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出版者:

作者:王春艷

出品人:

頁數:133

译者:

出版時間:2009-3

價格:16.50元

裝幀:

isbn號碼:9787115190055

叢書系列:

圖書標籤:

• 計算機基礎
• 大學教材
• 實踐教程
• 計算機應用
• 編程入門
• 信息技術
• 高等教育
• 實驗指導
• 學習輔導
• 計算機科學

好的，這是一本關於《高等代數與解析幾何基礎》的圖書簡介，旨在為學習工程技術、理學及相關交叉學科的學生提供堅實的數學基礎。 --- 圖書簡介：《高等代數與解析幾何基礎》 麵嚮對象： 本書主要麵嚮大學理工科專業（如機械、電子、土木、計算機科學、物理、化學等）的本科一年級學生，以及需要係統復習或深入理解高等代數與解析幾何核心概念的自學者和研究生預備人員。 核心理念： 本教材秉承“基礎紮實、邏輯清晰、應用導嚮”的編寫原則。我們深知高等代數與解析幾何是後續所有高階數學課程（如《概率論與數理統計》、《綫性代數》、《數學物理方法》）乃至專業技術課程（如《工程力學》、《信號與係統》、《計算機圖形學》）的基石。因此，全書力求在嚴謹的數學推理與直觀的幾何理解之間找到完美的平衡點，幫助讀者建立清晰的數學思維框架，而非僅僅停留在公式的機械記憶上。 內容結構與特點： 全書內容分為兩大部分，共十章，循序漸進地構建知識體係： 第一部分：高等代數核心理論 (Chapter 1 - Chapter 5) 本部分聚焦於抽象代數的初步概念及其在綫性係統中的應用，側重於代數結構的理解與運算技巧的掌握。 第一章：數域與多項式 本章首先界定瞭實數域 $mathbb{R}$ 和復數域 $mathbb{C}$ 的基本性質，特彆是復數的幾何意義和代數運算。隨後，深入講解瞭多項式的基本概念，如整除性、根的性質。關鍵在於多項式的因子分解理論，包括重根判彆法和有理根的查找，為後續矩陣理論中特徵值的求解奠定基礎。我們特彆強調瞭多項式在函數逼近和插值中的基本作用。 第二章：綫性方程組與矩陣 這是高等代數應用最廣泛的部分。本章從最基礎的二元、三元綫性方程組入手，逐步推廣到 $n$ 元綫性方程組。核心內容包括高斯消元法的係統性學習，以及矩陣的定義、運算（加法、乘法、轉置）。重點剖析瞭矩陣的秩（Rank）的概念，並詳細闡述瞭剋拉默法則（Cramer's Rule）和逆矩陣的計算方法，讓讀者理解方程組解的存在性與唯一性是如何由係數矩陣的性質決定的。 第三章：嚮量空間初步 嚮量空間是理解綫性代數抽象結構的關鍵。本章引入瞭綫性相關性、綫性無關性、基（Basis）和維數（Dimension）的概念。通過對抽象嚮量空間的討論，讀者將認識到不僅僅是 $mathbb{R}^n$ 中的嚮量，函數空間、多項式空間等都可以被視為嚮量空間。本章通過大量實例講解瞭如何構造一組基，並理解坐標變換的本質。 第四章：綫性映射與子空間 本章將代數運算提升到幾何變換的層麵。綫性映射（或綫性變換）作為連接不同嚮量空間或同一空間內結構變化的橋梁，其核（Kernel）和像（Image）的性質直接決定瞭變換的特性。本章詳細分析瞭矩陣是如何錶示綫性映射的，並闡述瞭相似矩陣的意義——它們代錶瞭在不同基下描述的同一個綫性變換。 第五章：特徵值與特徵嚮量 特徵值問題是微分方程、動力係統和量子力學中的核心工具。本章講解瞭如何通過求解特徵多項式來確定特徵值，並找齣對應的特徵嚮量。重點內容包括對角化（Diagonalization）的理論與方法，即如何通過相似變換將矩陣轉化為對角矩陣，極大地簡化瞭矩陣的乘方運算和復雜函數的計算。此外，我們還引入瞭相似標準型的初步概念。 第二部分：解析幾何與二次型 (Chapter 6 - Chapter 10) 本部分將代數工具應用於幾何空間，主要探討嚮量幾何、空間麯綫與麯麵，並引入二次型的分析。 第六章：空間嚮量代數與直綫、平麵 本章迴歸到三維歐幾裏得空間 $mathbb{R}^3$。詳細講解瞭平麵嚮量與空間嚮量的錶示方法。核心運算包括點積（內積）用於投影和角度計算，以及叉積（外積）用於確定法嚮量和麵積。在此基礎上，係統地推導瞭空間直綫和平麵的各種方程形式（點法式、截距式、參數方程等），並討論瞭綫與麵、麵與麵之間的相對位置關係。 第七章：二次麯綫與二次麯麵 解析幾何的魅力在於用代數方程描述幾何形狀。本章首先復習並深化瞭圓錐麯綫的性質（橢圓、拋物綫、雙麯綫），重點在於標準方程的推導和幾何性質的分析。進入三維空間，本章詳細介紹瞭二次麯麵，如球麵、橢球麵、拋物麵（單葉和雙葉）的分類、標準方程及其圖形特徵。這部分內容對需要進行三維建模和空間分析的專業至關重要。 第八章：坐標變換與二次型 本章是代數與幾何的完美結閤點。通過正交變換（即鏇轉和平移），我們探討如何消除二次麯麵方程中的交叉項。二次型的矩陣錶示是關鍵，它概括瞭所有二次方程項和交叉項。通過正交對角化，可以將二次型化為標準形，從而快速識彆齣其對應的幾何麯麵類型（如橢圓、雙麯綫等）。 第九章：實對稱矩陣的性質 本章專攻實對稱矩陣，它們在物理和工程應用中極其常見（如應力張量、慣量張量）。重點證明並應用瞭譜定理，即任何實對稱矩陣都可以通過正交相似變換對角化。這為理解二次型的簡化提供瞭嚴格的代數保證。 第十章：正交變換與空間剛體運動基礎 作為總結與提升，本章探討瞭正交矩陣的特性，它是描述空間鏇轉和反射變換的代數工具。通過理解正交矩陣，讀者可以建立起對空間剛體運動（如機器人學中的位姿描述）的初步代數認知。本章還簡要介紹瞭二次型在優化問題（如極值點分析）中的應用。 教學特色與配套資源： 1. 例題驅動： 每節課後精選瞭大量典型的例題，涵蓋瞭代數推導和幾何可視化兩方麵，並詳細給齣瞭解題步驟和思路剖析。 2. 幾何直觀： 大量使用三維圖形和截麵圖來解釋抽象的代數概念（如子空間的交集、特徵空間的幾何意義）。 3. 應用探索： 書中穿插瞭少量與工程實踐相關的簡短應用案例，如最小二乘法原理的介紹，以激發學習興趣。 通過對《高等代數與解析幾何基礎》的學習，讀者不僅能熟練掌握求解綫性方程組、分析空間圖形的代數工具，更能培養嚴密的邏輯推理能力和從具體問題中抽象齣數學模型的關鍵能力，為未來深入學習提供堅實的智力儲備。

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