高中数学第1册上(知识与能力训练)必修?(04秋) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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现代大学微积分导论：理论与应用 本书特色 本教材旨在为理工科、经济学及相关专业学生提供扎实、全面的微积分学基础。全书结构清晰，内容涵盖微积分学的核心概念、基本定理及其在自然科学、工程技术和社会科学中的广泛应用。我们特别强调概念的深度理解、逻辑推理能力的培养以及解决实际问题的能力。 第一部分：函数与极限 本部分是微积分的基石，为后续章节的深入学习奠定坚实的基础。 第一章：函数基础回顾与深化 本章首先复习高中阶段所学的函数基础知识，包括函数的概念、定义域、值域、函数的表示法（解析法、表格法、图形法）。在此基础上，深入探讨函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性。重点引入反函数的概念、求法及其性质，并详细讲解复合函数的运算与性质，这是理解微积分中链式法则的前提。 此外，我们引入了初等函数的详细分类，包括： 1. 幂函数：$y = x^alpha$ 的图像、性质及其在幂律模型中的应用。 2. 指数函数：$y = a^x$ ($a>0, a eq 1$) 的性质，特别是自然底数 $e$ 的引入及其重要性。自然指数函数 $e^x$ 的图像与应用。 3. 对数函数：以 $e$ 为底的自然对数 $ln x$ 的定义、性质及其与指数函数的互逆关系。换底公式及其在解方程中的应用。 4. 三角函数与反三角函数：对正弦、余弦等三角函数进行周期性、奇偶性的严格论述，并详细介绍 $arcsin x, arccos x, arctan x$ 等反三角函数的定义域、值域和图像，强调其在求解三角方程中的作用。 第二章：极限的概念与运算 极限是微积分的灵魂。本章从直观感受出发，逐步过渡到严格的数学定义。 1. 数列的极限：引入极限的直观概念，并给出 $epsilon-N$ 语言的严格定义。讲解极限存在的充要条件——单调有界定理。重点分析无穷数列的极限，如 $lim_{n oinfty} frac{P(n)}{Q(n)}$ 类型的计算。 2. 函数的极限：定义函数在某点处的极限和在无穷远处的极限。重点分析左右极限，并基于极限的精确定义证明函数极限的存在性。 3. 无穷小与无穷大：比较无穷小和无穷大，掌握无穷小阶的比较（高阶、低阶、同阶）。引入等价无穷小替换这一重要的计算工具，并明确其使用的条件和限制。 4. 极限的运算法则：详细阐述极限的四则运算法则，并讨论在运算过程中可能出现的不定式（$frac{0}{0}, frac{infty}{infty}, 0cdotinfty, infty-infty$）的洛必达法则（本章仅作引述，详述在导数部分）。 5. 连续性：基于极限定义函数在一点的连续性，推广到区间上的连续性。讨论初等函数的连续性。引入闭区间上连续函数的性质：有界性定理和最值定理；介值定理及其在求解方程根中的应用。 第二部分：导数与微分 本部分将极限的思想应用于变化率的研究，导数是描述瞬时变化速度的核心工具。 第三章：导数的概念与计算 1. 瞬时变化率：从平均变化率到瞬时变化率的过渡，引入导数的几何意义（切线的斜率）和物理意义（瞬时速度）。 2. 导数的定义：使用极限的语言严格定义导数。区分函数在左侧和右侧的导数。 3. 基本求导法则：系统推导和证明常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数公式。 4. 导数的四则运算法则：证明和应用和、差、积、商的求导法则。 5. 复合函数的求导法则（链式法则）：详细讲解链式法则的原理和多层复合函数的求导。 6. 隐函数与参数方程求导：介绍隐函数求导的方法，以及参数方程的导数计算 $frac{dy}{dx} = frac{dy/dt}{dx/dt}$。 7. 高阶导数：定义二阶及更高阶导数，并探讨其在物理学（加速度）和几何学（曲率）中的初步应用。 第四章：微分的概念与应用 1. 微分的定义：微分 $dy$ 与 $Delta y$ 的区别与联系。解释微分在近似计算中的作用。 2. 微分法则：讨论微分的线性性质。 3. 导数与微分的关系：强调 $mathrm{d}y = f'(x)mathrm{d}x$ 的重要性。 第五章：中值定理与导数应用 本章将导数的工具性发挥到极致，是解析几何和函数分析的核心。 1. 罗尔定理（Rolle's Theorem）：陈述和证明，并分析其几何意义。 2. 拉格朗日中值定理（Mean Value Theorem）：详细阐述其内容和证明，并理解其作为罗尔定理推广的意义。 3. 柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）：介绍其形式。 4. 洛必达法则（L'Hôpital's Rule）：基于中值定理推导出洛必达法则，系统解决 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型不定式，并扩展到其他不定式（通过代数变形）。 5. 函数的性态分析： 单调性：利用一阶导数判断函数的增减区间。 极值：利用一阶导数判别法确定函数的极大值和极小值。 凹凸性：利用二阶导数判断函数的凹凸性，并确定拐点。 渐近线：求解水平、垂直和斜渐近线。 6. 函数图像的描绘：综合利用一、二阶导数信息，准确、规范地描绘复杂函数的图形。 7. 最值问题：应用导数工具解决实际应用中的最大值和最小值问题（如经济学中的利润最大化、工程中的资源优化配置）。 第三部分：积分学初步 本部分将视角从“变化率”转向“累积量”，引入定积分和不定积分。 第六章：不定积分 1. 原函数与不定积分：定义原函数，并给出不定积分的性质。 2. 基本积分公式与积分表：总结和记忆基本初等函数的原函数形式。 3. 不定积分的常用方法： 换元积分法（Substitution Rule）：讲解第一类换元法（$u=g(x)$）和第二类换元法（三角代换、指数代换等）的适用条件。 分部积分法（Integration by Parts）：系统介绍 $int u mathrm{d}v$ 的选择原则（LIATE 原则），并进行多次应用。 4. 有理函数积分：重点讲解部分分式分解法，系统处理分母为一次因式和二次不可约因式的有理函数积分。 第七章：定积分与微积分基本定理 1. 定积分的引入：通过几何问题（面积、曲线下面积）和物理问题（功、路程），引入黎曼和的概念。 2. 定积分的严格定义：定义黎曼和，并给出定积分存在的条件。 3. 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）：阐述连接导数与积分的桥梁——微积分基本定理的两个部分，并展示如何利用它快速计算定积分。 4. 定积分的性质：对称性、保序性、中值定理等。 5. 定积分的计算：利用换元法和分部积分法计算定积分，注意换元法中上下限的相应变化。 第八章：定积分的应用 本章展示定积分在计算几何量方面的强大能力。 1. 几何应用： 面积计算：计算平面图形的面积（包括两条曲线之间的面积）。 体积计算：旋转体的体积（圆盘法、圆环法）。 曲线的弧长：直角坐标系下弧长的计算公式。 2. 物理应用：变力做功的计算，质心和形心初步概念。 附录 常用数学常数表 三角函数与反三角函数值表 微积分重要公式回顾 本书的编写注重逻辑的严密性和应用的前沿性，通过大量的例题和精选的习题，确保学生能够熟练掌握微积分的计算技巧，并能将其作为分析工具应用于后续的高等数学学习中。

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总的来说，这本书给我的感觉是“严谨”且“实用主义”。它没有花哨的宣传口号，也没有太多花哨的排版设计，所有的重点都放在了如何帮助学生真正掌握高中数学的核心能力上。它更像是一本经过资深数学教师精心打磨的“工具书”，而不是一本简单的练习册。通过使用它，我不仅巩固了课本知识，更重要的是，我开始建立起一种系统性的数学思维框架。它教会我如何分解复杂问题、如何利用已知条件构建数学模型，以及如何在压力下保持清晰的逻辑链条。这种思维上的提升，远比我多做几道题带来的分数提升要宝贵得多，它为我未来更深入的理工科学习打下了坚不可摧的思维基础，让我对即将到来的更具挑战性的高二、高三数学学习充满了信心和期待。

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说实话，这套训练册最让我印象深刻的，是它对“能力训练”这四个字的贯彻到底。它不是那种做完一套题就扔掉的“一次性用品”。它的单元测试和章节小测验，难度设置很有层次感，从最基础的送分题到需要拐好几个弯才能解出来的压轴题，分布得井然有序。我记得有一次复习数列时，我感觉自己对等差和等比的性质掌握得差不多了，结果做到最后几道综合大题时，直接卡住了。但翻回去看书后的解析部分，简直是茅塞顿开。它的解题思路不是只给出一个“标准答案”，而是提供了至少两种不同的解题路径，并且详细分析了每种路径的优劣和适用场景。比如，对于同一个三角函数求最值的问题，它会对比用代数换元法和几何意义法哪个更快捷。这种深度的剖析，极大地拓宽了我解决问题的视野，让我明白，数学的魅力并不在于记住公式，而在于灵活运用和思维的转换。这种“授人以渔”的教学思路，远比单纯的题海战术有效得多，也更让人有成就感。

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这本书的封面设计得相当朴实，那种略带磨砂质感的纸张，让人一上手就有种“这是正经学习资料”的感觉，而不是那种花里胡哨的教辅。我记得我当时拿到它的时候，正是高一开学季，面对着一堆新教材和新征程，这本绿白相间的封面对我来说，就像是一个沉默但坚定的伙伴。翻开内页，字体排版非常清晰，行距适中，这对于长时间盯着数学题看的眼睛来说，简直是种恩赐。尤其要提的是，它的例题选取非常经典，不是那种为了炫技而设置的偏题怪题，而是紧紧围绕着高中数学核心知识点展开的，比如函数概念、集合运算这些基础模块，讲解得循序渐进，每一步的逻辑推导都交代得清清楚楚，绝不含糊。很多时候，课本上的定义晦涩难懂，但这本书里会用更贴近我们高中生思维的方式去解释，仿佛旁边站着一位耐心又高明的老师在耳边细语。这种注重基础、强调理解透彻的编写风格，真的为我后续学习微积分和解析几何打下了无比扎实的地基，让我对“数学不再是天书”这个概念深信不疑。

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这本书的另一个突出特点是它对细节的把控达到了近乎偏执的程度。对于那些需要反复记忆和理解的公式和定理，它没有简单地堆砌在知识点总结里，而是巧妙地穿插在习题解析的提示框中。比如，讲到向量的坐标运算时，它会用一个小小的“知识回顾”模块，用图形化的方式将向量加减法的几何意义和坐标运算的代数形式联系起来。这种跨领域的知识串联，对于我们这种习惯于分科学习的理科生来说，是极其宝贵的。我个人在使用过程中发现，它对于那些容易混淆的概念，比如充分条件和必要条件，或者正态分布与标准正态分布的区别，总会设计一些针对性的“陷阱题”来测试我们是否真正理解了其本质区别，而不是停留在表面的文字记忆上。每次做完这些“小陷阱”题，我都会有一种豁然开朗的感觉，仿佛自己对这门学科的理解又深入了一层。这种细致入微的引导，让学习过程充满了发现的乐趣，而不是枯燥的重复劳动。

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从实际使用效率来看，这本训练册的篇幅控制得相当得体。它没有像某些教辅那样，为了显得“内容丰富”而塞满大量重复或低质量的习题。相反，每一道题似乎都经过了精挑细选，目标明确。我尤其欣赏它在每章末尾设置的“疑难点攻克”板块。这个部分的内容往往是针对本章学生普遍感到困难的地方进行集中突破的，比如解析几何中直线与圆锥曲线相交问题的分类讨论，或者立体几何中异面直线夹角与二面角的求解技巧。这些技巧的总结，往往是课堂上老师可能一笔带过但考试中又常常失分的关键点。更重要的是，它的配套答案详尽程度，足以让我脱离老师的辅导独立学习。我常常在晚上做完题后，对着答案核对，如果遇到不懂的步骤，答案解析能立即填补我的知识盲区，无需等到第二天才能向老师请教，这极大地保证了学习的连贯性，让我的学习节奏始终保持在高效率状态。

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