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isbn号码:9780669283105

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• 数学
• 预微积分
• 高等数学
• 函数
• 三角函数
• 代数
• 解析几何
• 指数与对数
• 数列与级数
• 极限

《解析几何与三角学：函数与图形的探索之旅》 本书《解析几何与三角学》是一部旨在为读者构建坚实数学基础的著作，其核心在于深入剖析函数、方程与图形之间的内在联系，以及三角函数在描述周期性现象中的强大应用。它并非一本简单的知识罗列，而是一场引导读者循序渐进、理解抽象概念如何映射现实世界的探索之旅。 第一部分：函数的深度解析——模式的识别与表达 本书的首篇将聚焦于“函数”这一数学中最基本、也最具普适性的概念。我们并非仅仅停留于“输入-输出”的机械定义，而是要探究函数的本质：它是一种关系，一种对变量之间相互依赖模式的数学化描述。 函数的概念与性质： 我们将从严格的定义出发，辨析函数与一般关系的异同。函数的核心在于“对每一个定义域中的元素，都有唯一确定的值域中的元素与之对应”。这一点将通过大量的例子加以阐释，从最简单的线性函数，到复杂的指数函数和对数函数。我们会系统地学习函数的定义域、值域、奇偶性、单调性等关键性质。这些性质不仅是理解函数行为的基石，也是后续高级数学分析的预备知识。例如，理解函数的单调性，就意味着我们能预测当输入增加时，输出是增加还是减少，这在优化问题中至关重要。奇偶性则揭示了函数的对称性，为简化计算和图形分析提供了便利。 函数图像的语言： 函数的图形是其内在性质的直观展现。本书将强调如何从函数的代数表达式推导出其几何形态，反之亦然。我们会详细讲解不同类型函数的标准图像，例如直线、抛物线、双曲线、指数曲线、对数曲线以及周期性的正弦、余弦曲线。更重要的是，我们将学习如何通过变换（平移、伸缩、翻折）来绘制复杂函数的图像，从而深刻理解图像变化与代数表达式中参数变化之间的对应关系。例如，将函数 $f(x)$ 的图像向上平移 $k$ 个单位，其代数表达式就变为 $f(x)+k$。这种图像与代数的双向转换能力，是解决许多数学问题的关键。 函数运算与组合： 函数不仅仅是孤立存在的个体，它们可以进行各种运算和组合。本书将深入探讨函数的加减乘除、复合函数以及反函数。复合函数，如 $f(g(x))$，是理解复杂系统运作的关键，它意味着一个过程的输出成为另一个过程的输入。反函数则揭示了“逆向操作”的可能性，对于求解方程和理解某些映射关系至关重要。我们将通过具体例子，学习如何求解复合函数和反函数的表达式，并分析它们的性质。 特殊函数的应用： 除了基本的初等函数，本书还将介绍一些在特定领域具有广泛应用的特殊函数。例如，分段函数能够描述在不同区间内具有不同规律的现象，在工程和经济学中常见。绝对值函数则能捕捉量的大小而非方向。指数函数和对数函数，作为描述增长和衰减模型的核心工具，将在后续的章节中得到更深入的探讨。 第二部分：代数方程的求解与几何的映射——坐标系的魔力 代数方程是描述数学关系的重要工具，而解析几何则为这些抽象的方程赋予了生动的几何意义。本书将重点展示如何利用坐标系将代数方程与几何图形巧妙地联系起来。 坐标系的构建与应用： 我们将从笛卡尔坐标系开始，理解如何用有序数对来表示平面上的点，以及如何计算两点间的距离。点与坐标的对应，是连接代数与几何的桥梁。我们将学习如何根据代数方程绘制图形，以及如何从图形中提取出代数信息。 直线方程的解析： 直线是最基本的几何图形，其代数方程形式多样，如斜截式、点斜式、一般式等。本书将详细讲解这些方程形式的含义，以及它们之间的相互转换。我们会学习如何求解过两点的直线方程，以及点与直线的距离公式。这些知识不仅是平面几何的基础，也是线性代数和微积分的入门。 圆的方程与性质： 圆是另一个重要的几何图形。我们将学习圆的标准方程，理解圆心坐标和半径如何决定圆的几何形态。通过配方法，我们还将能够从一般形式的方程中识别出圆及其关键参数。圆的方程与代数之间的关系，为解决圆的切线、弦长等问题提供了有力的工具。 二次曲线的探索： 本书将扩展到更复杂的二次曲线，包括抛物线、椭圆和双曲线。这些曲线在物理学（如行星轨道）、工程学（如天线设计）以及光学（如反射镜）等领域有着广泛的应用。我们将学习它们的标准方程形式，理解焦距、顶点、长轴、短轴等关键几何要素如何影响曲线的形状和位置。通过配方法和坐标系的平移、旋转，我们将能够绘制并分析任意位置和大小的这些二次曲线。例如，理解抛物线方程 $y=ax^2+bx+c$ 中的参数 $a, b, c$ 如何影响开口方向、顶点位置和对称轴，能帮助我们直观地理解抛物线随参数变化的几何含义。 方程组与图形交点： 方程组的解在几何上对应于图形的交点。本书将通过解线性方程组和非线性方程组，来寻找直线、圆、抛物线等图形的交点。这为我们理解方程组的几何意义和应用场景提供了直观的认识。例如，求解一条直线与一个圆的方程组，就是在寻找直线与圆的交点，这可能表示直线与圆相切（一个交点）或相交（两个交点）。 第三部分：三角函数的奥秘——周期性与角度的度量 三角函数是描述周期性现象和研究角度关系的核心工具。本书将带领读者深入理解三角函数的定义、性质及其在解决实际问题中的强大能力。 角度的度量与单位： 我们将从角度的两种基本度量单位——角度制（度）和弧度制——开始。弧度制作为一种更自然的度量方式，在微积分和高等数学中更为常用。本书将详细讲解角度制与弧度制之间的转换，以及它们在单位圆上的几何意义。 三角函数的定义与单位圆： 我们将基于单位圆，严格定义正弦、余弦、正切、余切、割割和余割这六种基本三角函数。理解这些函数如何通过点的坐标在单位圆上对应，是掌握其性质的关键。我们将学习如何计算特殊角度的三角函数值，并理解这些函数值随角度变化的规律。 三角函数的图像与性质： 正弦函数和余弦函数是描述周期性运动的典型代表，如振动、波浪等。本书将详细描绘它们的图像，并深入分析它们的周期性、振幅、相位偏移等重要性质。我们将学习如何通过参数的变化来改变这些函数的图像，从而更灵活地描述各种周期性现象。例如，函数 $y = A sin(Bx + C) + D$ 中的 $A, B, C, D$ 分别控制着振幅、周期、相位和垂直偏移，理解它们的作用，就能构建出各种复杂的周期模型。 三角恒等式与方程的求解： 三角恒等式是处理三角函数的重要工具，它们允许我们简化复杂的三角表达式，并求解三角方程。本书将介绍和推导一系列重要的三角恒等式，如和角公式、倍角公式、降幂公式等。在此基础上，我们将学习如何利用这些恒等式来求解各种三角方程，这在物理、工程和信号处理等领域有着广泛的应用。 正弦定理与余弦定理： 这两个定理是解决任意三角形问题的基石。正弦定理建立了三角形边与对应角正弦值的比例关系，而余弦定理则将三角形的一条边与其邻边以及夹角的余弦值联系起来。本书将详细讲解这两个定理的推导过程和应用，包括如何利用它们求解三角形的边长、角度，以及解决实际中的测量问题。 三角函数的实际应用： 本书将在最后部分展示三角函数在实际问题中的广泛应用。这包括： 物理学： 描述简谐运动、波动现象、交变电流等。 工程学： 在信号处理、通信系统、声学、光学等领域，三角函数是构建和分析模型的基础。 导航与测量： 利用角度和距离进行定位和测量。 天文与地理： 描述天体运行规律，进行地图绘制和大地测量。 音乐与艺术： 分析声波的合成与传播，理解和声的数学原理。 结语： 《解析几何与三角学》旨在为读者提供一个清晰、严谨且富有启发性的学习框架。通过对函数、代数方程与几何图形的相互映射，以及三角函数在描述周期性与角度关系中的核心作用的深入探索，读者将能够建立起强大的数学思维能力，为后续更高级的数学学习（如微积分、线性代数）打下坚实的基础，并为理解和解决现实世界中的各种复杂问题提供有力的数学工具。本书的目标是让读者不仅掌握数学知识，更能领略数学的逻辑之美与应用之广。

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这本书的语言风格简洁有力，用词精准，完全避免了那种为了凑字数而填充的冗余描述。作者的叙述方式如同在与一位有一定基础的学习者进行高效的对话，直奔主题，直击要害。专业术语的引入和解释都非常到位，既保证了数学的严谨性，又不会让初学者感到难以接近。尤其欣赏它在概念引入时的那种克制与精确，不多余的赘述，每一个句子都似乎承载着必要的信息量。这种高效的文字组织方式，使得在有限的阅读时间内，可以吸收和理解更多的知识密度，对于时间宝贵的学习者来说，这无疑是最大的优点之一，它体现了一种对知识本质的尊重和对读者时间的珍视。

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我花了大量时间仔细研究了书中的例题解析部分，不得不说，讲解的逻辑层次感极强。作者在引入一个新概念时，往往会先从直观的、学生已经掌握的知识点作为铺垫，逐步过渡到抽象的定义，而不是直接抛出公式。每一步的推导过程都详尽无比，就像身边有一位耐心细致的老师在手把手地指导。特别是那些涉及到函数图像变换和三角恒等式证明的章节，作者不仅给出了最终答案，更重要的是展示了思考的路径和思维的转变过程，这对于培养学生独立分析问题的能力非常有帮助。我发现，即便是那些我之前感觉很吃力的部分，通过这里的详细分解，也变得豁然开朗。这不仅仅是知识的传授，更是一种思维方法的训练，让人感到受益匪浅。

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作为一本参考资料，本书的索引和目录系统的构建堪称一流，查找效率极高。目录结构清晰明了，每一节的标题都精确地概括了该部分的核心内容，使得在需要快速回顾某个特定知识点时，能够迅速定位。更赞的是，书中的术语表和符号定义部分做得非常详尽和规范，如果学习过程中遇到不熟悉的符号或术语，查阅起来非常方便快捷。这种对细节的关注，极大地提升了学习效率，减少了因查找信息而产生的挫败感。对于那些需要频繁在不同章节间跳转进行对比学习的读者来说，这种完善的检索工具是无价之宝，它保证了学习过程的流畅和连贯性，体现了编者对使用者体验的深度考量。

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这本书的装帧设计非常吸引人，封面色彩搭配既专业又不失活力，让人一看就知道是严谨的学术著作，但又不至于枯燥乏味。拿到手里感觉分量十足，纸张的质感也很好，印刷清晰，排版布局合理，长时间阅读下来眼睛也不会感到特别疲劳。尤其是那些复杂的数学符号和公式，排印得非常工整，这一点对于精细的数学学习来说至关重要，避免了因为印刷质量差而产生的误解或阅读障碍。书脊的装订也非常结实，感觉能够经受住反复查阅和携带的考验，这对于一本工具书性质的教材来说，是非常实用的优点。整体来看，这本书在实体呈现上就给我留下了专业、可靠的好印象，让人有信心投入到接下来的学习过程中去。那种厚重感，似乎也在无声地传递着内容内容的深度和广度。

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这本书的习题设计简直是教科书级别的典范，它巧妙地平衡了难度梯度，让人欲罢不能。基础练习旨在巩固基本概念和公式的熟练运用，确保每一个基础知识点都能被扎实掌握，基本不会出现那种“看懂了，但做不对”的尴尬局面。紧接着，书中引入了大量的综合应用题，这些题目往往需要将好几个不同章节的知识点融会贯通才能解出，极大地锻炼了我的整合能力。最让我惊喜的是，在每个单元的末尾，设置了“挑战自我”或“深入探讨”的选做题，这些题目往往与现实生活中的模型或更高级的数学分支有所关联，拓宽了我的视野，让我看到了所学知识的更广阔的应用前景，激发了我对数学更深层次的好奇心。

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