几何讲义 第一学期 解析几何 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:M.M.Postnikov

出品人:

页数:319

译者:周友成

出版时间:1992

价格:6.4

装帧:平装

isbn号码:9787040010763

丛书系列:

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《高等数学：理论与应用》 本书简介 第一卷：极限、连续性与导数 本书旨在为读者提供一套全面、深入且富有启发性的高等数学学习体验，重点在于构建严谨的理论基础，并展示其在解决实际问题中的强大应用能力。我们摒弃了传统教材中常见的分散叙述方式，力求在逻辑的连贯性与内容的丰富性之间找到完美的平衡点。全书共分为三卷，本卷专注于微积分学的核心——极限、连续性与导数的理论构建。 第一章：实数系统与函数基础 本章从分析学的基石——实数系统的完备性公理入手，为后续的极限理论奠定不可动摇的逻辑基础。我们详细讨论了实数的上确界原理，这是理解收敛性的关键所在。随后，我们深入研究了函数的概念，包括函数的运算、复合、反函数以及初等函数的构造与性质。对拓扑概念如开集、闭集、邻域和聚点在实直线上的定义进行了严格的阐述，为引入极限概念做好了充分的准备。我们强调了 $epsilon-delta$ 语言的严谨性，并运用此语言精确定义了数列的极限和函数的极限。本章的习题设计旨在训练读者从最基本的公理出发推导出重要的结论，提升抽象思维能力。 第二章：连续性 在精确掌握了极限的概念之后，本章致力于函数连续性的研究。我们首先定义了函数在一点的连续性，并推广到区间上的连续性。本章的核心内容包括：初等函数的连续性证明、连续函数的代数运算性质以及复合函数的连续性定理。更重要的是，我们详细论述了介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem）的深刻几何意义和数学价值。我们通过大量的实例分析了病态函数（如狄利克雷函数）的构造与不连续点的分类（跳跃不连续、可去不连续、无穷不连续）。本章的难点在于理解函数在紧致集上的均匀连续性，我们通过反证法和序列论证了这一重要结论的证明过程。 第三章：导数与微分 导数是描述瞬时变化率的核心工具。本章从差商的极限出发，严格定义了函数在一点的导数。我们系统地推导了微分法则，包括乘法法则、除法法则和链式法则（复合函数求导法则）。对三角函数、指数函数和对数函数的导数进行了详细的推导。本章的重点内容是微分的概念，以及微分 $dy$ 与增量 $Delta y$ 之间的关系，这为数值逼近奠定了基础。我们引入了高阶导数，并讨论了它们在函数凹凸性分析中的作用。 第四章：导数的应用 本章将理论导数知识转化为强大的分析工具。我们首先利用罗尔定理（Rolle’s Theorem）和柯西中值定理（Cauchy's Mean Value Theorem）作为桥梁，推导出了至关重要的拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）。中值定理的应用贯穿本章始终，例如用于证明函数的单调性、凹凸性。我们详细讨论了利用导数进行函数图像的描绘，包括渐近线的判断、极值点的确定和拐点的分析。此外，我们深入探讨了洛必达法则（L'Hôpital's Rule），并分析了其在处理 $frac{0}{0}$ 和 $frac{infty}{infty}$ 型未定式时的严格使用条件。本章末尾，我们引入了泰勒定理（Taylor's Theorem），不仅给出了余项（Lagrange余项和Peano余项）的精确表达式，还展示了如何利用它来构造函数的泰勒多项式，实现对复杂函数的局部高精度近似。 第二卷：积分学的基础与应用 第二卷将目光投向了对累积和“面积”的精确计算，即定积分与不定积分。 第五章：黎曼积分 本章从几何直观出发，逐步过渡到黎曼积分的严格定义。我们首先定义了分割、上和与下和，并引入了黎曼可积性的充要条件——上确界与下确界的差值趋于零。我们证明了所有连续函数在闭区间上都是黎曼可积的，并讨论了有界间断点对可积性的影响。本章的核心在于牛顿-莱布尼茨公式（Fundamental Theorem of Calculus），我们对其进行了严谨的证明，阐明了微分与积分之间的内在联系。同时，我们也讨论了不定积分的概念以及积分的线性性质和不等式性质。 第六章：积分的应用 本章展示了定积分在几何和物理中的广泛应用。我们计算了平面区域的面积（包括曲线下的面积和曲边梯形的面积）、旋转体的体积（圆盘法与薄壳法）、曲线的弧长。在物理应用方面，我们计算了质心、转动惯量以及变力所做的功。对于更复杂的应用，如平面曲线的曲率计算，我们也提供了详尽的步骤和公式推导。本章还包含对积分的广义理解，为下一卷中的无穷级数做铺垫。 第三卷：微分方程与多元微积分初步 第七章：基础微分方程 本章作为向多元微积分过渡的桥梁，介绍了最基础的一阶和二阶常微分方程的解法。我们详细讨论了变量可分离方程、一阶线性微分方程（利用积分因子法）和恰当方程。对于二阶常系数线性齐次与非齐次方程，我们系统地介绍了特征方程法，并探讨了待定系数法和常数变易法在求解特定非齐次方程中的应用。本章的重点在于理解微分方程在描述自然界动态过程中的建模能力。 第八章：多元函数基础 本卷的收尾部分简要介绍了多变量函数的概念。我们首先扩展了极限和连续性的定义到 $mathbb{R}^n$ 空间，着重于二维空间 $mathbb{R}^2$ 的拓扑性质。引入了偏导数的概念，并严格定义了全微分。我们推导了链式法则在多变量情况下的推广形式——多元链式法则，这是后续梯度和方向导数的基础。本章为读者在高年级学习多重积分和向量分析打下坚实的概念基础。 全书特色 本书的特点在于：深度与广度的统一。理论部分力求清晰、严谨，大量引用了分析学中的关键定理及其证明，旨在培养学生坚实的数学素养；应用部分则精选了贴近工程和科学的实例，使抽象的数学工具具象化。每章后均附有不同层次的习题，从基础的计算演练到复杂的证明推导，确保读者能够扎实掌握所学知识。本书不仅是一本教材，更是一部数学思维的训练手册。

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感觉Postnikov是几何入门最佳的书，十分严密又不失直观。

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特别喜欢几何，特别喜欢俄罗斯大叔们的写作。。。。其实能读懂《俄罗斯。代数引论》那套书，这本书不用读了。

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特别喜欢几何，特别喜欢俄罗斯大叔们的写作。。。。其实能读懂《俄罗斯。代数引论》那套书，这本书不用读了。

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好书！

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好书！