Group Rings, Crossed Products, and Galois Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Donald S. Passman

出品人:

页数:71

译者:

出版时间:1986-7

价格:USD 18.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821807149

丛书系列:

图书标签:

• Group Rings
• Crossed Products
• Galois Theory
• Algebra
• Representation Theory
• Homological Algebra
• Operator Algebras
• Noncommutative Algebra
• Ring Theory
• Mathematical Physics

引言 本书深入探讨了代数结构中三个重要分支的交织与联系：群环、交叉积以及伽罗瓦理论。我们将循序渐进地揭示这些概念的本质，并阐明它们之间精妙而深刻的相互依存关系。本研究不仅旨在梳理理论框架，更着重于展示其在解决代数难题和构建更宏大理论体系中的强大力量。 第一部分：群环的基石 群环是研究群的线性表示以及与群相关代数结构的基础。本部分将从群环的定义入手，深入探讨其基本性质，包括模、理想、商环以及完备性。我们将重点关注群环的表示理论，包括不可约表示、酉表示及其与群结构的联系。此外，还将介绍群环在同调代数中的应用，为后续更复杂的理论奠定基础。 群环的定义与基本性质： 定义：由群 $G$ 和一个域 $K$ 构成的群环 $KG$ 是形式和为 $K$ 中系数的多项式集合，运算规则由群的乘法和域的乘法/加法定义。 模与理想：研究 $KG$ 上的模结构，例如左模、右模和双边模，以及它们在群环中的理想分解。 商环与完备性：探讨商环的构造，以及在不同拓扑下群环的完备性概念。 表示理论： 不可约表示：理解群表示的分解，以及不可约表示作为基本构建块的重要性。 酉表示：讨论在酉空间上的表示，及其与群的紧致性等性质的联系。 特征标理论：引入特征标的概念，展示其在分类群和研究表示时的强大工具作用。 同调代数中的应用： 群同调与上同调：介绍群同调与上同调的定义，以及它们如何衡量群的结构和表示。 投射分解与内射分解：利用群环的模结构，构建投射和内射分解，从而计算同调群。 第二部分：交叉积的构建 交叉积（或称分裂代数）是泛代数中一种重要的构造方法，它允许我们在特定结构上“缠绕”另一个代数结构，从而生成更丰富的代数对象。本部分将从交叉积的定义出发，详细阐述其构造过程、基本性质以及在不同代数背景下的具体体现。我们将重点研究非交换代数中的交叉积，并揭示其与代数扩张的紧密联系。 交叉积的定义与构造： 定义：一个代数 $A$ sobre un anillo $B$ (或一个域 $K$) 的交叉积，通常涉及一个群 $G$ 和一个 $G$ 作用在 $B$ 上的同态。 构造方法：详细介绍代数 $A$ 的构造过程，包括其元素形式、乘法规则等。 性质：探讨交叉积的结合性、单位元等代数性质，以及它与原代数和群的作用的关系。 非交换代数中的交叉积： Hopf 代数与交叉积：介绍 Hopf 代数的基本概念，以及其与交叉积构造的深刻联系，例如交换子代数。 代数扩张的交叉积：研究在非交换代数扩张中，交叉积如何扮演核心角色。 例子：通过具体的例子，如分裂域、扭曲群环等，来直观理解交叉积的构造和应用。 交叉积与代数结构的统一： 将多种代数结构（如群环、张量积代数）视为交叉积的特例，展现其普遍性。 探讨交叉积在分类和构造新的代数结构中的作用。 第三部分：伽罗瓦理论的深邃 伽罗瓦理论是抽象代数的核心内容之一，它深刻地揭示了多项式的根与域扩张之间的内在联系。本部分将从经典的伽罗瓦理论出发，介绍域扩张、伽罗瓦群的定义及其基本性质。我们将重点关注伽罗瓦扩张的刻画，并探讨伽罗瓦理论在解决多项式方程根式可解性问题中的开创性贡献。在此基础上，我们将进一步探讨其在代数数论和代数几何中的推广与应用。 域扩张与伽罗瓦群： 定义：介绍域 $E$ sobre un campo $F$ 的扩张，以及域自同构群，即伽罗瓦群。 不动点子域：理解伽罗瓦群作用下的不动点子域，以及它们与域扩张之间的对应关系。 基本定理：阐述伽罗瓦理论的基本定理，它建立了域扩张和子群之间的双射关系。 伽罗瓦扩张的刻画： 正规扩张与可分扩张：定义伽罗瓦扩张的条件，即扩张是正规且可分的。 有限伽罗瓦扩张：深入研究有限伽罗瓦扩张的性质，以及伽罗瓦群的阶与扩张次数的关系。 无限伽罗瓦扩张：初步探讨无限伽罗瓦扩张的概念和相关的理论。 应用与推广： 多项式根式可解性：展示伽罗瓦理论如何完全解决了多项式方程的根式可解性问题。 代数数论：介绍伽罗瓦理论在代数数域的研究中的作用，例如类域论。 代数几何：探讨伽罗瓦理论在代数簇的研究中的推广，例如德令代数。 第四部分：交织与统一 本部分是本书的精华所在，我们将把前三部分的内容融会贯通，展示群环、交叉积和伽罗瓦理论之间的深刻联系。我们将重点探讨： 交叉积在伽罗瓦理论中的应用： 如何使用交叉积构造伽罗瓦扩张。 黎曼-施瓦兹定理及其与交叉积的关系。 从群环的视角理解伽罗瓦理论。 从伽罗瓦理论视角理解交叉积： 扭曲的伽罗瓦扩张和交叉积。 霍普夫-阿廷-施瓦兹定理的应用。 统一理论框架： 将这些概念置于一个更普遍的代数框架下，例如代数算子理论。 展示这些理论如何共同构建了现代代数结构研究的基石。 结论 本书力求为读者提供一个全面而深入的关于群环、交叉积和伽罗瓦理论的视角。我们相信，通过对这些核心概念的系统性梳理和它们之间内在联系的揭示，读者将能够更好地理解抽象代数的丰富性与力量，并为进一步的深入研究打下坚实的基础。本书的宗旨是激发读者对这些领域的热情，并鼓励他们探索更广阔的代数世界。

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这本书的排版和语言风格，与其说是教科书，不如说更像是一份顶尖研究员的私人笔记，充满了对细节的执着与旁人难以察觉的幽默感。行文流畅中透露出一种毫不费力的优雅，尽管主题本身极为艰深，但作者似乎总能找到一种富有洞察力的方式来引导你穿越那些繁复的定义和定理。我尤其留意到作者在引入新概念时，常常会先从一个更具几何直觉的角度进行铺垫，这极大地帮助我这种非专业背景的读者建立了初步的认知地图。虽然我尚未完全掌握其中所有高级技巧，但光是阅读其论证的精妙之处，就已经是一场视觉和智力上的盛宴。作者似乎有一种魔力，能让原本冰冷抽象的代数概念，在纸面上活泼起来，充满了动态的美感。这种叙事手法的独特性，让我在众多严谨的数学著作中，一眼就记住了它的气质。

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翻开这本书时，我立刻感受到了一种扑面而来的学术厚重感，仿佛捧着的是一份历史文献，而非最新的研究成果。它并非旨在取悦初学者，而是直面那些困扰数学界已久的核心问题，毫不退缩地展示了问题的复杂性。我能从那些密集的符号和冗长的证明中，感受到作者在处理这些课题时所付出的巨大心力与思想的深度。这本书更像是一次对读者心智耐力的考验，每一次成功的跨越，都伴随着对数学世界更清晰的洞察。我特别喜欢作者在讨论一些关键引理时所采用的对比手法，通过展示不同的证明路径及其各自的优劣，使得读者不仅仅是学习“是什么”，更理解了“为什么是这样”。这种批判性的视角，是真正塑造一个独立思考的数学家的关键要素，这本书无疑提供了这样的土壤。

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这部著作初涉读者的心弦，着实是一次智力上的冒险。书中的论述如同一张精密的织锦，将代数结构与拓扑学的某些侧面巧妙地编织在一起，虽然我目前对其核心概念的掌握尚浅，但那些引人入胜的图示和类比，着实让人对抽象的数学美感有了更深一层的体悟。尤其欣赏作者在构建理论框架时所展现出的那种近乎建筑师般的严谨，每一步推导都像是为宏伟大厦添上坚固的一砖一瓦。阅读过程中，我时常被那种纯粹的数学逻辑所吸引，它不像某些科普读物那样试图过度简化，而是坦诚地展示了问题的深度与复杂性。这种不加修饰的专业性，对于渴望真正深入理解数学前沿的读者来说，无疑是一种福音。它要求读者付出相当的专注力，但随之而来的理解的喜悦，却是任何捷径都无法比拟的。我期待未来能够有更多时间沉浸其中，去发掘隐藏在那些符号背后的深层联系。

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这本书散发着一种古典的、几乎是巴洛克式的数学美学。它的论述风格极其内敛和精确，每一个句子似乎都经过了反复的锤炼，力求在信息密度和可读性之间找到一个微妙的平衡点。我注意到作者在介绍一些经典结果时，总是能追溯到其历史渊源，这为冰冷的定理增添了一层人文色彩，让我感受到数学发展并非一蹴而就，而是漫长人类智慧积累的结果。虽然我对于某些章节的全部内容尚感陌生，但仅仅是那些对现有理论的批判性回顾和创新性的组织方式，就已值回票价。它不是那种“速成”的读物，它要求你放慢脚步，尊重每一个符号的意义，并与之进行一场漫长而富有成效的对话。这本书就像一位经验老到的导师，引领你进入一个严密而迷人的思想殿堂。

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这本书的结构安排体现了一种清晰而渐进的层次感，这一点非常值得称赞。它并非简单地堆砌知识点，而是精心设计了一条逻辑链条，确保读者能够在掌握基础工具后，才能被引入到更深层的理论结构之中。我发现自己经常需要停下来，反复咀嚼前几章的概念，因为后续的推导几乎完全依赖于对前置知识点的无缝衔接。这种对知识内在依赖性的强调，恰恰是高等数学学习的精髓所在。从我目前的阅读进度来看，它成功地在保持绝对严谨性的同时，避免了陷入纯粹的形式主义泥潭，总能在关键时刻提供一个锚点，让我得以确认自己所处的位置。对于希望系统性地构建一套完整理论体系的读者而言，这本书无疑提供了一个坚实可靠的骨架。

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