高等数学(下)/学考指要 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787561520581

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《微积分基础与应用：面向工程与科学的工具箱》 图书简介 本书旨在为理工科学生、工程技术人员以及对数学基础有深入需求的自学者，提供一套全面、深入且侧重应用的微积分学习体验。本书超越传统教材的纯理论叙述，将微积分的核心概念——极限、导数、积分——置于实际问题解决的框架之下，强调工具性的掌握和思维方法的训练。 第一部分：极限与连续性——构建分析的基石 本部分聚焦于微积分的严谨基础，即极限的概念。我们不仅会介绍 $epsilon-delta$ 语言的严格定义，更会辅以大量直观的几何和物理解释，帮助读者理解“无限接近”的精确含义。 极限的严格定义与性质： 详细阐述单侧极限、双侧极限的判定，以及极限的基本代数运算规则。特别引入了极限在处理无穷大和无穷小时的行为分析。 连续性与不连续点： 深入探讨函数在某点连续的充要条件。分类讨论了可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点，并结合实际函数图像进行辨析。 中值定理的直观理解： 详尽讨论了夹逼定理、中间值定理和介值定理，这些定理是后续微分学和积分学诸多重要结论的逻辑起点。我们通过经济学中的边际变化和物理学中的瞬时速度实例，展示了这些定理的实际价值。 第二部分：微分学——变化率的精确刻画 微分学是理解事物如何随时间或空间变化的强大工具。本部分将导数视为一种瞬时变化率，并系统地展开其在理论和实践中的应用。 导数的定义与计算： 从平均变化率过渡到瞬时变化率，导数的定义是本章核心。我们系统梳理了基本初等函数的求导法则，包括幂、三角、指数和对数函数的求导。 微分法则的拓展： 重点讲解乘法法则、除法法则和链式法则。链式法则的深入解析将为隐函数求导和参数方程求导打下坚实基础。 高阶导数与微分的应用： 探讨二阶导数在描述曲率和凹凸性中的作用。引入微分 $dy$ 作为对 $Delta y$ 的线性近似，并将其应用于误差分析和测量不确定度的估计。 微分中值定理的深度剖析： 详细阐述罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。重点在于理解拉格朗日定理的几何意义——“平均变化率等于瞬时变化率的某点切线斜率”。 导数的应用： 函数图像的分析： 利用一阶和二阶导数确定函数的单调区间、极值点（局部最大值与最小值）和拐点。 最优化问题： 涵盖经典的应用题型，如几何形状的最大化体积或最小化表面积问题，以及资源分配的优化模型。 洛必达法则： 针对 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型不定式，系统介绍洛必达法则的应用条件和操作步骤，并拓展至 $0 cdot infty$, $infty^0$, $1^infty$ 等其他不定式形式的转化。 第三部分：积分学——累积与总量计算 积分学是对微分学的逆运算，它提供了累积效应的计算方法，是求解面积、体积、功、质心等物理量和工程量的重要手段。 定积分的定义与性质： 从黎曼和的构造出发，严格定义定积分。通过实例展示定积分的几何意义（有向面积）。讨论定积分的线性性质和区间可加性。 牛顿-莱布尼茨公式： 阐明微积分基本定理，即定积分与不定积分之间的桥梁。熟练应用此公式是计算定积分的关键。 不定积分的求解技巧： 提供了详尽的积分公式表和系统化的求解方法： 换元积分法（变量代换）： 详细区分直接换元法和三角换元法，重点讲解如何根据被积函数结构选择合适的替换。 分部积分法： 深入解析分部积分公式 $int u , dv = uv - int v , du$ 的应用，包括“ILATE”原则指导下的 $u$ 和 $dv$ 的选取，并处理循环积分问题。 有理函数积分： 详细介绍如何利用待定系数法进行部分分式分解，这是求解复杂有理函数积分的必备技能。 三角函数的积分： 针对 $sin^m x cos^n x$ 和 $ an^m x sec^n x$ 等形式，提供系统化的降幂和替换策略。 定积分的应用拓展： 几何应用： 计算平面区域的面积、旋转体的体积（圆盘法、壳层法）、曲线的弧长。 物理应用： 计算变力所做的功、液体静压力、质心和转动惯量。 第四部分：超越一元：超越函数与超越方法 本部分将微积分的工具箱扩展到更广阔的领域，为深入学习多元微积分和微分方程做准备。 超越函数求导与积分： 重点讲解反三角函数（如 $arcsin x, arctan x$）的导数，以及指数函数和对数函数的积分技巧，包括利用分部积分法处理 $ln x$ 等。 无穷级数初步： 虽然本书的重点是基础的微积分，但我们引入了级数的基本概念，为理解收敛性、泰勒级数打下基础。探讨了幂级数在函数逼近中的潜力。 本书的特色与优势： 1. 强调直观理解： 每一个抽象概念都配有丰富的几何模型、物理过程或工程案例，确保读者不仅“知道如何算”，更“知道为何如此”。 2. 注重计算技能训练： 大量精心设计的练习题，覆盖从基础公式应用到复杂综合题型的各个层次，有助于建立强大的计算肌肉。 3. 清晰的逻辑框架： 遵循“定义—性质—定理—应用”的经典结构，使知识点层层递进，脉络清晰。 本书是为那些期望将微积分真正内化为解决问题的能力，而非仅仅通过考试的读者量身定制的。它将是您进入工程、物理、经济学乃至数据科学等领域深造的坚实阶梯。

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从一个资深“题海战术”的实践者角度来看，这本书最宝贵的地方在于它提供的“知识点串联”能力。很多时候，我们学高数就像是在学一个个孤立的知识点，微积分、级数、微分方程，各自为政。但这本书的厉害之处在于，它通过巧妙的章节过渡和回归性的练习，不断提醒你这些概念是如何相互关联、相互依赖的。比如，它会在讲解微分方程时，自然地回溯到之前学习的泰勒级数展开的知识点，告诉你两者之间的内在联系，这种举一反三的能力，是单纯刷题刷不出来的。它培养的不是解题机器，而是具备系统思维的数学学习者。对于那些希望真正吃透这门学科，而不是仅仅应付考试的人来说，这本书提供了一个坚实的、全局性的知识框架，让你能够站在更高的维度去审视和理解那些复杂的数学定理和计算过程，这种深度和广度是无可替代的。

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这本书的装帧质量给我留下了非常深刻的印象，那种纸张的厚度和触感，就知道是下了成本的，印刷的油墨颜色也十分正宗，即便是那些密密麻麻的数学符号，看起来也清清楚楚，绝不会出现模糊不清的情况，这对于需要长时间盯着书本阅读的我们来说，极大地减轻了视觉疲劳。更值得称赞的是，它在细节处理上做得非常到位。比如，一些关键的公式和定理，都会用加粗或者不同的字体样式进行强调，这使得我们在翻阅和查找重点时，可以迅速定位，省去了反复翻找的时间。我特别喜欢其中穿插的一些“历史小注”，虽然不是核心的数学内容，但它简要介绍了某个重要数学家发现某个定理的背景和过程，这让原本枯燥的公式学习变得生动有趣起来，感觉自己不仅仅是在解题，更是在与数学史对话。这种人文关怀的融入，让一本硬核的理工科教材，多了一份温度。

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这本书的封面设计得十分简洁大气，那种沉稳的蓝色调一下子就让人感觉这不是一本可以轻松对待的学科书籍。我记得我拿到手的时候，首先关注的就是它的目录结构，不得不说，编排得相当清晰。从基础概念的引入，到深入的定理推导，再到最终的应用实例，逻辑链条环环相扣，几乎没有跳跃感。特别是对于一些比较抽象的微积分概念，作者似乎很用心去寻找生活中的类比来帮助我们理解，比如用流水速度的变化来解释导数的瞬时变化率，那种感觉就像是身边多了一位耐心又博学的老师在为你拨开云雾。当然，书中的例题难度设置也很有层次性，基础巩固型的题目让你能扎实掌握公式，而后面那些挑战性的综合题，则真正考验了你对知识融会贯通的能力。对于期末考试前的复习来说，这本书简直是神器，它的章节总结部分，往往能用最精炼的语言概括出本章的知识脉络，帮助我们在短时间内迅速回顾重点和难点，这对于我们这种时间紧张的学生来说，简直是救命稻草。

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我第一次接触这类偏向“指要”性质的辅导材料时，总是担心它会过于侧重应试技巧而牺牲了对原理的深度剖析。然而，这本学习指南完全打消了我的顾虑。它在保持了数学严谨性的前提下，巧妙地将理论知识与解题策略进行了无缝对接。比如说，在讲到定积分的应用时，它不仅仅罗列了计算公式，还详细分析了不同应用场景下，我们应该选择哪种积分技巧，并且给出了每种技巧的适用范围和潜在的陷阱。这对我帮助太大了，因为在考试中，最大的失分点往往不是不会计算，而是对题目类型判断失误。这本书的“套路解析”部分做得尤为出色，它仿佛能读懂出题人的心思，提前预判了我们可能在哪里卡壳，并提前给出预防性的建议。读完一遍之后，我明显感觉到自己做题的效率提高了，面对陌生题型时，心里不再慌乱，因为我已经积累了一套应对的“工具箱”。

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这本书的排版设计，坦率地说，是我近年来看到的理工科教材中最舒服的之一。它没有像某些传统教材那样，将大量文字堆砌在一起，而是采用了大量的留白和模块化的布局。每解决一个知识点，都会有一个清晰的段落分隔，使得学习的节奏感非常好，不会让人产生压迫感。特别是公式的展示，它们都被单独居中排列，配上必要的文字解释，视觉上非常干净利落。我注意到，作者在解释一些函数图像的绘制过程时，甚至使用了分步解析的方式，图文并茂，让你能够一步步跟着构建出完整的图像认知，这对于需要空间想象力的部分，简直是福音。总而言之，这本书在设计美学上达到了一个很高的水准，它证明了即便是最枯燥的数学学习材料，也可以通过优秀的排版设计来提升读者的学习体验和专注度，让人愿意长时间捧读。

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