Methods of Bifurcation Theory (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften) (v. 251) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:S.-N. Chow

出品人:

页数:540

译者:

出版时间:1996-04-25

价格:USD 125.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387906645

丛书系列:

图书标签:

MathematicalBiology
MathOrdinaryDifferentialEquatio
Math
Bifurcation theory
Dynamical systems
Mathematical analysis
Differential equations
Nonlinear analysis
Topology
Stability theory
Qualitative theory
Mathematical physics
Applied mathematics

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具体描述

The author's primary objective in this book is to discuss those aspects of bifurcation theory which are particularly meaningful to differential equations. To acccomplish this objective and to make the book accessible to a wider audience, much of the relevant background material from nonlinear functional analysis and the qualitative theory of differential equations is presented in detail. Two distinct aspects of bifurcation theory are discussed - static and dynamic. Static bifurcation theory is concerned with the changes that occur in the structure of the set of zeros of a function as parameters in the function are varied. Dynamic bifurcation theory is concerned with the changes that occur in the structure of the limit sets of solutions of differential equations as parameters in the vector field are varied. This second printing contains extensive corrections and revisions throughout the book.

动力系统、混沌与复杂性：从经典理论到前沿应用本书深入探讨了现代数学物理与工程领域的核心议题——动力系统的演化、稳定性分析及其内在的复杂性。我们聚焦于一类描述自然界和人造系统中随时间变化的数学模型，通过严谨的理论框架和丰富的实例，揭示系统行为如何从简单、可预测的状态过渡到复杂、甚至看似随机的混沌状态。本书的叙述路径旨在构建一个从基础概念到尖端研究的完整知识体系。我们将从相空间（Phase Space）的概念出发，奠定分析动力系统的几何基础。随后，重点将置于稳定性理论，这是理解系统长期行为的关键。我们将详细阐述李雅普诺夫（Lyapunov）稳定性概念的严格定义、线性化分析（如特征值分析）在局部稳定性判断中的作用，以及更强大的李雅普诺夫函数方法在处理非线性系统全局稳定性问题上的强大威力。第一部分：一维与二维系统的几何动力学在对系统的演化进行直观理解的层面上，本书首先着眼于最易于可视化的低维系统。一维常微分方程（ODEs）的分析被视为理解系统定性行为的基石。我们将彻底考察不动点（平衡点）的分类——稳定结点、不稳定结点、鞍点和焦点——以及它们在相线图上的拓扑意义。此外，极限环（Limit Cycles）作为系统周期性振荡的几何表示，其存在性、稳定性和稳定性分析将占据重要篇章，特别关注庞加莱-本迪克森（Poincaré-Bendixson）定理在二维平面上的应用。二维自治（Autonomous）系统的分析，特别是线性化方法失效时的奇点（Singular Points）分析，是理解系统拓扑结构的关键。本书将细致阐述如何使用相平面分析（Phase Plane Analysis）来绘制和解释系统的流场（Vector Field）。我们对鞍点、结点、中心和焦点进行分类，并探讨如何通过构造李萨如（Liénard）平面或使用极坐标变换来简化复杂系统的分析。第二部分：非线性分析与定性理论系统的真正复杂性源于非线性。本书随后将转向处理非线性动力学中的核心工具和现象。稳态流形（Invariant Manifolds）的概念是连接局部稳定性和全局行为的桥梁。我们将深入讲解稳定流形（Stable Manifolds）和不稳定流形（Unstable Manifolds）的定义、性质及其在鞍点周围的拓扑结构。在研究映射（Maps）时，我们将引入庞加莱截面（Poincaré Section）的概念，如何利用这一降维工具来识别高维系统中的周期轨道和混沌行为。霍普夫（Hopf）分支——系统参数变化时，稳定不动点失去稳定性并产生极限环的现象——将得到详尽的数学描述和应用案例。我们将详细分析超临界和次临界霍普夫分支的局部规范形式（Normal Forms），以及它们在工程控制和生物振荡器模型中的物理意义。第三部分：复杂行为的出现：周期性与混沌系统的动力学行为从有序到无序的转变，是本书最引人入胜的部分。周期性与多重周期性（Period-Doubling）：我们将考察周期如何随着控制参数的调整而加倍，并详细分析费根鲍姆（Feigenbaum）常数的普适性。这为理解从规律振荡到混乱的过渡机制提供了定量框架。混沌动力学（Chaotic Dynamics）：本书将引入描述混沌行为的关键数学工具，包括： 1. 敏感依赖性（Sensitive Dependence on Initial Conditions）：通过李雅普诺夫指数（Lyapunov Exponents）的计算和解释，量化系统的不可预测性。 2. 吸引子理论（Attractor Theory）：对奇异吸引子（Strange Attractors）的几何特征进行描述，区分它们与普通吸引子的根本差异。 3. 分形几何在动力学中的应用：探讨吸引子的分形维数（如盒计数维数），揭示混沌系统内部的自相似结构。此外，我们将探讨混沌系统的控制，包括如何在不完全改变系统结构的前提下，通过微小的外部扰动将混沌轨道导向所需的周期轨道或稳定状态。第四部分：更高级的主题：映射与泛函微分方程为了将理论拓展到更广泛的应用领域，本书将进一步探讨离散动力学系统和涉及延迟的系统。离散映射（Discrete Maps）：我们将研究逻辑斯蒂映射（Logistic Map）、Hénon映射等在简单代数形式下即可展现出复杂性的离散系统。这些映射是理解数值模拟和数字控制系统的基础。延迟微分方程（Delay Differential Equations, DDEs）：许多现实系统（如生物反馈回路、长程通信网络）的演化不仅依赖于当前状态，还依赖于过去的状态。本书将介绍如何将DDEs的分析转化为无穷维空间的演化问题，并讨论延迟对系统稳定性和分支行为（如出现稳定周期轨道）的独特影响。结论与展望本书通过整合代数、几何和拓扑学的视角，为读者提供了一套强大的分析工具，用于理解和预测复杂系统的行为。其目标不仅是传授特定的理论结果，更是培养对系统“定性”演化路径的直觉和洞察力，从而能够应用于物理学、工程控制、生态学乃至经济建模等多个前沿交叉学科中。