NUMERICAL LINEAR ALGEBRA AND OPTIMZATION pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787030071248

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• 数值线性代数
• 优化
• 算法
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现代优化理论与方法：基础、算法与应用 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代优化理论与计算方法框架。 聚焦于处理高维、非线性、大规模优化问题的关键技术，本书横跨数学基础、数值算法设计与工程实际应用三大领域，构建了一个坚实的理论与实践桥梁。 第一部分：优化问题的数学基础与建模 本部分首先确立了优化研究的基石。我们详细阐述了优化问题的标准形式——目标函数、约束条件（等式与不等式）的定义与分类，包括线性规划（LP）、二次规划（QP）、凸优化（Convex Optimization）和非凸优化。 凸分析（Convex Analysis） 是本部分的核心。我们深入探讨了凸集、凸函数的性质，如保持性、次微分（Subgradients）的定义与计算。对于任何优化研究者而言，理解凸性带来的强大性质至关重要，它保证了局部最优解即为全局最优解。此外，本书还细致地介绍了拉格朗日对偶理论（Lagrange Duality）。从拉格朗日函数、鞍点概念到KKT（Karush-Kuhn-Tucker）条件的推导，这一理论不仅是求解约束优化问题的核心工具，也是理解算法收敛性和可行性的关键。 敏感性分析与鲁棒性： 考虑到现实世界数据和模型参数的不确定性，本书专门辟出章节讨论优化问题的稳定性。我们引入了影子价格（Shadow Prices）的概念，解释了约束变化如何影响最优目标值。进一步地，我们探讨了在参数微小扰动下，解的稳定性分析，为工程决策提供了必要的鲁棒性考量。 第二部分：经典与现代优化算法 本部分是本书的实践核心，详细剖析了求解各类优化问题的数值算法，强调了其收敛性分析和计算效率。 无约束优化算法： 1. 一维搜索方法（Line Search Methods）： 详细讨论了黄金分割法（Golden Section Search）、精确线搜索（如Backtracking Line Search）和 Wolfe 条件的严格要求。这些方法是所有迭代算法的基石。 2. 梯度下降法（Gradient Descent）： 阐述了最速下降法的原理，并深入分析了其在病态问题（Ill-conditioned problems）面前的收敛速度瓶颈。 3. 牛顿法及其变种： 详尽介绍了经典的牛顿法，包括Hessian矩阵的计算和逆运算的挑战。重点在于拟牛顿法（Quasi-Newton Methods），特别是BFGS（Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno）和DFP（Davidon–Fletcher–Powell）算法。这些方法通过构建Hessian矩阵的近似（如使用秩一或秩二更新公式）来避免昂贵的矩阵求逆，极大地提高了实际应用中的性能。 约束优化算法： 1. 可行域方法（Feasible Region Methods）： 主要关注如何构造满足约束条件的迭代点。我们深入研究了内点法（Interior-Point Methods, IPM），这是当前求解大规模线性规划和凸二次规划最有效的技术之一。本书详细推导了对偶内点法的中心路径（Central Path）概念，并阐述了障碍函数（Barrier Function）的构造与求解。 2. 序列二次规划（Sequential Quadratic Programming, SQP）： 针对非线性约束优化问题，SQP 方法通过在当前点附近使用二次近似目标函数和线性近似约束来求解子问题（即求解一个QP问题）。本书分析了SQP法的超线性收敛性质及其在处理复杂非线性系统中的优势。 3. 增广拉格朗日法（Augmented Lagrangian Methods, ALM）与乘子法（Method of Multipliers）： 针对等式约束问题，ALM通过引入惩罚项来构造一个更容易处理的无约束或简单约束优化问题，从而克服纯拉格朗日乘子法对参数选择的敏感性。 大规模优化与分布式计算： 随着数据规模的爆炸式增长，如何利用现代计算架构求解超大规模问题成为关键。本书探讨了处理大数据集的优化策略： 随机优化方法（Stochastic Optimization）： 针对目标函数中包含大量数据项（如机器学习中的损失函数）的情况，详细介绍了随机梯度下降（SGD）及其动量（Momentum）加速版本，以及Adagrad、RMSProp、Adam等自适应学习率方法的理论依据和实践效果。 并行与分布式求解器： 探讨了数据并行和模型并行策略在优化求解器中的实现，包括如何设计通信高效的算法来解决分布式的KKT系统或梯度计算。 第三部分：优化在工程与科学中的应用实例 本部分将理论与算法置于实际场景中，展示优化工具的强大效能。 应用领域覆盖： 1. 控制系统设计： 讨论如何使用模型预测控制（MPC）将复杂的动态系统约束转化为一个在线优化问题，以及如何利用凸优化技术快速求解这些实时优化任务。 2. 信号处理与图像重建： 阐述了稀疏信号恢复（如Basis Pursuit）和图像去噪问题如何被表述为 $L_1$ 范数最小化问题，以及使用近端梯度法（Proximal Gradient Methods）或 ADMM（Alternating Direction Method of Multipliers）来求解这些问题。 3. 机器学习模型训练： 将深度学习模型的参数学习过程，视为一个大规模、非光滑、非凸的优化过程。本书将优化理论直接应用于损失函数的最小化，解释了为什么某些正则化项（如LASSO）会诱导出稀疏解。 第四部分：高级主题与前沿研究 本书的最后部分涉及当前优化研究的前沿领域，为有志于深入研究的读者提供指引。 非光滑优化： 深入探讨了次梯度方法、次微分集合的性质，以及用于处理包含不可微项（如 $L_1$ 范数）问题的算法，如FISTA（Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm）。 随机与非确定性优化： 讨论了在随机输入下寻求最优策略的方法，包括随机规划和随机逼近理论。 优化求解器的实现细节： 探讨了在实际软件库（如IPOPT, MOSEK）中，如何高效地管理稀疏矩阵、进行预处理（Preconditioning）以及处理数值稳定性问题。 通过对这些主题的系统性梳理，本书旨在培养读者不仅能够识别优化问题，更重要的是能够选择、设计并实现最适合特定问题的、高效且鲁棒的数值优化算法。 目标读者： 本书适合于应用数学、计算机科学、工程学、运筹学及经济管理学等领域的高年级本科生、研究生以及从事计算科学和数据驱动决策的专业研究人员和工程师。

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我必须承认，《NUMERICAL LINEAR ALGEBRA AND OPTIMIZATION》这本书的深度与广度，在同类书籍中堪称翘楚。它并非一本浅尝辄止的入门读物，而是面向希望深入理解算法原理、掌握高级技巧的读者的。书中对诸如迭代方法、预条件子技术、Lanczos算法、Arnoldi算法等内容的处理，都展现了作者深厚的学术功底和丰富的实践经验。每一次对算法的介绍，都伴随着对其计算复杂度、稳定性和精度的详尽讨论。作者善于通过精心设计的例子来阐释抽象的概念，使得复杂的理论变得触手可及，但也需要读者具备一定的数学基础和编程经验，才能真正领略其中的精髓。对于那些愿意投入时间和精力去钻研的读者而言，这本书无疑是一笔宝贵的财富，它将为你在科学计算和数据分析领域打下坚实的基础。

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我曾尝试阅读过不少关于线性代数和优化的书籍，但《NUMERICAL LINEAR ALGEBRA AND OPTIMIZATION》给我留下了最深刻的印象。它成功地将抽象的数学概念与实际的计算问题紧密地联系在一起，让我明白了那些看似枯燥的公式背后，蕴含着解决现实世界复杂问题的巨大能量。作者在讲解过程中，不仅仅满足于给出算法的描述，更深入地探讨了算法的由来、发展以及其背后的数学思想。例如，在介绍最优化方法时，书中详细阐述了凸优化理论的基石，并对拉格朗日乘子法、KKT条件等进行了深入浅出的讲解，这对于理解约束优化问题至关重要。读完这本书，我对优化问题的建模、求解以及结果的解释，都有了全新的认识和更深层次的理解。

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这本书的阅读体验，可以用“醍醐灌顶”来形容。它并非那种轻松愉快的读物，而是一部需要你全神贯注、反复咀嚼的学术巨著。作者在处理数值线性代数部分时，对各种分解方法，如LU分解、Cholesky分解、SVD等，进行了详尽的阐述，不仅讲解了算法本身，还深入分析了它们在求解线性方程组、计算矩阵的秩、求解最小二乘问题等场景下的适用性与效率。而当内容过渡到优化理论时，书中对无约束优化、约束优化、凸优化等各个分支的介绍，都显得条理清晰，逻辑严谨。作者并没有回避那些在实际应用中可能遇到的棘手问题，例如算法的收敛性、病态条件数、高维空间的优化难度等，并为这些问题提供了行之有效的解决方案和理论依据。

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当我翻阅《NUMERICAL LINEAR ALGEBRA AND OPTIMIZATION》时，我仿佛进入了一个由算法和模型构成的精密世界。书中对矩阵的特征值和特征向量的计算，以及它们在降维、数据压缩等领域的应用，进行了详细的介绍。特别是对奇异值分解（SVD）的阐述，让我深刻理解了它在图像处理、推荐系统等方面的强大功能。随后，当阅读到优化部分时，我被各种精妙的迭代算法所吸引。从简单的梯度下降到复杂的牛顿法和拟牛顿法，每一种算法的引入都伴随着对收敛速度、稳定性和计算成本的深入分析。书中还提到了许多在实际问题中非常关键的技巧，例如如何处理高维数据、如何选择合适的惩罚项、如何避免局部最优等。

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这本书带给我的冲击，远不止于对数值线性代数理论的掌握。它真正让我体会到，优化理论并非独立于数值计算而存在，反之，它是后者最生动的应用场景之一。从梯度下降的朴实无华，到牛顿法、拟牛顿法的优雅高效，再到更高级的共轭梯度法、最速下降法在大型稀疏线性系统中的辉煌表现，每一个算法的阐述都伴随着清晰的几何解释和严谨的收敛性分析。更重要的是，作者在介绍这些算法时，并未回避其在实际应用中的局限性，例如病态矩阵的处理、局部极值的陷阱，以及如何选择合适的步长因子等。这些在实际科研和工程中至关重要的问题，在这本书中都得到了细致的探讨，并提供了切实可行的解决方案。阅读过程中，我常常陷入沉思，思考如何将这些工具应用于我正在研究的某个特定问题，而书中提供的洞见总是恰到好处地指引了我前进的方向。

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《NUMERICAL LINEAR ALGEBRA AND OPTIMIZATION》这本书，是一次知识的洗礼，更是一场思维的升华。它以一种极其严谨的学术态度，将数值线性代数和优化理论这两个在现代科学计算中不可或缺的领域，巧妙地融合在一起。书中对求解大型稀疏线性系统的各种迭代方法，如共轭梯度法、广义最小残差法（GMRES）等，都进行了深入细致的讲解，并分析了它们的收敛性和适用范围。而在优化理论方面，书中对约束优化问题的处理，包括拉格朗日乘子法、二次规划、以及内点法等，都给予了充分的关注。这对于我理解许多现实世界中的复杂问题，例如资源分配、路径规划等，都提供了强有力的理论支持和方法论指导。

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这本书让我对“数值”二字有了全新的理解。它不仅仅是关于理论的介绍，更是关于如何在计算机上高效、准确地实现这些数学算法的实践指南。《NUMERICAL LINEAR ALGEBRA AND OPTIMIZATION》在数值线性代数的部分，对矩阵的条件数、误差传播、算法的稳定性和精度等问题进行了深入的探讨，并介绍了诸如Gram-Schmidt正交化、Householder变换、Givens旋转等数值稳定的方法。而在优化理论方面，书中对梯度下降法的变种（如Adam, RMSprop等）以及它们在深度学习中的应用前景，都进行了相当细致的介绍，虽然书中可能没有直接点明“深度学习”，但其底层逻辑和方法论是共通的。这种从理论到实践的无缝衔接，对于我这种希望将数学工具应用于实际问题的人来说，无疑是极其宝贵的。

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一本真正能够触及灵魂的学术著作，其书名《NUMERICAL LINEAR ALGEBRA AND OPTIMIZATION》本身就预示着一场跨越计算严谨性与最优解探索的宏大旅程。当我翻开它，仿佛置身于一个由矩阵、向量和迭代算法构筑的严密宇宙，每一个公式都闪烁着数学的智慧之光。这本书不仅仅是知识的堆砌，更是一种思维方式的启迪。它以一种庖丁解牛般的精妙，将线性代数中那些抽象而又至关重要的概念，如特征值分解、奇异值分解、QR分解等，以数值计算为切入点，展现了它们在实际问题中的强大生命力。作者并非仅仅罗列算法，而是深入剖析了这些算法的内在逻辑、收敛性证明，以及它们在浮点运算环境下可能遇到的挑战与应对策略。读来，你会惊叹于作者对细节的极致追求，以及将复杂理论梳理得如此清晰透彻的能力。

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这本书的价值，在于它提供了一个坚实的理论基础，并指明了通往实际应用的清晰路径。《NUMERICAL LINEAR ALGEBRA AND OPTIMIZATION》在数值线性代数部分，对各种矩阵分解算法的数值稳定性和计算效率进行了深入的分析，包括LU分解、QR分解、Cholesky分解等，以及它们在求解线性方程组、计算矩阵的秩和求逆等问题中的应用。而在优化理论部分，书中对凸集、凸函数、以及各种凸优化算法（如梯度下降、牛顿法、拟牛顿法）的详细阐述，让我明白了如何有效地处理那些具有良好性质的优化问题。此外，书中对一些更高级的主题，例如非线性最小二乘问题、组合优化问题等，也进行了初步的探讨，这为我进一步深入研究打下了良好的基础。

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《NUMERICAL LINEAR ALGEBRA AND OPTIMIZATION》这本书，绝对是一部值得反复研读的经典之作。它以一种严谨而不失灵动的方式，将数值线性代数和优化理论这两个相辅相成的领域融为一体。在数值线性代数方面，书中对大规模稀疏线性系统的求解方法，如迭代法（Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, Conjugate Gradient等）和直接法（LU, Cholesky等）的比较分析，以及预条件子技术的重要性，都得到了非常深入的阐述。这对于处理海量数据和复杂模型的研究者来说，简直是福音。而在优化部分，作者对各种优化算法的推导过程、收敛性分析以及在不同应用场景下的优劣势进行了细致的剖析，例如对二次规划、线性规划、非线性规划的深入探讨，都让我受益匪浅。

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