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isbn号码:9787117586252

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《代数基础与几何原理》 一部系统构建现代数学思维的阶梯之作 内容概述： 《代数基础与几何原理》是一本专为初学者和希望巩固基础的自学者精心编写的数学入门教材。本书摒弃了枯燥的纯理论堆砌，专注于构建坚实的数学思维框架，引导读者逐步掌握从基础算术到核心抽象概念的过渡。全书共分为六个主要模块，逻辑清晰，层层递进，力求让每位读者都能体会到数学的严谨与美感。 第一模块：数字系统的扩展与运算律 本模块着重于数字的本质及其在不同领域中的应用。我们从自然数出发，系统地引入整数、有理数和实数的概念。重点阐述了这四类数集之间的包含关系和特性。 1.1 整数的结构与性质： 深入探讨加法和乘法的封闭性、交换律、结合律以及分配律。通过大量的实例，讲解负数的引入如何完善了数字体系，并精确定义了绝对值和数轴上的距离概念。 1.2 有理数的精确表达： 详细解析分数与小数之间的相互转化，特别是循环小数的数学表示法。通过对分数运算的精细化处理，为后续的方程求解打下基础。 1.3 实数轴的连续性： 本节是理解微积分的先决条件。我们直观地介绍无理数（如 $sqrt{2}$ 和 $pi$）的特性，并探讨实数的“稠密性”和“完备性”——即实数轴上没有任何“空隙”。这不是一个纯粹的分析学章节，而是通过几何上的“点线对应”来辅助理解。 1.4 运算中的等价性与技巧： 专注于代数运算中的常见陷阱，如除以零的限制、平方根的非唯一性（$sqrt{a^2} = |a|$），并教授如何运用简便运算策略来提高计算效率。 第二模块：变量、表达式与多项式代数 本模块标志着读者正式进入代数思维的核心区域，学习如何使用符号来表示未知量和数量关系。 2.1 代数表达式的构建： 解释变量（$x, y, a$ 等）的意义，如何正确地组合常数、变量和运算符号形成表达式。着重强调表达式与方程、不等式之间的区别。 2.2 单项式与多项式的运算： 详尽讲解同类项的合并规则，以及多项式的加减乘法的标准流程。乘法部分会特别细致地演示 FOIL 法则（首、外、两、末），并拓展至多项式间的长除法（多项式除法）。 2.3 重要的乘法公式： 本节是代数运算的“工具箱”。系统推导并强调应用平方和公式 $(a pm b)^2$ 和平方差公式 $(a-b)(a+b)$。随后引入立方和与立方差公式，以及完全立方公式，要求读者能够迅速识别并套用。 2.4 因式分解的艺术： 将乘法逆向操作，学习如何将复杂的多项式拆解为更简单的因子。涵盖提取公因式、分组分解法、利用公式法进行因式分解，以及更高级的三项二次三项式分解（十字相乘法），培养读者对代数结构进行“拆解”的能力。 第三模块：线性方程与不等式的求解 这是代数应用最广泛的部分，它教会我们如何利用数学语言解决实际问题中的未知量。 3.1 一元一次方程的求解： 从最简单的 $ax = b$ 开始，逐步过渡到包含分数系数、括号的复杂形式。强调“等量公理”——对等式两边执行相同操作保持平衡的原则。 3.2 二元一次方程组： 引入两个未知数和两个方程的情况。详细比较和演示代入消元法和加减消元法的适用场景和操作步骤。 3.3 矩阵方法的初步接触（仅限于入门）： 对求解线性方程组提供一个更系统化的视角，介绍系数矩阵和增广矩阵的概念，为后续的线性代数学习做准备，但仅限于三阶及以下的解法演示。 3.4 线性不等式的处理： 重点强调不等式与方程的核心区别——乘除以负数时不等号方向的改变。教授如何解复杂的一元线性不等式，并将解集表示在数轴上。 3.5 实际问题建模： 教授如何阅读实际问题描述（如行程问题、盈亏问题），将其抽象为线性方程或方程组，并验证解的合理性。 第四模块：平面几何的基础公理与定理 本模块从抽象的逻辑推理转向对空间和形状的研究，强调严谨的逻辑证明。 4.1 几何学的起源与基本概念： 介绍欧几里得几何的公理化体系。定义点、线、面、角、射线、线段等基本术语。 4.2 平行的性质与判定： 深入探讨平行线的定义（同位角、内错角、同旁内角的关系）。着重于如何利用这些性质来证明两条直线平行。 4.3 三角形的全等证明： 这是平面几何证明的核心。系统讲解 SSS (边边边)、SAS (边角边)、ASA (角边角) 等全等判定定理。通过大量的几何作图和逻辑推理练习，强化读者的演绎思维。 4.4 重要的中线、高线和角平分线： 探究三角形内部特殊线段的交点（重心、垂心、内心）的性质，理解这些结构如何影响三角形的稳定性与平衡。 第五模块：相似图形与比例 在掌握了绝对相等（全等）的概念后，本模块将视野扩展到形状相同但大小可能不同的图形。 5.1 相似图形的定义与性质： 明确相似的两个关键条件：对应角相等和对应边成比例。讲解比例系数的概念。 5.2 比例线段定理与推论： 重点讲解平行线分线段定理（也被称为“三角形中的三条平行线定理”），这是处理分段比例问题的关键工具。 5.3 锐角三角函数（初步介绍）： 在直角三角形的背景下，引入正弦 (sin)、余弦 (cos) 和正切 (tan) 的定义。展示它们如何将三角形的边长关系转化为固定比例，为后续的三角学奠定直观基础。 5.4 相似三角形的判定： 学习 AA (角角相似) 等判定方法，并将其应用于求解无法直接测量的距离或高度（如测量河流宽度、树木高度）。 第六模块：坐标系的建立与解析几何的萌芽 本模块是代数与几何的交汇点，展示了如何用代数语言描述几何图形。 6.1 笛卡尔坐标系的建立： 详细讲解平面直角坐标系（$xy$ 平面）的构建、象限的划分以及点的坐标表示法。 6.2 两点间的距离公式： 利用勾股定理推导出两点之间距离的计算公式，这是解析几何的基石之一。 6.3 直线的斜率： 定义斜率（rise over run），理解斜率的正负、零值和不存在的几何意义，这代表了直线的倾斜程度。 6.4 直线的方程： 学习如何将几何图形（直线）转化为代数表达式。详细介绍点斜式、斜截式等表示形式，并理解 $Ax + By + C = 0$ 的一般形式。 本书特点： 逻辑链条完整： 确保每一个新知识点都建立在前面已学内容之上，避免知识点的孤立。 注重“为什么”： 对公式的推导过程进行细致的讲解，而非仅仅罗列结论。 大量的自检练习： 每小节后附有适量的练习题，帮助读者即时检验理解程度。 通过系统学习《代数基础与几何原理》，读者将不仅掌握解题技巧，更能培养出严密的逻辑推理能力和抽象思维能力，为进入更深入的数学学习（如函数、微积分）做好无可挑剔的准备。

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这本书给我的第一感觉是它的“韧性”。我通常会觉得数学书要么是那种晦涩难懂、需要反复钻研才能啃下来的“硬骨头”，要么就是浅尝辄止、缺乏深度的“速食读物”。然而，这本“数学(1)”却像是那种可以让你反复咀嚼，每次都能品出新味道的“陈年佳酿”。它的语言风格非常独特，不像传统的教科书那样一本正经，而是带着一种温和的引导，仿佛一位经验丰富的导师，在循循善诱地带你走进数学的世界。它不是简单地告诉你“是什么”，而是告诉你“为什么是这样”。比如，在解释某个基本定理的时候，书中会花大量的篇幅去追溯它的历史渊源，探讨它在不同情境下的应用，甚至是不同数学家对此的理解和争论。这种“溯源”式的讲解，极大地激发了我对数学背后逻辑和发展脉络的兴趣。我不再满足于死记硬背公式，而是开始思考这些公式是如何被创造出来的，它们又是如何一步步演化至今的。书中的案例选择也十分考究，很多例子都来源于实际生活中的科学现象或者工程问题，这让我深刻体会到数学的实用性和力量。

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这本书的叙事方式非常吸引人，它不像很多教材那样干巴巴的罗列概念和公式，而是像在讲述一个精彩的故事。在阅读的过程中，我感觉自己像是在跟着一位睿智的老者，他一步步地揭开数学的神秘面纱，让我看到了隐藏在数字和符号背后的深刻哲学和逻辑之美。书中对数学史的穿插介绍也让我受益匪浅，它让我了解到那些伟大的数学家们是如何思考的，他们在面对难题时是如何克服的，以及数学是如何在人类文明的进程中扮演着越来越重要的角色的。这种将知识与人文历史相结合的叙事方式，极大地拓展了我对数学的理解维度，让我不再仅仅把它看作是一门独立的学科，而是将其置于更广阔的知识体系中去审视。此外，书中对一些数学概念的“思想实验”设计也极具启发性，它鼓励读者积极思考，而不是被动接受，让我开始主动去探索和发现数学的奥秘。

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这本书的封面设计相当吸引人，简洁的标题“数学(1)”配上深邃的蓝色背景，仿佛预示着即将展开一段探索未知数的奇妙旅程。我是在书店偶然翻到它的，当时就被它所散发出的那种严谨而又富有吸引力的气息所打动。书页的纸质触感很好，翻阅起来有种厚重感，细节之处彰显了出版方的用心。我尤其喜欢它在概念引入部分的处理方式，没有直接抛出复杂的公式，而是从生活中的例子入手，比如用简单的物品数量来解释集合的概念，用简单的游戏规则来阐述逻辑关系。这样的设计让初学者感到十分亲切，仿佛学习数学不再是一件枯燥乏味的苦差事，而是一场有趣的思维游戏。书中的插图也很有特色，不同于一般数学书的呆板图示，这里的图形更加生动形象，色彩的运用也恰到好处，能够有效地帮助读者理解抽象的数学概念。例如，在讲解概率时，书中就用了一个色彩斑斓的转盘，直观地展示了不同事件发生的可能性，让人一目了然。整体而言，这本书在装帧设计和初步的引导上，都做得非常出色，让人对接下来将要学习的内容充满了期待。

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我是一个对数学基础非常薄弱的人，很多时候看到复杂的数学符号和公式就会望而却步。拿到这本“数学(1)”的时候，我并没有抱太大希望，想着大概率又是一本让我头疼的书。然而，出乎意料的是，它提供的学习路径异常清晰，而且循序渐进。书中将原本可能令人畏惧的复杂概念，分解成一个个小巧易懂的模块，每个模块都有清晰的目标和明确的学习任务。更让我感到惊喜的是，它在讲解每一个概念时，都会用非常直白的语言进行解释，并且辅以大量的图表和示例。比如，在讲解函数时，它并没有一开始就给出严谨的数学定义，而是从“输入-输出”的模型入手，用一些大家熟悉的日常情景，比如自动售卖机、计算器等来类比，让“函数”这个抽象的概念变得具体可感。书中的练习题设计也十分巧妙，从简单的巩固性练习到稍具挑战性的思考题，能够帮助我逐步建立起自信，并且在练习中巩固所学知识。即使是那些看起来比较难的题目，书中也提供了非常详细的解题思路和步骤，让我能够跟着学习，而不是陷入无助的困境。

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这本书最大的特点在于它的“探索性”。我一直觉得数学学习应该是主动的探索过程，而不是被动地灌输知识。这本“数学(1)”恰恰践行了这一点。它在章节的开头，往往会提出一些引人入胜的问题，这些问题可能来自于现实生活，也可能来自于纯粹的逻辑推理，但它们都能够迅速抓住读者的注意力，激起探究的欲望。在接下来的内容中，书中会引导读者一步步地去思考这些问题，并逐渐引入相关的数学概念和工具来解决它们。这种“问题驱动”的学习模式，让学习过程变得更加生动有趣，也让知识的获得更加深刻和牢固。书中的一些“思考提示”和“拓展阅读”部分，更是极大地鼓励了读者的自主学习能力，它会引导你去查阅相关的资料，去了解更深层次的理论，去思考这些概念在更广泛领域的应用。我感觉这本书不仅仅是在传授知识，更是在培养一种解决问题的思维方式和持续学习的能力。

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