Weakly Differentiable Functions pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:William P. Ziemer

出品人:

页数:324

译者:

出版时间:1989-09-18

价格:USD 84.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387970172

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

数学分析
泛函分析
偏微分方程
弱导数
Sobolev空间
变分法
实分析
函数空间
PDE
数值分析

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具体描述

The major thrust of this book is the analysis of pointwise behavior of Sobolev functions of integer order and BV functions (functions whose partial derivatives are measures with finite total variation). The development of Sobolev functions includes an analysis of their continuity properties in terms of Lebesgue points, approximate continuity, and fine continuity as well as a discussion of their higher order regularity properties in terms of Lp-derivatives. This provides the foundation for further results such as a strong approximation theorem and the comparison of Lp and distributional derivatives. Also included is a treatment of Sobolev-Poincare type inequalities which unifies virtually all inequalities of this type. Although the techniques required for the discussion of BV functions are completely different from those required for Sobolev functions, there are similarities between their developments such as a unifying treatment of Poincare-type inequalities for BV functions. This book is intended for graduate students and researchers whose interests may include aspects of approximation theory, the calculus of variations, partial differential equations, potential theory and related areas. The only prerequisite is a standard graduate course in real analysis since almost all of the material is accessible through real variable techniques.

图像处理中的多尺度分析与特征提取本书深入探讨了在复杂图像分析任务中，如何利用多尺度方法有效地捕获和表征图像的层次化信息。它为研究人员和工程师提供了一套系统的理论框架与实践工具，用以应对从基础图像增强到高级语义理解中的各种挑战。第一部分：基础理论与多尺度表示第一章：图像的尺度空间理论本章从数学分析的角度，系统阐述了尺度空间理论在图像处理中的核心地位。我们首先回顾了傅里叶分析在频率域处理上的局限性，并引入了扩散过程作为构建尺度空间的自然模型。重点讨论了高斯尺度空间（Gaussian Scale-Space）的构建原理，特别是其满足的尺度空间公理（如尺度不变性、平移不变性等）。详细推导了尺度空间核的性质，并分析了尺度参数 $sigma$ 对图像平滑和特征尺度选择的影响。此外，本章还比较了非高斯尺度空间（如二次方尺度空间或双边滤波尺度空间）在处理特定类型噪声和边缘保留方面的优势与劣势。第二章：尺度空间中的基本算子在确立了尺度空间框架后，本章聚焦于如何利用该框架提取微分特征。我们详细分析了尺度空间表示下的一阶和二阶导数算子。特别是对拉普拉斯算子（LoG）和高斯差分算子（DoG）进行了深入的比较分析。对DoG算子如何有效地在不同尺度上近似LoG，以及它在斑点检测中的应用进行了详尽的数学证明和实验验证。同时，本章也涵盖了基于结构张量的尺度不变特征（如Harris角点在尺度空间中的扩展），并讨论了在不同尺度下特征点的稳定性问题。第二章第三节：小波变换与多分辨率分析本节将视角从连续尺度空间转向离散的多分辨率分析，重点介绍小波变换（Wavelet Transform）在图像分析中的应用。我们区分了连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。详细阐述了Haar、Daubechies等经典小波基函数的构建及其在图像分解中的作用。通过多分辨率分析，可以清晰地看到图像在不同频率子带上的能量分布，这为去噪、压缩和纹理分析提供了坚实的数学基础。第二部分：尺度空间中的特征检测与描述第三章：尺度不变特征检测器（SIFT及其变体）尺度不变特征变换（SIFT）是现代计算机视觉的基石之一。本章以SIFT算法为核心，详细剖析了其构建尺度空间、关键点定位、尺度归一化以及描述子生成的全过程。重点分析了SIFT如何通过DOJ构建极值点，并使用泰勒展开来精确地进行亚像素定位。在特征描述部分，我们深入探讨了梯度方向直方图的构建机制，以及它如何赋予特征对光照和视角变化的鲁棒性。随后，本章引入了加速稳健特征（SURF）和高效的鲁棒特征（ORB），比较了它们在计算效率和描述性能上的权衡。第四章：多尺度分割与图像分割图像分割是理解图像内容的前提。本章探讨了如何将多尺度分析应用于图像分割任务。首先介绍了基于区域生长的多尺度方法，通过在不同尺度下进行区域合并和分割，避免了单尺度方法对噪声和细节的过度敏感。随后，重点分析了基于尺度空间信息的边缘检测和裂缝检测方法，特别是如何利用尺度空间中的梯度的最大值来定位真实边缘。此外，本章还涵盖了基于图论的分割方法，如最小割（Min-Cut）在多尺度框架下的应用，以及如何利用尺度信息指导图割的优化。第五章：纹理分析与分形几何纹理是图像的重要属性，其内在具有天然的多尺度特性。本章将纹理分析与分形几何相结合。我们引入了盒计数法（Box-Counting Method）和多元相关维数（Multifractal Dimension）等工具来量化图像的粗糙度和复杂性。详细阐述了如何利用小波包分解（Wavelet Packet Decomposition）构建多分辨率纹理特征向量，并将其应用于材质识别和医学图像分类。本章最后讨论了随机过程模型（如马尔可夫随机场）在模拟和生成具有特定尺度特性的纹理中的应用。第三部分：高级应用与性能优化第六章：深度学习中的多尺度融合随着深度学习的兴起，如何将传统的多尺度分析思想融入到卷积神经网络（CNN）架构中成为关键研究点。本章详细分析了金字塔结构（如金字塔场景解析网络PSPNet）的设计哲学，即通过不同尺度的特征聚合来提升上下文理解能力。我们深入探讨了特征金字塔网络（FPN）的构建原理，并分析了如何通过自顶向下路径和横向连接有效地融合深层语义信息与浅层高分辨率细节。此外，本章还比较了空洞卷积（Dilated Convolution）在扩大感受野的同时保持分辨率的机制，及其在语义分割中的重要性。第七章：实时系统中的尺度空间优化在实际应用中，计算效率至关重要。本章专注于如何对尺度空间计算和特征提取过程进行优化，以满足实时系统的要求。详细介绍了积分图（Integral Image）在快速计算高斯模糊和各种滤波核上的应用，显著提升了计算速度。同时，探讨了在硬件加速平台（如GPU）上并行化尺度空间构建和关键点匹配的策略。最后，本章还讨论了动态尺度选择的策略，即根据输入场景的复杂度实时调整需要计算的尺度层数，以节省不必要的计算资源。第八章：医学图像中的尺度与对比度增强医学图像，如CT、MRI，往往存在低信噪比和对比度不均的问题。本章将前述理论应用于生物医学领域。重点讨论了基于小波去噪的增强技术，如何选择最优的小波基和分解级数来抑制随机噪声，同时保留关键的病灶结构。此外，我们还研究了在不同组织密度下应用多尺度锐化滤波器（如拉普拉斯或墨西哥帽算子）的参数调整，以期在不引入过度伪影的情况下突出微小结构。全书内容严谨，理论推导详尽，并通过大量的工程实例和代码片段（基于Python和C++实现的关键算法示例）来辅助读者理解和应用这些复杂的理论工具。目标是使读者不仅掌握多尺度分析的“是什么”，更能深刻理解其“为什么”和“如何做”。