Probability Theory and Mathematical Statistics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Japan) Japan-Russia Symposium on Probability Theory and Mathematical Statistics (7th

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1996-06

价格:USD 108.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9789810224264

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 数学统计
• 统计学
• 概率模型
• 数理统计
• 随机过程
• 推论统计
• 概率分布
• 统计推断
• 高等数学

数学分析的严谨基石：一本关于实数系统、微积分与级数的深度探索 书名：实数系统、单变量微积分与无穷级数：奠定现代分析的精确基础 本书定位与核心内容： 本书旨在为读者提供一个严谨、深入且结构清晰的数学分析基础，尤其聚焦于实数系统的完备性、单变量微积分的严格推导，以及无穷级数的收敛性理论。本书并非概率论或数理统计的教材，而是作为深入理解这些高级学科所需坚实分析基础的必备读物。我们着重于概念的精确定义、定理的严格证明，以及数学推理的逻辑连贯性，力求在清晰易懂与数学严谨性之间找到完美的平衡。 第一部分：实数系统与拓扑初步 (The Real Number System and Preliminary Topology) 本部分是全书的基石，旨在建立一个坚固的、无懈可击的实数理论框架。 第一章：集合论基础与逻辑推理 本章从集合论的基本概念入手，包括集合的运算、笛卡尔积、函数的定义与性质。我们系统地引入了数学证明的逻辑结构，如直接证明、反证法、数学归纳法（以及强归纳法），为后续所有定理的证明奠定工具。重点讨论了可数集与不可数集的区分，通过对自然数集与实数集进行对角线论证，确立了实数集 $mathbb{R}$ 的“更大”规模。 第二章：自然数与整数的构造 追溯数学基础，本章采用皮亚诺公理（Peano Axioms）来公理化自然数集 $mathbb{N}$。随后，通过等价关系构造整数集 $mathbb{Z}$，并严格定义加法与乘法的运算性质（结合律、交换律、分配律等）。这部分强调了从最基本的公理出发构建整个算术系统的过程。 第三章：有理数与实数的完备性 我们通过有理数集 $mathbb{Q}$ 上的等价类（即基于两个有理数之差作为判据的等价关系）来构造实数集 $mathbb{R}$。本章的核心在于对“完备性”（Completeness）的深刻探讨。我们详细介绍了戴德金分割（Dedekind Cuts）的构造方法，并以此定义实数。随后，我们将对实数系统至关重要的完备性公理——戴德金公理（或称确界原理，The Completeness Axiom/Least Upper Bound Property）——作为核心假设，并推导出其等价命题，如：单调有界序列收敛定理 (The Monotone Convergence Theorem)、闭区间套定理 (The Nested Interval Theorem)，以及 Bolzano-Weierstrass定理（有界序列必有收敛子序列）。这些定理是后续微积分理论能够成立的根本保障。 第二部分：单变量微积分的严格论证 (Rigorous Single-Variable Calculus) 在完备的实数系统之上，我们开始构建极限、连续性、导数和积分的概念，并确保每一步推导都基于前述的公理和定理。 第四章：序列与极限的 $epsilon - N$ 语言 本章专注于极限的精确定义。我们用严谨的 $epsilon - N$ 语言（或 $epsilon - delta$ 语言的序列版本）来定义数列的收敛性。我们将深入分析极限的代数性质（和、差、积、商的极限），并严格证明 Cauchy 收敛准则（Cauchy Criterion for Convergence），即一个序列收敛当且仅当它是 Cauchy 序列。 第五章：函数的连续性 本章从 $epsilon - delta$ 定义出发，精确定义了函数在一点的连续性。我们系统地讨论了连续函数的性质，包括：介值定理 (Intermediate Value Theorem)、极值定理 (Extreme Value Theorem)——证明了连续函数在闭区间上必然取到最大值和最小值。我们还将讨论一致连续性 (Uniform Continuity) 的概念，并利用闭区间套定理证明了它在紧致集上的重要性。 第六章：导数的精确定义与应用 导数被定义为极限 $lim_{h o 0} frac{f(a+h) - f(a)}{h}$。本章的重点在于证明微分法则（和、差、积、商法则）的严格性。关键的定理包括：费马引理 (Fermat's Theorem)、罗尔定理 (Rolle's Theorem)、均值定理（或称中值定理, The Mean Value Theorem）。我们利用均值定理推导出导数的符号与函数单调性的关系，并介绍 L'Hôpital 法则的严格应用条件。 第七章：黎曼积分的构造与性质 本章是微积分中最具技术挑战性的部分之一。我们从对有界函数在闭区间上的上下达布（Darboux）和引入，定义了黎曼上和与下和。黎曼可积性的充要条件被精确阐述，并证明了连续函数一定黎曼可积。随后，我们严格推导了 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus, FTC） 的两个部分，这是连接微分学与积分学的桥梁。本章还探讨了反常积分（Improper Integrals）的收敛性判断。 第三部分：无穷级数与序列 本部分将分析的焦点从有限的求和转移到无穷过程，探讨序列和级数的收敛性。 第八章：无穷级数的收敛性判别 在定义了级数 $sum a_n$ 的收敛性后，本章集中于判别工具。我们将全面考察：比较判别法 (Comparison Test)、比值判别法 (Ratio Test)、根值判别法 (Root Test)。特殊地，我们将详细分析 交错级数 (Alternating Series) 的特性，并证明 莱布尼茨判别法 (Leibniz Test)。我们区分了条件收敛 (Conditional Convergence) 与绝对收敛 (Absolute Convergence)，并证明了绝对收敛蕴含收敛。 第九章：幂级数与泰勒级数 幂级数被定义为 $sum c_n (x-a)^n$ 的形式。本章的核心是确定幂级数的 收敛半径 (Radius of Convergence) 和 收敛区间 (Interval of Convergence)。我们利用根值判别法推导了收敛半径的计算公式。最重要的是，我们系统地讨论了泰勒级数的展开，并严格证明了 泰勒定理（带有拉格朗日余项或柯西余项），阐明了函数何时能被其泰勒级数精确表示。本章还会涉及初等函数的幂级数展开，例如指数函数 $e^x$ 和三角函数的级数表示。 本书的特色与价值： 本书的撰写风格追求清晰的数学美感，避免了过多的应用性例子，而是将核心精力投入到理论的打磨上。它为那些未来计划深入研究偏微分方程、泛函分析、复变函数，或需要对概率论（如证明中心极限定理所需的收敛性理论）有最严格基础的读者，提供了无可替代的分析工具箱。本书的每一个定理都附有详尽的证明，确保读者不仅“知道”结论，更能“理解”结论的由来。读者将通过本书，真正掌握数学分析的“为什么”和“如何证明”。

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