Number Theory in Progress pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Walter de Gruyter

作者:Poland) International Conference on Number Theory (1997 Zakopane

出品人:

页数:1185

译者:

出版时间:1999-02

价格:USD 267.30

装帧:Hardcover

isbn号码:9783110157154

丛书系列:

图书标签:

• 数论
• 初等数论
• 高等数论
• 数学分析
• 代数数论
• 算术
• 数学
• 数学教材
• 研究生教材
• 数论进展

好的，这是一本图书的详细简介，其内容不包含《Number Theory in Progress》： --- 深入解析拓扑学核心概念：从基础到前沿应用 图书名称： 拓扑空间与连续性：现代几何的基石 作者： 艾莉森·里德 (Allison Reid) 出版社： 环宇科学出版社 页数： 约 850 页 装帧： 精装 出版日期： 2024 年秋季 简介 《拓扑空间与连续性：现代几何的基石》是一部旨在为数学专业学生、研究生以及致力于几何学和分析学领域研究的学者提供的权威性、全面性的拓扑学教材。本书不仅系统地梳理了点集拓扑学的经典理论框架，更深入探讨了代数拓扑学的关键结构，并辅以大量的现代应用实例，力求在严谨性与直观性之间找到完美的平衡。 拓扑学，作为研究空间在连续形变下保持不变性质的数学分支，是现代数学的基石之一。它为分析学、几何学、微分方程、乃至理论物理学提供了不可或缺的语言和工具。本书的撰写目标是，让读者能够不仅仅停留在形式化的定义和定理的记忆上，而是真正理解拓扑结构背后的几何直觉和深刻内涵。 第一部分：点集拓扑学的坚实基础 本书的前半部分完全致力于建立扎实、完备的点集拓扑学基础。我们相信，对 $varepsilon-delta$ 论证的深刻理解是掌握拓扑学概念的前提。 第 1 章：预备知识与度量空间回顾 本章首先回顾了集合论的基本概念，重点强调了关系、函数、极限和序列的严谨定义。随后，我们详细介绍了度量空间的结构，包括开球、闭集、邻域以及度量拓扑的生成方式。通过大量实例（如 $mathbb{R}^n$ 上的欧几里得拓扑、离散拓扑、平凡拓扑），读者将建立对“距离”概念的直观认识。 第 2 章：拓扑空间的定义与基本结构 本章的核心是拓扑空间的正式引入。我们从开集的公理化定义出发，系统地推导了闭集、闭包、内部、边界和外部的概念。重点讨论了子空间拓扑、商拓扑和积拓扑的构造方法及其性质。特别地，我们用大量的篇幅解析了相对拓扑如何保持某些重要性质（如紧致性）的继承性。 第 3 章：连续性、同胚与空间分类 连续函数在拓扑学中的地位至关重要。本章详细考察了拓扑空间之间的连续映射的特征，并引入了同胚（Homeomorphism）这一核心概念，理解哪些性质在连续形变下是保持不变的。我们在此首次区分了重要的拓扑性质：分离公理。从 $T_1$ 空间到豪斯多夫（Hausdorff, $T_2$）空间，再到正则空间和完全正则空间，读者将学习如何利用这些公理来筛选和区分不同的空间结构。 第 4 章：紧致性——拓扑学的核心概念之一 紧致性是分析学中“有限性”概念在一般拓扑空间中的推广。本章深入探讨了紧致集的定义（开覆盖的有限子覆盖），并证明了 Heine-Borel 定理在 $mathbb{R}^n$ 上的推广。我们详细分析了紧致性在积空间上的行为（Tychonoff 定理的证明，包括其对超积的依赖），以及它与连续函数之间的关系。紧致性在微分方程解的存在性证明中的应用也将被初步提及。 第 5 章：连通性与路径连通性 连通性描述了空间的“整体性”。本章区分了连通性（Connectedness）和路径连通性（Path-Connectedness），并证明了它们在局部紧致空间中的等价性。我们详细分析了路径的性质，包括路径积分的基础概念，并引入了分支点和不动点的分析工具。 第 6 章：完备性与可数紧致性 本章转向更高级的分析工具。完备性（Completeness）是巴拿赫不动点定理等分析工具的基石。我们定义了柯西序列，并展示了完备度量空间的概念。最后，本章介绍了可数紧致性（Sequential Compactness）的概念，并严格证明了在度量空间中，紧致性、序列紧致性以及可数紧致性是等价的。 第二部分：代数拓扑的桥梁与应用 在点集拓扑的基础上，本书的第二部分着重于如何使用代数工具来量化和区分拓扑空间。这是将抽象几何转化为可计算结构的关键一步。 第 7 章：基本群与同伦 基本群（Fundamental Group）是代数拓扑的开端。本章详细定义了同伦（Homotopy）和路径的同伦关系。我们构造了基本群 $pi_1(X, x_0)$，并展示了其如何对空间中的“洞”进行编码。关键内容包括：计算 $mathbb{R}^n$ 和圆周 $S^1$ 的基本群，以及演示如何利用基本群来证明 Brouwer 不动点定理的一个简单版本。 第 8 章：覆盖空间理论 覆盖空间（Covering Spaces）是理解基本群的强大工具。本章详细介绍了覆盖映射的定义、提升性质（Path Lifting Property）和映射提升性质（Map Lifting Property）。我们证明了如何利用覆盖空间来“计算”一个空间的某些拓扑不变量，特别是对于 $S^1$ 的多重覆盖，这是理解复分析中多值函数概念的几何基础。 第 9 章：同调论的引入——奇异同调 本章作为进入同调论的桥梁，侧重于奇异同调群的直观理解。我们首先介绍了单纯形（Simplex）的概念，然后定义了链复形（Chain Complexes）和边界算子。虽然未深入到链同调的全部技术细节，但本章清晰地展示了零维、一维和二维同调群 $H_0(X), H_1(X), H_2(X)$ 如何捕捉空间中的连通分支、环路和空洞。我们展示了如何计算球面 $S^n$ 的同调群。 第 10 章：应用与现代几何的展望 最后，本书将拓扑学工具置于更广阔的数学图景中。我们探讨了微分流形（Manifolds）的基本概念，并简要介绍了微分流形上的切丛和向量丛的概念，这是现代微分几何和广义相对论的语言。此外，本章还展示了拓扑数据分析（TDA）中持久同调（Persistent Homology）的基本思想，说明了拓扑学在处理高维数据结构中的实际效用。 本书特色 1. 几何直觉优先： 每引入一个抽象概念，都配有大量的几何图示和直观解释，帮助读者建立对拓扑变换的感性认识。 2. 严格的证明结构： 所有核心定理均提供清晰、完整的、可复现的证明，满足高阶学习的要求。 3. 丰富的例题与习题： 全书包含超过 400 道精心设计的习题，难度从基础巩固到研究前沿探索不等，旨在锻炼读者的逻辑推理和问题解决能力。 4. 现代连接： 成功地将经典拓扑学与现代数学分支（如微分几何、拓扑数据分析）连接起来，展示了拓扑学作为“现代数学通用语”的地位。 《拓扑空间与连续性》不仅是一本教材，更是一次通往现代几何美学的深度旅程。它将为有志于在纯数学、应用数学或理论物理学中深造的读者打下无可动摇的数学基础。

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