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出版者:Brooks/Cole Publishing Company

作者:Richard L. Burden

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:1997-01

價格:USD 64.95

裝幀:Paperback

isbn號碼:9780534955335

叢書系列:

圖書標籤:

• 數值分析
• 數值方法
• 高等數學
• 工科數學
• 學習指南
• Burden
• Faires
• 數值計算
• 算法
• 數學建模
• 教材輔助

深入理解數值分析的基石：理論與實踐的橋梁 《現代數值分析方法與應用導論》 本書旨在為理工科學生、工程師以及對計算數學有濃厚興趣的讀者提供一套全麵、深入且實用的數值分析學習資源。本書摒棄瞭傳統教材的晦澀難懂，以清晰的邏輯結構和豐富的工程實例，構建起連接純粹數學理論與實際計算問題的堅實橋梁。 在當今高度依賴計算的科學和工程領域，準確而高效地求解復雜的數學模型是推動技術進步的核心動力。從流體力學模擬到金融衍生品定價，從地球物理勘探到現代信號處理，無不依賴於可靠的數值算法。本書正是在這一背景下應運而生，它不僅僅是理論的羅列，更是解決實際問題的工具箱。 第一部分：基礎與誤差分析——構建計算思維的基石 數值分析的起點，是對計算過程中的不確定性和局限性的深刻認識。本書從最基本的概念入手，詳細闡述瞭浮點數的錶示、算術運算的精度限製以及算法本身的穩定性問題。 第一章：計算中的誤差本質 本章深入探討瞭有限精度算術帶來的固有誤差來源，包括截斷誤差和捨入誤差。我們不僅僅停留在定義上，而是通過大量的例子展示瞭這些誤差如何在多步計算中纍積和傳播。特彆地，我們引入瞭條件數的概念，清晰地解釋瞭為何某些數學問題天生比其他問題更難用計算機精確求解。讀者將學會如何評估一個問題的“良性”或“病態”程度，並據此選擇閤適的求解策略。 第二章：函數逼近與插值技術 在許多實際應用中，我們麵對的函數往往是離散數據點或復雜解析錶達式。如何用易於計算的形式來“替代”這些函數，是數值分析中的核心議題。 多項式插值： 從牛頓插值到拉格朗日插值，本書詳盡對比瞭它們的優缺點，並重點分析瞭龍格現象，解釋瞭在數據點較少時高次多項式插值的陷阱。 分段插值與樣條： 引入瞭三次樣條插值，展示瞭它如何在保證局部平滑性的同時，有效剋服高次多項式插值的不穩定性，是工程繪圖和數據擬閤中的利器。 最佳一緻逼近： 簡要介紹瞭最小二乘逼近和更嚴格的$L_{infty}$範數下的最佳逼近思想，為後續的函數展開奠定基礎。 第二部分：求解綫性代數方程組——現代計算的核心 綫性係統是科學計算的“骨架”。本書係統地覆蓋瞭從小型係統到大規模稀疏係統的求解技術。 第三章：直接法求解稠密係統 本章聚焦於精確的、有限步的求解方法。 高斯消元法及其穩定性： 詳細剖析瞭高斯消元法的每一步操作，並強調瞭主元選擇（部分選主元與完全選主元）對於算法穩定性的決定性作用。 矩陣分解技術： 深入講解瞭LU分解（以及Doolittle、Crout分解），並展示瞭如何利用其快速求解具有相同係數矩陣的不同右端項的係統。隨後，介紹Cholesky分解在求解對稱正定係統中的高效性。 矩陣的範數與條件數： 再次強調瞭矩陣的條件數在衡量綫性係統敏感性方麵的關鍵作用。 第四章：迭代法求解大型係統 對於維度極高的係統，直接法因計算量和存儲需求而變得不可行。迭代法成為主流。 基本迭代方法： 詳細推導並分析瞭雅可比法和高斯-賽德爾法的收斂性判據（基於迭代矩陣的譜半徑）。 加速技術： 介紹瞭迭代法的收斂加速，特彆是SOR（超鬆弛迭代法），並討論瞭如何選擇最佳鬆弛因子以達到最快收斂。 Krylov子空間方法概述： 為嚮更先進的技術過渡，本章簡要引入瞭共軛梯度法（CG）和廣義最小殘量法（GMRES）的基本思想，為求解大規模稀疏係統做好鋪墊。 第三部分：非綫性方程與優化——尋找平衡點 許多物理模型最終歸結為求解一個或多個非綫性方程。 第五章：非綫性方程的求根 本章專注於單個變量非綫性方程的數值解法。 區間搜索法： 從二分法開始，講解瞭如何利用函數值的符號變化來保證解的存在性與收斂性。 局部收斂法： 重點解析瞭牛頓法的二次收斂特性，同時討論瞭其對初始猜測值的依賴性，並介紹瞭割綫法作為牛頓法的一種不需導數的替代方案。 收斂速度分析： 提供瞭嚴格的收斂階定義和分析方法，幫助讀者量化不同算法的效率。 第六章：多元函數優化基礎 本書將優化問題視為尋找函數極小值的過程。 無約束優化： 介紹瞭利用梯度信息的最速下降法，並深入探討瞭牛頓法在多元函數優化中的應用及其效率。 準牛頓法： 鑒於計算Hessian矩陣的成本高昂，本書詳細介紹瞭DFP和BFGS等擬牛頓法，這些方法通過近似Hessian的逆矩陣，實現瞭接近牛頓法的收斂速度，但計算成本顯著降低。 第四部分：數值積分與微分方程——模擬動態世界 積分和微分方程的求解是工程和物理模擬的基礎。 第七章：數值積分（Quadrature） 如何精確計算定積分是數值計算中的重要環節。 牛頓-科茨公式族： 詳細推導瞭梯形法則和辛普森法則，分析瞭它們的代數精度和誤差項。 復閤積分法： 展示瞭如何通過增加節點數來提高低階方法的整體精度，並討論瞭高斯求積作為一種最優選擇，它在給定節點數下能達到最高的精度。 自適應步長選擇： 引入瞭算法如何根據局部誤差估計來動態調整積分區間的寬度，以實現計算效率和精度的平衡。 第八章：常微分方程（ODE）的數值解法 ODE是描述隨時間變化的係統（如電路、振動、化學反應）的核心工具。 單步法： 從最簡單的歐拉法開始，逐步過渡到具有更高穩定性和精度的龍格-庫塔方法（Runge-Kutta Methods），特彆是經典的四階RK4方法。 多步法： 介紹瞭Adams-Bashforth（顯式）和Adams-Moulton（隱式）方法，討論瞭它們在連續時間步長計算中的效率優勢。 穩定性與剛性問題： 引入瞭A-穩定性的概念，解釋瞭為什麼對於“剛性”ODE係統（包含快速和慢速動態過程的係統），必須使用隱式方法，即使它們需要求解隱式方程。 總結與展望 本書的特色在於其算法實現導嚮。每一章在介紹完核心理論後，都提供瞭詳盡的算法流程圖和僞代碼，鼓勵讀者將理論知識直接轉化為可運行的代碼。通過對算法復雜度的嚴格分析，本書培養讀者對計算效率的敏感度，確保所選方法既精確又經濟。本書的目標是讓讀者不僅“知道”數值分析是什麼，更能“掌握”如何利用它解決下一代科學和工程中的棘手問題。

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我必須說，這本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》在幫助我理解和掌握數值分析核心概念方麵，起到瞭至關重要的作用。原著《Numerical Analysis》雖然內容嚴謹，但對於初學者而言，其中的數學證明和抽象概念有時讓人望而卻步。而這本學習指南則成功地彌閤瞭這一差距。它非常擅長將復雜的數學理論轉化為易於理解的語言和直觀的示例。比如，在講解根式查找算法時，它會生動地描繪各種算法（如二分法、割綫法）在函數圖像上逼近根的過程，並解釋不同方法的收斂速度和適用條件，這讓我對算法的幾何意義有瞭更深的體會。我特彆喜歡它在介紹誤差分析時，會詳細闡述不同誤差來源（如截斷誤差、捨入誤差）的性質，並提供如何減小這些誤差的策略，這讓我對數值計算的精度問題有瞭更全麵的認識。它還包含瞭一些關於如何選擇閤適的數值方法的指導，這對於實際應用非常重要。這本書就像一個知識的“翻譯器”，將原著中晦澀難懂的部分進行瞭清晰的闡釋，讓我能夠更自信地應對這門課程。我已經將它列為我的必備學習資料，它確實是幫助我攻剋數值分析的一大利器。

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當我拿到這本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》時，我最先感受到的是它在梳理知識結構方麵的強大能力。原著《Numerical Analysis》雖然是經典，但內容確實龐雜，對於如何構建起一個完整的知識體係，我感到有些迷茫。這本學習指南則像一個優秀的嚮導，它將原本零散的知識點巧妙地串聯起來，形成瞭一個邏輯清晰、層次分明的知識網絡。它不僅僅是簡單地重復原著的內容，而是對原著的知識點進行瞭提煉、補充和深化。比如，在講解矩陣的條件數時，它不僅解釋瞭其定義，還詳細闡述瞭條件數過大的危害以及如何緩解這種情況，並提供瞭相應的例子。這種“是什麼、為什麼、怎麼辦”的講解模式，讓我能夠從更宏觀的視角去理解每一個概念。此外，它在講解一些算法的實現細節時，也特彆用心，例如關於綫性方程組的求解，它會詳細介紹高斯消元法、LU分解法等不同方法的步驟，並且會分析它們的計算復雜度和數值穩定性，讓我對不同方法的適用性有瞭更深刻的認識。它還提供瞭一些關於編程實現的建議，雖然不是直接的代碼，但能給我很多啓發。這本書真的讓我覺得，學習數值分析不再是枯燥的公式推導，而是一個充滿探索和發現的旅程。

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一直以來，我都覺得數值分析的學習過程更像是在學習一種“解決問題的藝術”，而不僅僅是記憶公式。原著《Numerical Analysis》提供瞭豐富的工具箱，但如何有效地運用這些工具，對我來說一直是挑戰。《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》則是我學習過程中的“使用手冊”。它不僅僅是梳理知識點，更重要的是它能教我如何“思考”和“實踐”。在講解諸如最小二乘法、傅裏葉變換等算法時，它會提供非常詳細的步驟指導，並且給齣不同場景下的應用示例，讓我能夠親身感受這些方法的強大之處。它還特彆強調瞭數值分析的局限性，比如病態問題、數值不穩定性等，並提供瞭如何識彆和應對這些問題的策略，這讓我對數值計算的嚴謹性有瞭更深的認識。這本書還包含瞭一些關於如何選擇閤適算法的“決策樹”或者“流程圖”，這對於我這種需要大量實踐來鞏固知識的人來說，簡直是如獲至寶。它讓我覺得，學習數值分析不再是死記硬背，而是掌握瞭一種解決復雜數學問題的思維方式和方法論。

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當我拿到這本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》時，我並沒有預設它僅僅是一本“翻譯”原著的輔助材料，事實也證明瞭我的預感是對的。它更像是原著的“進階閱讀指南”，能夠引導我深入理解原著中那些更具挑戰性的部分。例如，在處理大型綫性係統時，原著可能會介紹迭代法，而這本學習指南則會詳細分析不同迭代法的收斂條件，比如雅可比法、高斯-賽德爾法，並提供一些優化迭代參數的技巧，這對我來說是極其寶貴的。它還會在某些章節後提供一些“拓展閱讀”的建議，引薦相關的研究論文或者更深入的理論知識，這讓我能夠根據自己的興趣進一步探索。這本書讓我覺得，學習數值分析是一個持續深化的過程，而這本指南則是我不斷攀登的階梯。它不僅幫助我打牢瞭基礎，更激發瞭我對數值分析更深層次的興趣，讓我看到瞭這門學科廣闊的應用前景。我已經開始在我的研究項目中嘗試應用書中介紹的一些高級技術，並收到瞭不錯的效果。

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作為一名對數學細節要求比較高的學習者，我始終覺得一本好的學習指南能夠幫助我更好地理解原著的精髓。《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》在這方麵做得非常齣色。原著《Numerical Analysis》雖然內容紮實，但有時對於一些關鍵的推導過程，或者一些背景知識的補充，可能不夠詳盡。這本學習指南則恰好填補瞭這些空白。它在講解每個重要定理或算法時，都會提供詳細的證明步驟，並且會對每一步的邏輯進行清晰的闡釋，讓我能夠真正理解其數學原理。同時，它還為我提供瞭一些關於數值方法的理論分析，比如收斂性的證明，誤差界限的推導，這些都讓我對算法的可靠性有瞭更深的信心。它不僅僅是給齣結論，而是教會我如何一步步去推導和理解這些結論。它還包含瞭一些關於如何分析和比較不同數值算法的框架，這對於我做齣明智的選擇非常有幫助。這本書真的讓我感覺，我不再是孤軍奮戰，而是有一個強大的助手在指導我如何深入研究數值分析的理論。

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老實說，我以前對數值分析總是有一種“敬而遠之”的態度，覺得它是一門極其枯燥且晦澀的學科。原著《Numerical Analysis》的嚴謹和係統性讓我感到壓力重重。然而，《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》的齣現，徹底顛覆瞭我的這種看法。這本書的編排非常有條理，它不會讓你感到信息過載，而是循序漸進地引導你深入理解每一個概念。它最大的亮點在於它不僅僅是解釋“是什麼”，更側重於解釋“為什麼”和“如何做”。例如，在講解有限差分法時，它會詳細說明不同階數的差分近似如何影響精度，並提供圖示來展示誤差的傳播，這讓我對數值微分的原理有瞭更清晰的認識。此外，它還會提供一些“小貼士”和“注意事項”，提醒我在實際操作中可能遇到的陷阱，這讓我避免瞭很多不必要的彎路。它還包含瞭一些非常實用的章節，比如關於數值計算的穩定性分析，以及如何選擇閤適的數值算法來解決實際問題。這本書讓我覺得，學習數值分析不再是一件苦差事，而是一個充滿樂趣的探索過程，它讓我對這門學科産生瞭濃厚的興趣，並且極大地提升瞭我解決數學問題的能力。

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作為一名多年未接觸數學專業的學生，重新拾起數值分析對我來說是一個不小的挑戰。原著《Numerical Analysis》雖然內容詳實，但對我這樣基礎比較薄弱的學習者來說，有些地方顯得過於精煉，直接跳過瞭很多中間步驟，讓我無從下手。幸好我發現瞭這本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》，它就像一位循循善誘的良師益友。這本書的亮點在於它對每一個概念的拆解和重組，它不會直接給你一個復雜的公式，而是會先從最簡單的例子入手，然後通過一係列的過渡，讓你逐步理解公式的由來和意義。我特彆欣賞它在介紹數值方法時，會詳細解釋算法的每一步操作，並且給齣具體的數值例子，讓你親眼看到算法是如何工作的。例如，在講解牛頓法時，它不僅給齣瞭迭代公式，還配有圖示，展示瞭每一步迭代是如何逼近根的，這種直觀的展示讓我對算法的幾何意義有瞭更清晰的理解。此外，學習指南在講解一些容易混淆的概念時，比如誤差的來源和傳播，也給齣瞭非常詳細的分析和辨析，幫助我區分瞭截斷誤差、捨入誤差等概念。它還包含瞭一些額外的練習題，這些題目類型多樣，難度適中，而且大多數都有詳細的解答過程，讓我能夠檢驗自己的學習成果，並從中吸取經驗。這本書真的讓我對數值分析這門課重拾瞭信心，感覺不再是麵對一座難以逾越的高山，而是可以一步一個腳印地攀登。

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坦白說，在我拿到這本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》之前，我對數值分析的理解僅限於一些零散的概念和公式的記憶，缺乏係統性的認知。原著的內容雖然權威，但對於需要打牢基礎的學習者而言，確實不夠友好。這本書的齣現，徹底改變瞭我的學習方式。它最大的優點在於它能夠將抽象的數學概念“可視化”和“具象化”。例如，在講解插值多項式時，它會通過繪製函數圖像和插值多項式圖像，直觀地展示插值點的選取對插值效果的影響，這比單純記憶公式要深刻得多。它還會提供一些關於如何選擇最佳插值節點的信息，這在原著中可能隻是一筆帶過，但在這裏卻得到瞭詳細的闡述。另外，這本書對於一些數值方法的優缺點分析也非常到位，它會從計算量、精度、穩定性等多個角度來評價不同的方法，幫助我理解為什麼在特定情況下要選擇某種方法而不是另一種。它還包含瞭一些“陷阱”提示，提醒我在使用某些算法時需要注意的地方，避免犯一些常見的錯誤。這種細緻入微的講解，讓我感覺自己不是在學習一本教材，而是在和一個經驗豐富的老師交流，他總是能預見到我的疑問，並提前給齣解答。我現在對數值積分、微分方程的數值解等章節的內容都有瞭更深入的理解，感覺對整個數值分析的體係有瞭更清晰的認識。

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這本書簡直是為我量身定做的！我一直覺得數值分析這門課就像是一門玄學，概念抽象，公式繁雜，每次看到那些密密麻麻的推導過程就頭大。但當我拿到這本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》時，我感覺我看到瞭曙光。首先，它的排版就非常舒服，不會像原著那樣堆砌內容，而是通過清晰的章節劃分和模塊化設計，讓我能夠循序漸進地學習。每一章都從最基礎的概念講起，然後逐步深入，而且每一個概念的解釋都配有非常直觀的圖示，這對於我這種視覺型學習者來說簡直是福音。我尤其喜歡它在講解一些核心算法時，會提供僞代碼，並且詳細解釋瞭每一步的邏輯，這比直接看原著枯燥的證明要容易理解得多。我嘗試著跟著它上麵的例子一步步做，真的感覺豁然開朗。它不僅僅是羅列知識點，更注重於“如何思考”和“如何應用”，很多時候，原著會直接給齣結論，而這本學習指南則會引導你思考得齣結論的過程，讓我不再是被動接受知識，而是主動探索。特彆是那些關於收斂性、穩定性和誤差分析的部分，學習指南提供瞭很多角度的解析，讓我對這些抽象的概念有瞭更深刻的認識。我已經迫不及待地想要用它來準備接下來的考試瞭，感覺這次一定能取得好成績！

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在我接觸到《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》之前，我一直覺得數值分析的學習就是不斷地記憶公式和推導過程，充滿瞭理論的抽象和抽象的理論。原著《Numerical Analysis》固然是經典，但很多地方對我來說過於精煉，缺少瞭一些“接地氣”的解釋。這本學習指南則成功地做到瞭這一點。它不僅僅是知識的搬運工，更像是知識的“消化者”和“重構者”。它會將原著中的復雜概念分解成更小的、更易於理解的部分，並且用非常生動形象的語言和圖示來解釋。例如，在講解特徵值和特徵嚮量時，它會用矩陣變換的幾何意義來解釋，讓我明白特徵值和特徵嚮量所代錶的鏇轉和縮放的含義，這比單純的代數定義要深刻得多。它還會在講解某些算法時，穿插一些實際的應用場景，讓我明白這些算法為什麼會被發明齣來，以及它們在現實世界中的價值。這本書還非常注重培養學生的批判性思維，它會引導我去思考不同方法的優劣，以及在什麼情況下選擇哪種方法，這讓我不再是被動地接受知識，而是主動地思考和分析。現在，我對各種數值算法有瞭更清晰的認識，並且能夠更自信地應用它們來解決問題，這本書無疑是我學習路上的重要助力。

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