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出版者:

作者:Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Miller, Charles D.

出品人:

页数:92

译者:

出版时间:

价格:830.00

装帧:

isbn号码:9780673990594

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 中级代数
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 学习
• 方程
• 函数
• 多项式
• 二次方程

进阶代数之外的数学世界：探索与应用 本书旨在为读者打开一个超越传统“中级代数”范畴的数学视野，深入探讨那些在基础代数之后，却对现代科学、工程、经济学乃至日常决策至关重要的数学分支。我们将聚焦于代数、几何、概率、统计以及离散数学中的核心概念，并强调它们在真实世界中的应用，而非仅仅停留在抽象的符号运算。 第一部分：超越线性方程——函数与变换的深度解析 虽然基础代数处理了线性方程和简单的二次方程，但本卷将深入研究更复杂函数族的性质、结构及其几何意义。 1.1 多项式与有理函数的精细结构： 我们将不再满足于求解二次方程，而是深入探讨高次多项式（三次方及以上）的根的性质，包括复数根的成对出现定理（共轭根定理）。更重要的是，我们将详细分析有理函数（两个多项式之比）的图像特征——垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线的严格判定方法。我们将运用微积分预备知识（如极限的初步概念）来理解函数在无穷远处的行为，这对于建模物理系统至关重要。 1.2 指数与对数：增长与衰减的语言： 本部分将超越简单的指数增长模型，探讨自然对数 $e$ 的本质及其在连续复利、放射性衰变和人口增长模型中的核心地位。我们将详细阐述换底公式的严谨推导，并展示如何利用对数尺度来线性化指数关系，从而简化复杂数据的分析。例如，在地震学（里氏震级）和声音强度（分贝）中的应用。 1.3 幂函数与反函数的本质： 我们将探讨幂函数的不同指数情况（负指数、分数指数）如何对应于不同类型的反比例关系和根式变换。反函数概念将被提升到集合映射的层面，讨论其存在的充要条件（单射性），并探究三角函数等非单射函数如何通过限制定义域来构造可逆的逆函数，这是理解三角学和更高级函数分析的基础。 第二部分：几何的代数表达——解析几何的深化 本部分将代数工具应用于描述和分析二维及三维空间中的几何对象，这是连接代数与几何的桥梁。 2.1 圆锥曲线的统一描述： 我们不再将圆、椭圆、双曲线和抛物线视为孤立的研究对象。相反，我们将展示如何通过一个统一的二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 来描述所有圆锥曲线。重点在于判别式 $B^2 - 4AC$ 如何决定曲线的类型。随后，我们将学习如何通过坐标旋转和配方技术来消除 $xy$ 项，将一般形式转化为标准形式，从而精确描绘这些曲线的焦点、准线和离心率。 2.2 向量基础与空间几何： 我们将引入二维和三维向量的概念，将其视为具有大小和方向的量。向量的加法、减法和标量乘法将被定义。更进一步，我们将介绍向量的点积（内积），它不仅用于计算两个向量之间的夹角（如在物理学中计算功），还为理解投影提供了几何基础。这将为后续的线性代数打下直观的铺垫。 第三部分：不确定性的量化——概率论与统计推断的初步 在数据驱动的世界中，理解不确定性是至关重要的技能。本部分提供必要的工具来量化风险和做出基于证据的判断。 3.1 组合数学：排列与组合的精确计数： 本节将严格区分排列（顺序重要）和组合（顺序不重要）。我们将推导 $P(n, k)$ 和 $C(n, k)$ 的公式，并探讨它们在解决复杂计数问题中的应用，例如密码学的密钥空间计算，以及项目管理中的任务分配优化。 3.2 概率论基础：事件与随机变量： 我们将从古典概率（基于样本空间）出发，介绍条件概率和事件的独立性。随后，引入离散随机变量的概念，例如伯努利试验和二项分布。我们将计算期望值（均值）和方差，这代表了随机事件的平均结果和结果的分散程度。 3.3 描述性统计与数据可视化： 本部分将侧重于数据的整理和呈现。除了基础的平均数、中位数和众数之外，我们将详细讨论标准差的实际意义——即数据点偏离平均值的程度。数据的可视化将超越简单的条形图，引入箱线图（Box Plot）来有效展示数据的分布、四分位数和异常值，这在数据清洗阶段至关重要。 第四部分：逻辑与结构的数学——离散数学的入门 离散数学关注于可数的、分离的对象，它是计算机科学和现代逻辑的基石。 4.1 集合论与逻辑推理： 我们将从集合的定义、基本运算（并集、交集、补集）入手，并学习如何使用文氏图来直观地证明集合恒等式。更重要的是，本部分将引入命题逻辑，学习如何构建有效的论证（如演绎法、归谬法），并识别常见的逻辑谬误。 4.2 数学归纳法：证明无限序列的有效性： 数学归纳法是证明关于所有正整数的命题的强大工具。我们将详细解析归纳法的两个步骤（基础情况和归纳步骤），并通过具体的例子（如等差数列求和公式的证明）来掌握这一严谨的证明技巧。 4.3 图论的初步概念：网络结构分析： 本部分将介绍图（Graph）的概念，由顶点和边构成，用于建模关系网络。我们将讨论图的类型（有向图、无向图），并引入路径、环的概念。应用实例将包括最短路径问题（如著名的“七桥问题”启发下的欧拉路径和哈密顿回路的探讨），以及社交网络分析的初步概念。 通过这四个部分的深入探索，读者将建立起一个坚实且实用的数学框架，为进一步学习微积分、线性代数、数据科学或计算数学打下坚实的基础，并能更自信地应对涉及复杂函数、空间关系和不确定性分析的实际问题。

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