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isbn号码:9787810439220

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《概率论与数理统计》 本书旨在为读者构建一个扎实的概率论与数理统计理论基础，并培养应用这些理论解决实际问题的能力。全书内容丰富，结构清晰，适合数学、统计学、计算机科学、工程学、经济学等相关专业本科生、研究生以及对数据分析和决策建模感兴趣的从业人员阅读。 第一部分 概率论基础 本部分将从最基本的概念出发，循序渐进地引领读者进入概率的世界。 随机事件与概率： 我们将深入探讨随机事件的定义、分类（如互斥事件、对立事件、独立事件）及其运算。在此基础上，详细介绍概率的公理化定义，以及各种概率计算的基本方法，包括古典概率、几何概率和统计概率。我们将通过大量实例，如抛掷硬币、掷骰子、抽样调查等，来阐释概率的概念及其在实际中的应用。 随机变量及其分布： 引入随机变量的概念，区分离散型随机变量和连续型随机变量。对于离散型随机变量，我们将重点讲解其概率质量函数（PMF）、累积分布函数（CDF），并介绍一系列重要的离散分布，如二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布等，分析它们的特性和适用场景。对于连续型随机变量，我们将阐述其概率密度函数（PDF）、累积分布函数（CDF），并深入研究均匀分布、指数分布、正态分布、伽马分布、贝塔分布等关键连续分布，强调正态分布在统计推断中的核心地位。 多维随机变量： 扩展到多维随机变量的范畴，包括联合分布、边缘分布和条件分布。我们将详细介绍离散型和连续型多维随机变量的联合概率分布及其性质。重点讲解协方差和相关系数的概念，用于衡量两个随机变量之间的线性关系强度。同时，还会探讨多维随机变量的函数及其分布的求解方法。 期望与方差： 深入分析随机变量的数学期望和方差，阐释期望作为平均值的意义，以及方差作为离散程度度量的价值。我们将介绍期望和方差的计算公式，以及它们在不同分布下的具体表现。此外，还将讨论期望和方差的线性性质，以及在处理多个随机变量时的运算法则。 大数定律与中心极限定理： 这是概率论的基石，也是连接理论与实践的桥梁。我们将详细介绍大数定律（弱大数定律和强大数定律），阐明当样本量增大时，样本均值趋近于期望值的趋势。篇幅的重点将放在中心极限定理，它揭示了大量独立同分布的随机变量之和（或均值）在特定条件下趋近于正态分布的普适性，这是统计推断和参数估计的理论依据。 第二部分 数理统计基础 本部分将聚焦于如何从样本数据中提取信息，并对总体做出推断。 统计量与抽样分布： 定义统计量的概念，并介绍常见的统计量，如样本均值、样本方差、样本分位数等。重点讲解抽样分布，即统计量在不同样本下的分布规律。我们将详细分析样本均值和样本方差的抽样分布，包括它们与正态分布、卡方分布、t分布和F分布之间的关系，这些分布是后续统计推断的基础。 参数估计： 介绍参数估计的两种主要方法：点估计和区间估计。 点估计： 讲解矩估计法和最大似然估计法（MLE），分析它们的原理、优缺点及估计量的性质（如无偏性、有效性、一致性）。通过具体例子展示如何应用这些方法估计总体参数。 区间估计： 阐述置信区间的概念，解释其含义和置信水平的意义。详细推导和讲解针对总体均值、总体方差以及两个总体均值、两个总体方差的置信区间的构建方法，并讨论如何根据实际问题选择合适的置信区间。 假设检验： 深入介绍假设检验的基本思想和步骤，包括原假设（H0）和备择假设（H1）的设定，检验统计量的选取，拒绝域的确定，以及P值的计算与解释。我们将详细讲解针对单个总体均值、单个总体方差、两个总体均值差、两个总体方差比等常见假设的检验方法（如Z检验、t检验、卡方检验、F检验），并分析第一类错误（α）和第二类错误（β）的概念及其影响。 方差分析（ANOVA）： 介绍方差分析的基本原理，用于比较两个或多个样本的均值是否存在显著差异。详细讲解单因素方差分析的原理、计算步骤和F检验的应用，并初步涉及双因素方差分析的概念。 回归分析： 引入回归分析的概念，旨在研究变量之间的函数关系。 简单线性回归： 详细讲解建立简单线性回归模型，包括最小二乘法的原理、回归系数的估计、模型拟合优度（如决定系数R²）的评价，以及回归系数的假设检验。 多元线性回归： 扩展到多元线性回归，讲解如何建立包含多个自变量的回归模型，以及如何解释回归系数和进行模型诊断。 非参数统计简介（可选）： 对于某些不满足参数统计模型假设的数据，我们将简要介绍非参数统计的基本思想和常用方法，如符号检验、秩和检验等。 全书特色： 理论与实践相结合： 每一章都配有大量的例题和习题，既有理论推导的练习，也有面向实际应用的数据分析问题。 清晰的逻辑结构： 内容循序渐进，从基础概念到复杂理论，层层递进，便于读者理解和掌握。 丰富的应用场景： 广泛联系各个领域的实际应用，如金融风险评估、医学研究、工程质量控制、市场调研等，帮助读者体会概率论与数理统计的强大力量。 数学严谨性： 在保证易读性的同时，注重数学定义的准确性和推导的严谨性。 通过学习本书，读者将能够深刻理解随机现象的本质，掌握科学分析和处理数据的有力工具，从而在各自的研究和工作中做出更明智的决策。

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如果让我用一句话来概括这本书的精髓，那我会说，它是一种对“变化之速率与累积之本质”的终极探寻。它没有丝毫的“水份”，每一个定理的引入都带着不可或缺的理由，每一个例子都服务于加深对核心概念的理解，而不是单纯的数值练习。例如，在讲解拉格朗日乘数法求解带约束的极值问题时，作者将问题转化为求解一个包含冗余条件的线性方程组，并用几何上“切线平行”的直观感受来解释为什么拉格朗日乘数法能奏效，这种结合几何直观与线性代数工具的分析方式，让原本显得有些神秘的优化问题变得透明化了。读完这本书，我感觉自己对“极限”这个概念的理解得到了重塑，它不再只是一个$epsilon-delta$的语言游戏，而是成了描述自然界和抽象空间中连续运动和逼近行为的强大框架。这绝对是一本值得反复研读的经典之作。

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这本书的阅读体验，用“挑战”来形容可能更为贴切。它的难度曲线不是平缓上升，而是呈现出几次陡峭的攀升，尤其是在处理偏微分方程的初步介绍部分。作者似乎默认读者已经对一元微积分有着非常坚固的认知，并希望一步到位地展示多元函数微积分的完备体系。梯度、散度、旋度的定义被放在一个统一的微分形式的框架下去考察，这种高屋建瓴的视角虽然逻辑严密，但对于那些刚从单变量微积分挣扎出来的读者而言，无疑是一个巨大的认知负荷。我个人花了相当长的时间去消化那些关于微分流形和外微分的早期铺垫，虽然书本中没有深入到拓扑学的层面，但其内在的代数结构思维已经显露无遗。它更像是一本写给未来数学家或理论物理学家的入门导论，而不是一本给工程师快速查阅公式的工具书。它的分量很重，不仅是物理意义上的，更是思想上的，需要读者投入大量精力去“驯服”它。

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这本《多元微积分与无穷级数》的教材，初翻时给人的感觉是扑面而来的严谨与深度，它似乎并不打算迎合初学者那种“快速上手”的心理。书中的定义和定理推导过程非常详尽，几乎没有跳跃性的步骤，对于每一个概念的引入，作者都力求从最基础的几何直觉或代数结构出发，层层递进，构建起坚实的理论基础。尤其是在提及多重积分的直角坐标、柱坐标、球坐标变换那几章，作者花费了大量篇幅去解释雅可比行列式在体积元素缩放中所扮演的角色，配图虽然不算特别精美，但逻辑指向性极强，能够帮助读者真正理解“为什么”要用这种方式进行积分变换，而不是仅仅记住公式。对于那些真正想把微积分掌握得炉火纯青，不满足于表面计算技巧的理工科学生来说，这本书无疑是一份扎实的“内功心法”。我特别欣赏它在引入向量场、线积分和曲面积分时，对格林公式、斯托克斯公式和高斯散度定理的阐述方式，它不仅展示了公式本身，还巧妙地联系了物理学中的保守场、环流等概念，使得抽象的数学工具瞬间有了鲜活的物理意义，极大地激发了继续钻研下去的兴趣。

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说实话，当我翻开这本书的无穷级数部分时，我有点被那种近乎哲学的讨论方式所震撼。它不像我以前见过的那些只专注于比值判别法、根值判别法的“速成手册”，这本书似乎更热衷于探讨级数收敛性的本质。作者对傅里叶级数和泰勒级数的展开，处理得极其细腻，特别是对函数的“光滑性”与级数收敛速度之间的关系，进行了深入浅出的探讨。我记得有一处专门讨论了狄利克雷核在逼近不连续函数时的吉布斯现象，文字描述配上几组不同截断项数的收敛曲线图，生动地展示了理论的局限性与现实的妥协。这种对细节的执着，使得这本书的价值远超一本普通的习题解析集。它教会我的不仅仅是如何判断一个幂级数何时收敛，更重要的是，如何理解函数空间中的“逼近”这一深刻概念。对于将来想从事数值分析或者信号处理方向的研究生来说，这本书绝对是绕不过去的坎，它提供的理论深度足以支撑后续数年的专业学习。

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从装帧和排版来看，这本书的风格是那种非常传统的学术典籍范儿——字体小巧，页边距适中，几乎没有多余的色彩点缀，完全依赖于纯粹的数学符号和逻辑线条来构建世界。这使得阅读过程需要高度的集中力，任何一次走神都可能导致错过一个关键的逻辑连接。不过，这种朴素也带来了一个好处：它的公式推导非常清晰，符号的指代一目了然，不像有些现代教材为了追求视觉冲击力而将公式分割得支离破碎。我特别赞赏作者在每一章末尾设置的“历史与展望”小节，那里简要回顾了该理论发展的历史背景，比如黎曼如何完善测度论对积分概念的拓展，或者泰勒级数背后的概率论渊源，这无形中为枯燥的计算过程增添了一丝人文色彩，提醒我们这些数学工具并非空中楼阁，而是人类智慧的结晶。这无疑提升了教材的整体厚度和收藏价值。

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