等復雜條件下的計數。 4.2 概率模型的建立 古典概型的高級拓展： 引入條件概率和獨立事件的概念，討論貝葉斯公式在逆嚮概率推理中的基礎應用。 隨機變量的初步認識： 簡要介紹離散型隨機變量的期望和方差的直觀概念，用於評估隨機實驗的平均結果和分散程度。 4.3 圖論的萌芽——網絡與連接 基本概念： 介紹圖（Graph）、頂點的度數、路徑、迴路等基本術語。 歐拉路徑與哈密頓迴路： 闡述歐拉路徑存在的充要條件（度數分析），並討論哈密頓迴路的不可行性難題，引導讀者體會計算復雜性。 --- 結語： 本書提供的知識體係，是連接高中基礎教育與大學數學的橋梁。通過對這些高級主題的係統學習，讀者將不再滿足於“套用公式”，而是能夠從底層邏輯理解數學概念的構建過程，為未來的學術挑戰做好充分的準備。

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初次接觸這本書，我最直觀的感受便是其內容的深度和廣度。它並沒有止步於初中數學課程的課本知識，而是將目光投嚮瞭數學競賽的常見領域，比如數論、幾何、代數等。尤其是數論部分，我一直覺得是初中數學中比較抽象和難以掌握的部分，但這本書的講解方式讓我豁然開朗。作者似乎非常瞭解初學者的睏惑，從最基本的定義和性質入手，一步步引導我們構建起對質數、約數、同餘等概念的深刻理解。每當書中齣現一個定理或公式，它都會通過多個不同類型的例題來加以鞏固，並且這些例題的難度梯度設計得非常閤理，從易到難，讓我能夠逐步提升自己的解題能力。

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在練習題的設計上，這本書也下瞭不少功夫。除瞭基礎的例題講解，每章節後麵都附有大量的針對性練習題，這些題目涵蓋瞭該章節的各個知識點，並且難度有所區分。更重要的是，書中對其中一部分難題提供瞭詳細的解答，這對我這種喜歡鑽研的學生來說，簡直是福音。能夠對照解答，分析自己的思路與書本的異同，是我提升最快的方式之一。

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總而言之，《初中數學競賽教程解題手冊》是一本非常值得推薦的書籍，它不僅僅是為參加數學競賽的學生準備的，對於任何想要深入理解和掌握初中數學，提升邏輯思維能力和解題能力的同學來說，這本書都是一個絕佳的選擇。它內容豐富、講解清晰、思路深刻，真正做到瞭“教程”與“手冊”的完美結閤，能夠幫助我不斷突破自我，在數學的道路上越走越遠。

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這本書的內容組織非常有條理，每一章都圍繞著一個數學主題展開，並層層遞進。例如，在代數章節，它從基礎的方程和不等式入手，逐漸過渡到函數、數列，甚至是一些更進階的代數技巧，如韋達定理、均值不等式等。這些內容對於準備數學競賽的學生來說至關重要，很多題目都需要靈活運用這些工具。書中對每一個知識點都進行瞭深入的剖析，並且配有豐富的練習題，這些練習題的難度和類型都非常有代錶性，能夠有效地檢驗我是否真正掌握瞭相關的知識。

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作為一個長期與數學打交道的學生，我深知一本好的參考書的價值在於它的“啓發性”。《初中數學競賽教程解題手冊》恰恰擁有這樣的特質。它不隻是給我答案，更是引導我去思考，去探索。我常常在做完一道題後，會迴頭去研究書中的解題思路，試圖從中提煉齣通用的方法論。書中對一些“陷阱”題的處理也格外細緻，會明確指齣常見的錯誤思路，並解釋其根源，這對於避免我犯同樣的錯誤非常有幫助。

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這本書最大的亮點在於其對解題思路的挖掘。它不僅僅是羅列解法，更重要的是剖析瞭問題背後的數學思想。我記得其中一道關於幾何證明的題目，題目本身並不算特彆復雜，但傳統的證明方法往往繞來繞去。然而，這本書介紹瞭一種利用嚮量或者復數來簡化證明的思路，這完全打破瞭我原有的思維定勢。作者在講解時，會花很多筆墨去解釋為什麼這種新的思路可行，以及它在哪些情況下更具優勢。這種“授人以魚不如授人以漁”的教學理念，讓我覺得這本書的價值遠遠超過瞭其定價。

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這本書給我最大的提升，是在於我解決復雜問題的能力。過去，遇到一些復雜的數學問題，我常常束手無策。但通過學習這本書，我學會瞭如何將復雜問題分解成若乾個小的、易於解決的部分，並且能夠靈活運用各種數學工具來解決這些小問題，最終拼湊齣整個問題的答案。書中對一些“數學建模”類的題目也有涉及，教會我如何將實際問題轉化為數學模型，並運用數學方法去解決。

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作為一名對初中數學充滿熱情的學生，我一直在尋找一本能夠幫助我深入理解競賽數學，並且能夠提供足夠高質量解題思路和方法的書籍。《初中數學競賽教程解題手冊》這個名字，本身就帶有一種強烈的吸引力，它承諾的不僅僅是解題技巧，更是“教程”和“手冊”的結閤，意味著它能引導我學習，又能在我遇到難題時提供可靠的參考。拿到這本書，我首先被它厚實的體量所震撼，這預示著裏麵蘊含的內容絕非淺嘗輒止。我迫不及待地翻開第一章，立刻被其嚴謹的邏輯和清晰的排版所吸引。不同於市麵上一些堆砌題目、缺乏講解的參考書，這本書的每道例題都配有詳盡的解題步驟，並且在關鍵步驟處標注瞭思考的齣發點，讓我能理解“為什麼這麼做”，而不是僅僅記住“怎麼做”。

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這本書的語言風格非常親切，雖然內容是競賽數學，但作者並沒有使用過於晦澀的術語，而是用通俗易懂的語言進行講解。我曾經嘗試過一些其他號稱是競賽數學的書籍，但常常因為語言 demasiado 難懂而放棄。而這本書，讓我感覺像是有一位經驗豐富的老師在身邊耐心指導。每一個概念的引入都伴隨著生動的解釋，每一個定理的推導都清晰明瞭，讓我能夠沉浸其中，享受數學的樂趣。

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對於幾何部分，我一直感到頭疼，總覺得圖形變化多端，很難找到切入點。《初中數學競賽教程解題手冊》在這一點上做得非常齣色。它不僅僅提供瞭常見的幾何定理和公式，更重要的是，它通過大量的插圖和詳細的標注，讓復雜的幾何圖形變得直觀易懂。我特彆欣賞的是，書中有很多“一題多解”的例子，同一道幾何題，它會用不同的方法來求解，比如純幾何法、坐標法、三角函數法等，這樣我不僅能學到多種解題技巧，還能體會到不同數學工具的魅力和適用範圍。

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