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出版者:

作者:Reshetnyak, Yu G.; Primrose, E.; Berestovskij, V. N.

出品人:

页数:250

译者:

出版时间:1993-10

价格:1366.00元

装帧:

isbn号码:9783540547013

丛书系列:

图书标签:

• 几何学
• 数学
• 几何
• 图形
• 空间
• 解析几何
• 代数
• 三角学
• 高中数学
• 教程

《几何学 IV》是一本深入探索数学领域中关于空间、形状、大小和位置关系的著作。本书不仅仅是对基本几何概念的复述，更致力于揭示隐藏在平面图形和立体模型背后的深刻规律与美学。 本书的核心内容涵盖了对高维几何的探索。不同于初等几何中我们熟悉的二维平面和三维空间，本书将带领读者进入一个更加抽象和广阔的数学宇宙，理解并可视化四维及以上空间的几何对象。这包括对超立方体（tesseract）、球面空间（spherical geometry）以及双曲空间（hyperbolic geometry）的详细阐述。读者将学习如何通过投影、切片以及抽象代数工具来理解这些高维度的几何结构，并理解它们与我们熟悉的三维空间在性质上的根本差异。 在微分几何方面，本书将重点讨论曲线和曲面的局部与整体性质。我们将深入研究曲率（curvature）的概念，理解它如何描述空间的弯曲程度，以及它在分析几何形状时所扮演的关键角色。这包括对高斯曲率（Gaussian curvature）和平均曲率（mean curvature）的精确定义和计算方法，以及它们在判断曲面类型（如平面、球面、马鞍面）上的应用。此外，本书还将介绍测地线（geodesics）的概念，探讨在弯曲空间中“最短路径”的数学表达，以及它在物理学（如广义相对论）中的重要意义。 本书对拓扑学（topology）的介绍，将从一个全新的视角审视几何对象。拓扑学关注的是在连续变形（如拉伸、弯曲，但不包括撕裂或粘合）下保持不变的性质，这使得我们能够超越形状的精确度，关注更本质的连通性和整体结构。我们将探讨同胚（homeomorphism）的概念，理解两个空间在拓扑上是否等价。诸如欧拉示性数（Euler characteristic）、环面（torus）、克莱因瓶（Klein bottle）等经典拓扑学问题的分析，将帮助读者建立对抽象空间结构的直观认识。本书还会触及纽结理论（knot theory），分析三维空间中曲线的缠绕方式及其不变量。 此外，本书还将对几何学的历史发展进行简要回顾，介绍从古希腊的欧几里得几何到非欧几里得几何的革命性转变，以及这些思想如何影响了后来的数学和科学发展。同时，也会探讨几何学在现代科学与技术中的应用，例如在计算机图形学、数据可视化、物理学、工程学以及人工智能等领域。 本书的语言风格严谨而不失趣味，旨在激发读者对几何学的热情。复杂的数学概念将通过清晰的定义、详实的证明和恰当的图示来阐释。对于读者来说，阅读本书将是一次思维的训练，提升其抽象思考能力、空间想象能力以及解决复杂问题的能力。无论您是几何学爱好者，还是希望在数学领域深入探索的学者，本书都将为您提供宝贵的知识财富。

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这本书简直是数学爱好者的福音，尤其是那些对欧几里得几何及其延伸领域抱有深厚兴趣的人。我刚翻开目录就被深深吸引了，它似乎不仅仅停留在基础的平面几何和立体几何，而是更深入地探讨了更抽象、更前沿的几何结构。内容组织得非常巧妙，从基础概念的严谨复习开始，逐步过渡到那些让人眼前一亮的高等主题。举个例子，书中对拓扑学基础概念的引入，虽然篇幅不长，但清晰度令人称赞，它用一种非常直观的方式解释了连续形变下保持不变的那些“本质”属性，这对于我理解更高维度的空间构建至关重要。作者在推导复杂的定理时，总能兼顾到清晰度和数学的优美性，没有那种为了炫技而堆砌公式的冰冷感。我尤其欣赏其中对于非欧几何的探讨，它没有将这些理论束之高阁，而是通过一系列精心设计的思维实验，让读者亲身体验到，当我们改变对“直线”或“平行线”的定义时，整个几何世界会如何天翻地覆。读完其中关于黎曼几何入门的那几章，我感觉自己的空间想象力得到了极大的拓展，仿佛戴上了一副新的眼镜，去看待我们周围的三维世界，甚至更高的维度。这本书需要的数学功底不浅，但对于愿意投入时间和精力去钻研的读者来说，它提供的回报是巨大的，它不仅仅是知识的传递，更像是思维方式的重塑。

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我必须强调这本书在处理“变换群”和“对称性”方面的独到见解。现代几何学越来越倾向于用群论的视角来审视几何结构，而这本书在这方面做到了极好的平衡。它没有直接跳到抽象的群论定义，而是巧妙地从晶体学中对对称性的直观理解入手，逐步构建起点阵变换、欧几里得群，直至更一般的李群概念。这使得原本抽象的代数概念，立刻在具体的几何对象上找到了坚实的落脚点。我特别喜欢其中一个章节，它探讨了在不同维度的欧几里得空间中，如何对一个特定形状进行所有可能的刚体运动的组合，然后用群的性质来系统地分类这些运动。这种从具体到抽象的搭建过程，让我对“不变性”这个核心概念有了更深刻的体会——几何的本质似乎就在于寻找那些在变换下依然保持不变的属性。读完这部分，我感觉自己看问题的视角都变了，不再仅仅关注点和线的位置关系，而是开始关注这些对象集合在某种操作下所展现出的内在对称结构。对于任何希望从古典几何迈向现代代数几何的读者来说，这本书提供的这个桥梁极其坚实和可靠。

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说实话，当我拿到这本《Geometry IV》时，我有点担心它会过于学术化，变成一本只有教科书式的冷冰冰的公式集合。毕竟，几何学这门学科，如果处理不当，很容易就变得枯燥乏味。但出乎意料的是，这本书在保持其深度的同时，注入了大量的历史背景和哲学思考，这让阅读过程变得极其引人入胜。作者似乎深谙如何将复杂的数学思想“人性化”。比如，在讨论射影几何的起源时，它没有简单地罗列皮埃尔·德·费马或者帕斯卡的贡献，而是详细描绘了文艺复兴时期艺术家们为了解决透视问题所做的挣扎与探索，这种将艺术与数学紧密结合的叙事方式，极大地激发了我的学习热情。更让我惊叹的是，书中穿插了大量的历史注脚和“思想实验”，它们不是必须掌握的知识点，却是理解几何学家们是如何一步步建立起这些宏伟理论框架的关键钥匙。我发现自己经常会停下来，沉思作者提出的那个关于“无限”的讨论，它将我们带回了古希腊对完形和未完形边界的哲学辩论中。对于那些不仅仅想知道“是什么”而更想知道“为什么是这样”的读者来说，这本书简直是座宝藏。它教会我的，是如何带着批判和探索的精神去面对数学问题，而不是机械地套用公式。

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坦白说，这本书的习题设置是其价值的又一重要组成部分，它们绝非那种简单重复课本例题的“填充物”。这里的练习题往往是独立的小型研究项目，它们的设计逻辑非常精妙，旨在推动读者主动去探索理论的边界。有些题目看似很简单，仅仅要求证明一个基础的引理，但当你真正尝试去证明时，会发现需要综合运用前面好几个章节的知识点，这极大地锻炼了构建完整数学论证的能力。更具挑战性的是那些“开放式”的思考题，它们不会给出明确的求解路径，而是抛出一个开放性的结构，鼓励我们自己去定义和探索新的几何对象或性质。我记得有一个关于球面三角学中“对偶性”的题目，它要求我用球面上的点与圆来构造一个完全对应的结构，这彻底颠覆了我对平面直角三角形的固有认知。对于研究生阶段的学习者来说，这些习题无疑是绝佳的训练材料，它们提供的不仅仅是分数，更多的是对一个领域内未被充分挖掘的角落进行个人化探索的经验。这本书的厚重感，正是来自于这些深思熟虑的、能够真正挑战思维深度的练习题集。

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这本书的排版和图示设计简直是一场视觉盛宴，尤其对于学习几何这种高度依赖图形辅助的学科而言，这一点至关重要。我过去读过一些几何学著作，图画得小气、模糊，或者在关键的辅助线上没有清晰的标记，导致我花费大量时间去猜测作者到底想表达哪个角度或哪条线段的关系。但在这本《Geometry IV》中，几乎每一页都配有精心制作的插图，它们不仅仅是装饰，而是解释复杂概念的“第二语言”。线条的粗细、阴影的运用、角度的标识都非常专业和准确。特别是当作者引入到微分几何中曲面论的部分时，那些三维模型的渲染图清晰到令人难以置信，让我仿佛真的能够用手去触摸那个弯曲的空间。而且，作者似乎考虑到了不同学习习惯的读者，书中提供了两种层次的解释：一种是极其简洁、纯粹的公理化叙述，适合快速回顾和深入研究的学者；另一种则是更为详尽、口语化的解释，辅以大量的几何直观图示，非常适合初学者或者需要巩固直觉理解的进阶读者。这种“双轨制”的叙事结构，使得这本书的适用人群一下子扩大了许多，无论你的起点在哪里，都能找到适合自己的切入点，这在专业几何书籍中是极其罕见的优点。

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