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出版者:Scholarly Publishing Office, University of Michigan Library

作者:Luther Pfahler Eisenhart

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-12-20

价格:USD 26.99

装帧:Paperback

isbn号码:9781418183370

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何
• 曲面理论
• 拓扑学
• 几何变换
• 数学分析
• 流形
• 几何学
• 表面
• 变换群
• 可视化几何

《微积分几何学中的曲面研究》 一本深入探讨经典微分几何中曲面理论的权威著作 作者： [此处可填入一位或多位资深数学家的名字] 出版社： [此处可填入一家知名的学术出版社名称] 出版年份： [此处可填入一个具体的年份] --- 内容概述 《微积分几何学中的曲面研究》是一本全面、深入且具有高度专业性的数学专著，专注于经典微分几何框架下对三维欧几里得空间中光滑曲面进行精确描述、分析和分类的理论体系。本书旨在为高等数学、理论物理学以及相关工程领域的研究人员和高年级学生提供一个坚实的理论基础和丰富的技术工具，用以理解和量化曲面的内在与外在几何性质。 本书摒弃了过于抽象的、依赖于高维黎曼几何或拓扑学的现代表述方式，而是严格立足于经典分析与向量微积分的工具箱，详细阐述了曲面理论的基石——第一、第二基本形式的构造及其几何意义。全书结构清晰，从基础概念的严谨定义开始，逐步推进至曲率理论的精髓，最终探讨了曲面的局部结构分类。 全书共分为八章，每章都包含大量的定理证明、精选的例题解析以及旨在加深理解的练习题。 --- 详细章节结构与核心内容 第一章：欧几里得空间中的曲线与曲面基础 (Foundations in $mathbb{R}^3$: Curves and Surfaces) 本章为全书奠定分析基础。首先回顾了空间曲线的参数化表示、弧长计算、 Frenet 标架以及挠率的概念，为理解曲面的局部行为做铺垫。随后，本书正式引入曲面的定义，重点讨论隐式表示（如 $F(x, y, z) = 0$）和参数化表示（如 $mathbf{r}(u, v)$）的优缺点及其相互转换的数学要求。重点分析了曲面上的切平面和法向量的计算，并引入了局部坐标系的概念，这是后续所有几何量计算的起点。 第二章：曲面的第一基本形式 (The First Fundamental Form and Intrinsic Geometry) 第一基本形式是区分曲面内在几何与外在嵌入几何的关键工具。本章详细推导了第一基本形式 $I = E du^2 + 2F du dv + G dv^2$ 的系数 $E, F, G$ 如何由参数化曲面的基向量的内积导出。随后，本书深入探讨了第一基本形式所揭示的内蕴几何特性： 1. 度量张量： 将第一基本形式视为定义在曲面切空间上的二次型，并探讨其行列式 $ ext{det}(g) = EG - F^2$ 在面积元素和角度测量中的作用。 2. 测地线方程的初步探讨： 虽然测地线的完整理论将在后文展开，但本章已引入 Christoffel 符号的概念，暗示了如何从第一基本形式中提取关于“直线”的局部信息。 3. 等距变换（Isometries）： 严格证明了只有第一基本形式保持不变的映射才是局部保持距离的映射，从而确立了第一基本形式在描述曲面“内在”属性中的核心地位。 第三章：曲面的第二基本形式与曲率 (The Second Fundamental Form and Curvature) 本章是全书的几何核心。引入形状算子（Shape Operator） $S$ 或 Weingarten 映射，它描述了曲面如何在外在空间中弯曲。通过形状算子的自伴随性，精确推导出第二基本形式 $ ext{II} = L du^2 + 2M du dv + N dv^2$ 的系数 $L, M, N$ 的计算方法。 随后，本书系统地定义和分析了四种关键曲率： 1. 主曲率 ($kappa_1, kappa_2$)： 通过求解形状算子的特征值获得，它们代表了在曲面上特定方向上的最大和最小法曲率。 2. 高斯曲率 ($K$)： 定义为两者之积 $K = kappa_1 kappa_2$。 3. 平均曲率 ($H$)： 定义为两者之半和 $H = (kappa_1 + kappa_2) / 2$。 本章的重点在于计算这些曲率的公式，并将它们与第一基本形式的系数（即 $E, F, G$）联系起来，最终导出了Codazzi-Mainardi 方程的预备知识。 第四章：高斯绝妙定理 (Theorema Egregium) 本章集中于微分几何中最深刻、最著名的成果之一。高斯绝妙定理指出，高斯曲率 $K$ 仅依赖于第一基本形式（即 $E, F, G$ 及其一阶和二阶偏导数），因此是曲面的一个内蕴不变量。 本书详细推导了高斯曲率的显式表达式，并用严格的几何论证解释了其“绝妙”之处：曲面在三维空间中的“弯曲”程度（$K$）可以完全通过在其自身表面上进行的测量（长度、角度）来确定，无需参考外部嵌入空间。本章通过计算平面、球面、圆柱面等经典曲面的高斯曲率，加深了读者对内蕴几何的理解。 第五章：测地线与测地曲率 (Geodesics and Geodesic Curvature) 测地线是曲面上两点间“最短路径”的推广，是内蕴几何中的“直线”。 1. 测地线的定义： 定义为曲面上法向的平行移动曲线，或者更直接地，具有零测地曲率的曲线。 2. 测地线方程： 利用 Christoffel 符号（完全由 $E, F, G$ 决定），推导出描述测地线轨迹的二阶常微分方程组。 3. 曲率关系： 严格区分了曲线的总曲率、法曲率和测地曲率，并利用 Meusnier 定理将它们联系起来。 4. 测地曲率与高斯-布内公式（Gauss-Bonnet Theorem, 局部形式）： 本章的亮点在于引出高斯-布内公式的局部版本，它将曲面上一个小区域的内角和亏损（或剩余）与该区域上的高斯曲率积分联系起来，进一步巩固了高斯曲率的内蕴本质。 第六章：曲面的主方程与完备性 (Principal Equations and Completeness) 本章关注曲面在三维空间中的整体存在性与唯一性问题。 1. Codazzi-Mainardi 方程： 详细分析了这组关于第二基本形式系数的方程，证明了它们是曲面存在性（即满足预定的 $I$ 和 $II$ 的曲面存在）的必要条件。 2. Theorema Fundamentale (基本定理)： 证明了该定理的充要条件：给定一个光滑曲面 $M$ 上的第一基本形式 $I$ 和第二基本形式 $II$，只要它们满足 Codazzi-Mainardi 方程，则存在一个唯一（在刚性运动下）的等距嵌入，将 $M$ 嵌入 $mathbb{R}^3$。 3. 曲面完备性： 引入曲面完备性的概念（即测地线可以在任一方向上无限延伸而不跑出曲面），并讨论了曲率与完备性之间的关系。 第七章：极小曲面与平均曲率零 (Minimal Surfaces and Zero Mean Curvature) 极小曲面是曲面理论中一个美学和应用价值极高的分支。 1. 定义： 极小曲面被定义为平均曲率为零的曲面 ($H=0$)。 2. 变分原理： 将极小曲面与 Plateau 问题（在给定边界下寻找面积最小的曲面）联系起来，表明 $H=0$ 是曲面面积泛函的一阶变分条件。 3. 特定例子： 详细分析了悬链面（Catenoid）和肥皂膜的数学结构，展示了 $H=0$ 约束如何影响曲面的局部几何。 第八章：曲面的分类与例子 (Classification and Examples) 本章将前述理论应用于经典的、具有高对称性的曲面，作为理论应用的总结： 1. 旋转曲面： 深入分析了所有旋转曲面（如圆环面、碟面）的曲率分布，并确定了哪些旋转曲面可以具有常平均曲率（如球体和圆柱面）。 2. 螺旋曲面与环面： 分析了这些曲面的高斯曲率何时为零（平坦点）或负值。 3. 曲面的一般性质： 讨论了曲面的正则点、脐点（Umbilic Points，即主曲率相等的位置）的几何特征，并解释了为什么在脐点处高斯曲率 $K$ 必须是曲面的一个局部常数。 --- 本书的特点与目标读者 《微积分几何学中的曲面研究》的特点在于其严格的分析基础和对经典概念的深度挖掘。它忠实于对曲面几何量的显式计算，避免了对现代黎曼流形理论的预设知识，使得读者可以清晰地追踪每一个几何量是如何从向量微积分中诞生的。 目标读者包括： 微分几何和几何分析方向的研究生和博士后研究人员。 从事广义相对论、弹性力学或曲面建模的物理学家和工程师，需要理解曲面几何核心理论的专业人士。 致力于掌握经典微分几何的数学系本科高年级学生。 本书被设计为一本可以伴随学者多年，在研究过程中不断查阅和引用的核心参考书。

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《Transformations of Surfaces》这本书给我带来的冲击，不仅仅是知识上的，更是一种思维方式的重塑。它让我开始以一种全新的视角去审视我们周围的世界。书中对于曲面及其变换的探讨，无处不体现着一种深刻的逻辑性和系统性。我曾对微分几何的一些基础概念感到困惑，但作者通过对不同变换的详细分析，巧妙地揭示了它们之间的内在联系。例如，他在阐述高斯曲率（Gaussian curvature）和平均曲率（mean curvature）时，不仅仅给出了定义和公式，更重要的是解释了这些曲率如何影响曲面的局部形状，以及在不同变换下它们会如何变化。这种“由点及面”的讲解方式，让我能够从最基本的局部性质出发，理解整个曲面的整体特性。书中还涉及了一些关于流形（manifolds）的概念，虽然一开始觉得有些抽象，但作者通过引入一些“局部欧几里得性”的类比，让我能够逐渐把握其精髓。我尤其对书中关于“等距变换”（isometry）的讨论印象深刻，它揭示了在保持距离不变的前提下，我们可以进行怎样的空间运动，这对于理解刚体运动、物理学中的对称性等问题都有着重要的启示。阅读这本书，就像是在进行一场智力探险，每一次理解一个新概念，都仿佛打开了一扇新的大门，让我看到了数学更广阔的天地。

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《Transformations of Surfaces》这本书的逻辑结构非常清晰，每一章的内容都建立在前一章的基础上，形成了一个完整的知识体系。作者在介绍“曲面上的微分算子”（differential operators on surfaces）时，从最简单的梯度（gradient）和散度（divergence）开始，逐步引入到拉普拉斯算子（Laplacian）等更复杂的算子，并解释了它们在曲面几何中的意义。我尤其对书中关于“曲面参数化”（parametrization of surfaces）的讨论印象深刻，作者不仅仅介绍了多种参数化的方法，还讨论了它们的优缺点以及在不同应用场景下的选择。他对于“曲面上的向量场”（vector fields on surfaces）的介绍，也让我看到了如何在曲面上描述“流动”或“力”的概念，以及这些向量场如何与曲面的几何性质相互作用。书中还提及了一些关于“曲面可积性”（integrability of surfaces）的理论，这让我对“完全可积系统”（completely integrable systems）有了初步的了解，感受到了数学内在的和谐与统一。

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这本书《Transformations of Surfaces》对我来说，最大的价值在于它不仅仅教授了数学知识，更培养了我对数学的欣赏能力。作者在解释“曲面微分”（differential of a surface）时，将一个高维空间的映射，如何影响曲面上的微小区域，通过“雅可比矩阵”（Jacobian matrix）的概念清晰地呈现出来。我尤其喜欢他对“曲面弯曲”（surface bending）的研究，它揭示了即使在保持面积不变的情况下，曲面也会发生弯曲，而这种弯曲可以通过曲率来量化。书中还涉及了一些关于“李群”（Lie groups）和“李代数”（Lie algebras）在曲面变换中的应用，这让我看到了更深层次的数学结构。作者在引用数学家的工作时，常常会穿插一些有趣的故事，比如关于欧拉、高斯等数学家的轶事，这使得阅读过程充满了乐趣，也让我感受到了数学发展的脉络。这本书让我觉得，学习数学不仅仅是为了考试或者工作，更是一种对真理的追求，一种对美的探索。

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在阅读《Transformations of Surfaces》的过程中，我惊喜地发现，作者并没有将重点放在纯粹的理论证明上，而是更侧重于概念的引入、理解和应用。这对于我这样更偏向于应用数学的读者来说，无疑是一份厚礼。书中对于曲面分类（classification of surfaces）的介绍，让我对拓扑学（topology）有了初步的认识，理解了即使在连续变换下，一些基本的拓扑性质（如连通性、孔洞的数量）是保持不变的。作者通过一些生动的例子，比如将一个甜甜圈（torus）和一个咖啡杯进行类比，来说明它们在拓扑学上是等价的，这让我对“同胚”（homeomorphism）这个概念有了更深刻的理解。此外，书中关于“曲面映射”（mapping of surfaces）的部分，也为我提供了很多关于函数在空间中如何表现的直观认识。我特别欣赏作者在解释“投影”（projection）和“参数化”（parametrization）时所用的方法，它们帮助我理解了如何将一个三维的曲面“展平”到二维平面上，或者如何用一组参数来描述曲面上的每一个点。这些工具在计算机图形学、地理信息系统等领域都有着广泛的应用。这本书让我看到了数学理论如何与现实世界紧密相连，也激发了我进一步探索相关领域的兴趣。

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这本书《Transformations of Surfaces》给我带来的最深刻体验之一，是其对“几何不变性”（geometric invariance）的强调。作者通过对各种变换的研究，揭示了在这些变换下，哪些几何性质是保持不变的，哪些是会发生变化的。例如，他详细讨论了“仿射变换”（affine transformation）和“投影变换”（projective transformation），并解释了在这些变换下，平行线仍然保持平行（仿射变换）或者点共线性保持（投影变换）等不变的性质。这些不变性对于理解几何的结构和分类至关重要。书中还涉及了“微分同胚”（diffeomorphism）的概念，这是一种光滑可逆的映射，它允许我们在保持曲面的光滑性的前提下对其进行形变。作者通过对比不同类型的变换，让我能够更清晰地认识到它们的区别和联系，也更深刻地理解了“变换”这个概念的丰富内涵。我尤其欣赏作者在解释这些概念时，所引用的历史典故和数学家的贡献，这使得枯燥的数学知识也充满了人情味。

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《Transformations of Surfaces》的魅力在于，它能够将极其抽象的数学概念，通过精妙的语言和图示，转化为易于理解的知识。作者在解释“切空间”（tangent space）和“法向量”（normal vector）时，并没有直接给出复杂的向量代数定义，而是通过“切线”（tangent line）和“切平面”（tangent plane）的直观几何意义来引入，让我能够清晰地把握一个点在曲面上“方向”的概念。这种从具体到抽象的讲解方式，对于初学者来说是极其友好的。书中还探讨了曲面的“度量”（metric）和“测地线”（geodesics）的概念，这让我联想到了如何在弯曲的空间中测量距离，以及沿着曲面“最短路径”是什么样子。作者通过一些关于地球表面的例子，比如飞机航线的计算，来阐释测地线的概念，非常贴切。他还介绍了“曲率”（curvature）如何影响测地线的行为，比如在正曲率的球面上，平行线最终会相交。这种对数学概念背后物理和几何意义的深入挖掘，使得阅读过程充满了智识的乐趣。我感觉自己不仅仅是在学习数学，更是在学习一种观察和理解世界的新方式。

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《Transformations of Surfaces》这本书让我深刻认识到，数学不仅仅是冰冷的数字和公式，它更是关于空间、形状和运动的语言。作者在书中对“曲面微分几何”（differential geometry of surfaces）的全面介绍，让我领略到了数学的广度和深度。他对于“曲面族的演化”（evolution of families of surfaces）的探讨，让我看到了数学的动态性和创造性。我尤其对书中关于“曲面的共形变换”（conformal transformations of surfaces）的讨论印象深刻，它揭示了在保持角度不变的情况下，我们可以进行怎样的形变，这在地图绘制和复变函数中都有着重要的应用。作者还提及了一些关于“黎曼几何”（Riemannian geometry）的初步概念，以及它如何将曲面几何推广到更高维度的流形。他对于数学问题的解决思路和分析方法，都给我带来了极大的启发。这本书让我觉得，数学是一门既严谨又充满想象力的学科，它能够帮助我们理解宇宙的奥秘，也能激发我们创造无限可能。

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当我拿起《Transformations of Surfaces》这本书时，我并没有想到它会如此深刻地影响我思考问题的方式。作者在书中对于“曲面族的生成”（generation of families of surfaces）的探讨，让我看到如何通过一个参数的变化，来生成一系列具有不同形状和性质的曲面。这就像是在观察一个生命的演化过程，或者一个艺术品在不同光线下的变化。他对于“曲面形变”（surface deformation）的深入分析，让我开始理解为何一些看起来完全不同的物体，在数学上却可以通过连续的形变联系起来。书中还涉及了一些关于“微分几何的分类”（classification in differential geometry）的内容，例如如何根据曲率的符号来区分椭圆型、抛物型和双曲型曲面，这让我对曲面的内在几何性质有了更清晰的认识。作者在阐述这些概念时，经常会引用一些实际的例子，比如将一块橡皮泥捏成不同的形状，或者将一个平面的地图投影到球面上，这些贴近生活的例子，极大地帮助我理解了抽象的数学理论。

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初次翻开《Transformations of Surfaces》，我被其封面设计所吸引，那种抽象的几何图形，仿佛暗示着数学与艺术的交融，立刻勾起了我的好奇心。我曾以为这本书会是一本枯燥乏味的纯数学理论著作，但随着阅读的深入，我的认识发生了翻天覆地的变化。作者以一种极其巧妙的方式，将抽象的数学概念具象化，仿佛是在引导我穿梭于一个由曲线、曲面构成的奇妙世界。书中对各种转换的研究，不仅仅是数学公式的堆砌，更是对空间形态演变的深刻洞察。从简单的线性变换到复杂的高维流形，每一个概念的引入都伴随着清晰的解释和令人着迷的例子。我尤其喜欢作者在解释映射（mapping）和变形（deformation）时所使用的类比，它们让我能够直观地理解那些原本只存在于脑海中的数学构造。例如，作者将空间中的一个曲面比作一张有弹性的布料，我们可以对其进行拉伸、压缩、扭曲，而这些操作在数学上都可以用特定的变换来描述。这种“触手可及”的讲解方式，极大地降低了理解门槛，也让我在不知不觉中沉浸其中，仿佛与作者一同探索着数学的边界。书中的插图更是点睛之笔，它们不仅美观，更重要的是精准地传达了数学的内涵，让我在阅读时能够不断地在视觉和概念之间建立联系。我不得不承认，这本书彻底改变了我对数学书籍的刻板印象，它证明了严谨的数学理论同样可以充满美感和想象力。

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《Transformations of Surfaces》的写作风格非常吸引人，它不是那种高高在上的学术著作，而是更像一位经验丰富的数学向导，带着你一步步深入探索。作者在介绍“曲面嵌入”（surface embedding）时，将我们熟悉的三维空间中的曲面，与更抽象的高维空间中的“子流形”（submanifold）进行了类比，让我能够理解一个高维物体如何在低维空间中“展现”出来。他对“高斯-邦尼公式”（Gauss-Bonnet Theorem）的引入，更是让我见识到了曲面上一个全局性质（如曲率积分）如何与曲面的拓扑性质（如欧拉示性数）联系起来，这种深刻的联系让我感到无比震撼。作者没有回避那些复杂的数学证明，但总会以一种循序渐进的方式，先给出直观的理解，再逐步引入严谨的数学语言。他对于“测度论”（measure theory）在曲面几何中的一些应用的提及，也为我打开了新的思路，让我看到了数学不同分支之间的交叉融合。这本书让我觉得，学习数学不仅仅是为了掌握公式和定理，更是为了培养一种解决问题的能力和一种探索未知的热情。

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