Modeling, Mesh Generation, and Adaptive Numerical Methods for Partial Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Babuska, Ivo; Flaherty, Joseph E.; Henshaw, William D.

出品人:

页数:450

译者:

出版时间:1995-7-14

价格:USD 259.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387945422

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 数值方法
• 有限元方法
• 网格生成
• 自适应算法
• 数值模拟
• 科学计算
• 数学建模
• 计算数学
• 工程分析

《现代偏微分方程求解的数值方法与应用》 内容概述 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，探索求解现代科学与工程中遇到的各种偏微分方程（PDEs）的数值方法。全书内容紧密围绕偏微分方程的离散化技术、高效求解算法以及在复杂系统建模中的实际应用展开，内容涵盖了从理论基础到前沿研究的广泛领域，强调了数值模拟在推动跨学科研究中的核心作用。 第一部分：偏微分方程的理论基础与离散化 本部分首先回顾了经典偏微分方程（如扩散方程、波动方程和泊松方程）的数学结构及其物理意义，为后续的数值分析奠定基础。重点讨论了偏微分方程的适定性、光滑性等关键性质，这些性质直接影响着数值方法的稳定性和收敛性。 接着，本书深入探讨了偏微分方程离散化的核心技术。 有限差分法（Finite Difference Method, FDM）： 详细分析了各种高精度差分格式的构造原理，包括中心差分、迎风格式以及更高阶的紧致差分格式。特别关注了在不规则几何域上应用FDM时边界条件的精确处理，以及如何利用局部重构技术保持高阶精度。 有限元法（Finite Element Method, FEM）： FEM作为处理复杂几何和混合边界条件的强大工具，占据了核心篇幅。讲解了从单形基函数（如线性、二次单元）的选择到更高阶的形函数构造。详细阐述了弱形式的建立、形函数的插值性质、以及刚度矩阵和载荷向量的数值积分（高斯求积）。书中通过实例说明了如何构建和分析稳健的FEM框架，特别是在处理对光滑性要求较高的二阶和四阶椭圆型方程时的挑战与应对策略。 有限体积法（Finite Volume Method, FVM）： 本部分重点介绍了FVM在守恒律方程（如对流-扩散方程和欧拉方程）中的应用。详细讨论了通量（Flux）的计算方法，包括界面通量的黎曼求解器（Riemann Solvers）在处理激波和不连续解时的重要性。对于高分辨率格式，如MUSCL和ENO/WENO格式，进行了深入的剖析，以确保在保持守恒性的同时有效抑制数值振荡。 第二部分：高效求解器与预处理技术 本部分专注于如何高效地求解由离散化过程产生的庞大线性或非线性代数方程组。 线性系统求解器： 细致区分了直接法和迭代法。在直接法方面，讨论了稀疏矩阵的存储优化和LU/Cholesky分解在求解大型稀疏系统中的效率。迭代法的讨论更为详尽，覆盖了经典的Krylov子空间方法，如GMRES、CG（共轭梯度法）及其变体。重点分析了这些方法的收敛性理论和实际应用中的参数选择。 预处理器设计： 预处理是加速迭代求解器的关键。本书详细介绍了多种预处理技术，包括代数多重网格（AMG）的构建思想、不完全分解预处理（ILU/IC等）的误差分析，以及针对特定PDE结构（如棋盘格式或块结构）的定制化预处理策略。强调了预处理器的效率与求解器收敛速度之间的权衡。 非线性方程求解： 对于非线性PDEs，详细阐述了牛顿法及其修正方法（如线搜索、信赖域方法）在处理大型非线性系统时的实现细节。讨论了如何有效地计算雅可比矩阵的稀疏逼近，以降低每一步迭代的计算成本。 第三部分：时变问题与高维模拟 本部分将重点放在时间依赖性问题的数值处理以及处理高维度问题的挑战。 时间离散化方法： 针对常微分方程（ODE）组的时间演化部分，系统介绍了显式欧拉法、隐式欧拉法和Crank-Nicolson法的稳定性和精度分析。特别讨论了无条件稳定方法（如BDF系列）在处理“刚性”（Stiff）时间依赖性问题中的优势。对于复杂的非线性时变问题，探讨了隐式-显式（IMEX）方法的应用。 时空自适应方法（Space-Time Adaptivity）： 深入探讨了如何基于局部误差估计来动态调整空间网格和时间步长。介绍了基于残差的误差估计技术，以及如何利用四叉树（Quadtree）或八叉树（Octree）数据结构实现高效的网格局部加密与粗化，以确保计算资源集中在解具有高梯度或高曲率的区域。 高维问题的挑战： 面对维度灾难，本书介绍了处理高维问题的策略，包括张量积方法（Tensor Product Methods）和稀疏网格技术（Sparse Grid Techniques）。探讨了如何利用这些技术有效地离散化和求解超过三维的PDEs，这在量子化学和金融衍生品定价中尤为重要。 第四部分：高级主题与应用案例 本部分涵盖了当前数值分析领域的前沿课题，并结合实际工程问题展示了方法的有效性。 不规则网格与移动边界： 讨论了如何在复杂的、不断变化的几何体上应用数值方法。介绍了浸入式边界法（Immersed Boundary Method, IBM）和水平集方法（Level Set Method）在处理流体与固体相互作用、相场模型等问题中的机制。 不确定性量化（Uncertainty Quantification, UQ）： 随着输入参数和模型本身存在不确定性，UQ成为现代工程模拟的关键。本书介绍了基于蒙特卡洛（Monte Carlo）方法的后处理技术，以及更高效的谱方法，如随机伽辽金法（Stochastic Galerkin Method）和概率代理模型（Surrogate Models）在量化模型输出不确定性方面的应用。 高性能计算（HPC）实现： 讨论了将复杂的PDE求解器并行化以利用大规模并行架构的策略。内容包括领域分解法（Domain Decomposition Methods，如FETK/PETSc框架下的实现）、GPU加速的稀疏矩阵运算，以及如何设计内存访问友好的数据结构以最大化硬件吞吐量。 应用实例： 通过热传导、弹性力学中的应力分析，以及流体力学中的非线性对流问题，本书展示了上述方法的综合应用。每个案例都详细说明了模型选择、离散化策略、求解器配置和结果验证过程，旨在培养读者将理论知识转化为实际工程解决方案的能力。 本书内容严谨，侧重于方法的内在联系、稳定性和效率分析，适合高年级本科生、研究生以及从事科学计算和工程模拟的专业人士阅读。

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这本书的标题“Modeling, Mesh Generation, and Adaptive Numerical Methods for Partial Differential Equations”本身就勾勒出了一条完整且深入的学习路径，从物理概念的数学化，到转化为计算机可处理的离散形式，再到高效准确的求解。这正是我一直在寻找的那种能够提供系统性指导的著作。我特别希望在“Modeling”部分，能够看到作者如何将复杂的物理现象，如流体力学中的湍流、材料科学中的断裂力学、或者生物医学中的细胞动力学，转化为精确的数学方程。我对作者在处理那些具有非线性、多尺度或多物理耦合特性的PDE时所采用的建模策略，以及如何进行必要的简化和近似，以获得可解且有意义的模型，充满好奇。我期望书中能够包含一些经典的PDE建模案例，并详细分析每一步的推理过程，从而帮助我建立起从物理世界到数学世界的清晰认知。我也希望作者能分享一些关于如何选择合适的求解域、边界条件和初始条件的原则，这些都是成功建模的关键要素。

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“Mesh Generation”作为连接模型与数值求解的桥梁，其重要性不言而喻。我一直觉得，一个精心生成的网格，能够极大地提高数值计算的效率和精度，甚至可以决定一个问题的可行性。我希望这本书能够全面而深入地介绍各种网格生成技术，从最基础的结构化网格，到更为灵活的非结构化网格，以及用于特殊问题的嵌层网格和自适应网格。我特别期待作者能够详细讲解如何在复杂几何形状上生成高质量的网格，例如，如何处理具有锐角、尖点或小尺度特征的区域，以及如何通过网格优化算法（如光滑化、对齐）来提高网格的质量。我对书中关于不同网格类型（如四面体、六面体、三角形、四边形）的优缺点对比，以及在不同应用领域（如流体动力学、固体力学、电磁学）中选择何种网格生成技术的指导性意见，都充满了强烈的学习愿望。我也希望书中能够包含一些关于网格自适应细化（AMR）的实现细节，这对于高效求解那些具有局部高精度要求的PDE问题至关重要。

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“Adaptive Numerical Methods”这一部分，我认为是这本书最具吸引力的核心内容之一。在实际的科学计算中，很多偏微分方程的解往往具有高度的局部特征，例如激波、尖峰或者快速变化的边界层。如果使用固定分辨率的网格进行计算，可能会导致计算成本过高，或者无法精确捕捉这些重要的局部特征。我希望这本书能够深入浅出地介绍各类自适应数值方法，特别是自适应网格细化（AMR）技术。我期待作者能够详细阐述AMR的基本原理，包括如何根据误差估计来动态地调整网格分辨率，如何有效地在细化或粗化网格时传递和插值解，以及如何在算法层面处理网格的动态变化带来的挑战。我对书中关于不同AMR算法的比较分析，以及在特定物理问题中选择哪种AMR策略的建议，都充满了极大的学习热情。我还希望书中能够涵盖一些关于自适应阶数方法（adaptive order methods）的讨论，这种方法可以通过在求解过程中动态调整数值格式的阶数来优化计算效率，同时保证精度。

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这本书的标题“Modeling, Mesh Generation, and Adaptive Numerical Methods for Partial Differential Equations”预示着其内容的深度和广度。我对“Modeling”部分尤其感兴趣，因为在我看来，一个成功的数值模拟，其基础在于一个准确且恰当的物理模型。我希望作者能够详细介绍如何将现实世界中的复杂物理现象，如流体流动、热传导、结构力学等，转化为数学上可描述的偏微分方程。我期待书中能够提供一些经典PDE模型的构建过程，并解释其中涉及的各种假设、近似以及如何选择合适的边界条件和初始条件。例如，在处理非线性PDE时，如何进行线性化或者选择合适的数值方法来处理非线性项，以及在模型中如何考虑多物理耦合效应。我对作者在如何平衡模型的精确性和计算效率方面的权衡取舍，以及在实际建模过程中可能遇到的挑战和解决方案，都抱有极大的学习兴趣。我希望能够从书中获得一套系统的建模思路和方法论，从而能够独立地对新的物理问题进行数学建模。

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“Mesh Generation”对于我来说，是连接理论模型与实际计算的桥梁，而这本书的详细阐述将极大地帮助我跨越这个关键的环节。我一直对如何生成高质量、结构合理的网格感到着迷，因为我知道网格的好坏直接影响到数值计算的精度、稳定性和效率。我期望书中能够深入介绍各种网格生成算法，包括如何处理复杂的几何形状，如何确保网格的质量（例如，避免生成细长或畸变的单元），以及如何实现自适应网格细化以提高计算效率。我尤其希望作者能分享一些关于生成 Delaunay 网格、Voronoi 网格或 Advancing Front 网格的详细算法，以及在不同应用场景下选择哪种网格生成技术的考量。例如，在处理具有复杂边界的PDE问题时，如何有效地生成能够很好地捕捉边界细节的网格，以及如何避免网格在求解过程中出现奇异性或不稳定性。我对书中关于如何评估网格质量的指标和方法，以及如何通过网格优化技术来改进数值解的准确性，都充满着极大的兴趣。

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这本书的标题涵盖了从理论到实践的整个流程，这让我觉得它非常有价值。我一直认为，要真正掌握偏微分方程的数值解，仅仅了解算法是不够的，还需要深刻理解其背后的建模思想，以及如何将复杂的物理问题转化为适合计算机处理的形式。因此，我对书中“Modeling”部分所能提供的洞见充满了期待。我希望作者能够通过清晰的案例分析，展示如何将现实世界中的物理现象，例如流体流动、热传导、电磁场分布等，准确地转化为数学模型，并在此过程中解释各种假设和近似的合理性。我尤其关心如何处理那些具有非线性特性或复杂边界条件的PDE，以及在建模过程中需要考虑哪些因素才能确保数值解的可靠性。我也希望作者能分享一些关于选择合适的数学方程、确定初始条件和边界条件的方法，这些都是建立一个精确且易于求解的模型的基础。我期待书中能够提供一些启发性的思路，帮助我更好地理解和构建我自己的数学模型，为后续的网格生成和数值求解打下坚实的基础。

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“Adaptive Numerical Methods”这部分无疑是这本书的核心竞争力所在。在许多实际应用中，偏微分方程的解析解难以获得，而数值解的精度和效率往往是决定项目成败的关键。我希望作者能够系统地介绍各类先进的自适应数值方法，并深入剖析它们背后的数学原理和计算策略。我对自适应网格细化（AMR）技术特别感兴趣，这是一种能够在计算过程中根据解的特性动态调整网格分辨率的方法，能够显著提高计算效率，尤其是在处理具有局部细微结构或快速变化的物理现象时。我希望作者能够详细介绍实现AMR的各种算法，例如基于误差估计的网格细化和粗化准则，以及如何在网格结构发生变化时，保持数值解的连续性和稳定性。此外，我期待书中也能涵盖一些关于非结构化网格上数值方法的讨论，比如求解高雷诺数流动或包含复杂边界的PDE问题时，非结构化网格的优势以及相应的数值离散技术。我对作者在如何权衡计算精度、计算成本和算法复杂度方面的见解充满期待，这将为我在实际项目选择合适数值方法提供宝贵的指导。

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这本书的封面上“Modeling, Mesh Generation, and Adaptive Numerical Methods for Partial Differential Equations”这几个字，首先就让我产生了极大的兴趣。我一直在寻找一本能够深入讲解偏微分方程（PDE）数值解全过程的书籍，从最初的物理建模，到如何将其转化为计算机可以理解的网格，再到最后应用高效的数值方法进行求解。这本书的标题恰好囊括了我所关心的所有核心环节。我深信，一个严谨的数学模型是后续所有工作的基础，如果模型本身就有偏差，那么即使再精密的数值方法也无法得到可靠的结果。因此，我对于书中在“Modeling”部分所能提供的见解充满了期待。我希望作者能够介绍不同物理现象如何转化为PDE，并提供一些经典的建模案例，比如流体力学中的纳维-斯托克斯方程，或者热传导问题。更重要的是，我希望能够了解在实际建模过程中，有哪些常见的陷阱需要避免，以及如何根据问题的特性选择合适的建模策略。例如，对于某些复杂几何形状或边界条件，如何进行简化或者采用更高级的建模技术。我对作者在如何将物理概念转化为数学语言的过程中，可能分享的经验和技巧非常感兴趣，这往往是理论学习中最具挑战性但又最能体现作者功底的部分。

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“Mesh Generation”这个部分对我来说尤为重要，因为我一直觉得这是一个连接理论与实践的关键桥桥段，但又常常是学习过程中的一个难点。将一个连续的求解域离散化为有限的网格单元，这个过程充满了艺术性和科学性。我期望这本书能够详细阐述不同类型的网格生成技术，例如有限元方法（FEM）常用的三角形或四边形网格，有限差分方法（FDM）中的结构化网格，以及有限体积方法（FVM）中可能用到的任意形状的网格。我特别希望作者能够深入探讨网格质量的重要性，以及如何通过网格优化技术来提高数值解的精度和稳定性。例如，在处理具有复杂几何形状（如曲面、空腔）或边界层很厚的区域时，如何生成高质量的网格，避免出现畸变的单元，这对于后续数值计算的效率和准确性至关重要。我希望作者能提供一些关于自适应网格细化的具体算法和实现细节，比如在解的梯度较大的区域自动加密网格，从而在保证精度的同时，最大限度地减少计算资源的使用。我对如何在二维和三维空间中有效地生成高质量网格，以及这些技术在不同应用领域的优劣势对比，都充满了好奇。

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“Adaptive Numerical Methods”部分是我最期待的章节之一，因为我深知在许多实际工程和科学问题中，偏微分方程的解常常存在局部高梯度或快速变化的区域。如果使用均匀网格进行求解，可能会导致计算资源的大量浪费，或者无法精确捕捉这些关键特征。我希望这本书能够深入探讨各类自适应数值方法，特别是自适应网格细化（AMR）技术。我希望作者能够详细介绍 AMR 的基本原理，包括如何根据解的误差估计来决定网格的细化和粗化，以及如何在网格结构发生改变时，有效地传递和插值数值解。我对书中关于不同 AMR 算法的比较和分析，以及在特定问题中选择哪种 AMR 方法的指导性意见充满期待。此外，我希望书中也能涵盖一些关于自适应阶数方法（adaptive order methods）的讨论，这种方法可以在保证解的精度的同时，通过调整数值方法本身的阶数来优化计算效率。我对作者在如何平衡计算精度、计算成本和算法复杂度方面的见解，将为我在面对实际问题时，选择最合适的数值方法提供宝贵的参考。

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