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出版者:Springer

作者:Jiri Herman

出品人:

页数:392

译者:

出版时间:2003-1

价格:683.00元

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387955520

丛书系列:

图书标签:

• 组合数学
• 计数原理
• 排列组合
• 图论
• 离散数学
• 数学分析
• 算法
• 数学建模
• 高等数学
• 拓扑学

《数与形：几何变换的艺术》 本书是一本深入探索几何变换领域，并将其与数学思维巧妙结合的著作。我们相信，理解几何对象如何通过变换得以重塑，是洞察数学结构和空间关系的钥匙。本书旨在为读者打开一扇通往变换几何学美妙世界的大门，而无需预设任何关于计数或特定配置的先前知识。 第一部分：点、线、面的基本变换 我们从最基础的几何元素——点、线、面——出发，介绍其在二维和三维空间中的基本变换。 平移 (Translation)： 考察点、线段、直线以及简单图形（如三角形、正方形）在平行方向上的移动。我们将深入分析平移的向量表示，以及它对图形位置和坐标的影响。读者将学习如何通过矩阵或向量运算来描述和实现平移。 旋转 (Rotation)： 探索图形围绕固定点（旋转中心）在不同角度上的转动。本书将详细阐述旋转的角度、方向以及旋转中心的选择如何影响变换结果。我们将通过角度的计算和复数的应用来深入理解旋转的数学原理，并展示旋转在对称性分析中的重要作用。 反射 (Reflection)： 研究图形关于一条直线（反射轴）或一个平面（反射平面）的对称映射。我们将分析反射轴/平面的选取如何决定变换的性质，以及连续反射的组合效应。这一部分将引导读者理解镜像对称的概念，并将其与反演等更复杂的变换联系起来。 伸缩 (Dilation/Scaling)： 探讨图形相对于固定中心点按一定比例进行放大或缩小的过程。我们将区分均匀伸缩和非均匀伸缩，并分析伸缩因子对图形大小、形状以及面积、体积的影响。读者将学习到伸缩如何改变图形的相似性，以及它在透视投影等领域的应用。 第二部分：组合变换与群论初步 在掌握了基本变换之后，本书将引导读者探索这些变换的组合及其带来的丰富性质。 变换的组合： 研究两个或多个基本变换连续作用的效果。例如，先平移后旋转，或者连续两次反射。我们将展示这些组合变换有时可以被等效地表示为单个基本变换，有时则会产生新的变换类型，如复合旋转或滑移反射。 几何变换群： 引入群论的基本概念，并展示几何变换在数学中构成群的结构。我们将以正方形、等边三角形等常见几何图形的对称性变换为例，构建它们的对称群。读者将理解群的封闭性、结合律、单位元和逆元等性质，并认识到对称群是理解几何对象内在规律的重要工具。 保距变换 (Isometries)： 重点关注那些保持距离的变换，如平移、旋转和反射（以及它们的组合）。我们将证明保距变换在保持图形形状和大小不变的同时，只改变其位置和朝向。 第三部分：映射与几何结构的改变 本部分将目光转向更广泛的映射，以及它们如何改变几何对象的结构。 仿射变换 (Affine Transformations)： 引入比保距变换更一般的仿射变换。仿射变换保持直线平行性，但不一定保持距离和角度。我们将分析仿射变换如何由线性变换（如伸缩、剪切）和 Translation 组合而成，并展示它们在计算机图形学、工程学中的广泛应用，例如形变和投影。 相似变换 (Similarity Transformations)： 探讨保持角度但不一定保持距离的变换，即相似变换。相似变换是伸缩和平移、旋转、反射的组合。我们将深入分析相似变换如何保持图形的比例，使图形之间产生相似关系。 投影与变形 (Projections and Deformations)： 简要介绍投影变换，例如如何将三维物体映射到二维平面，以及更一般的形变，它们可以改变图形的形状，但可能保留某些拓扑性质。 第四部分：三维空间中的变换 本书将把讨论从二维扩展到三维空间。 三维基本变换： 介绍三维空间中的平移、旋转（绕轴旋转）、反射（关于平面反射）以及伸缩。我们将使用三维向量和矩阵来描述这些变换。 欧拉角与四元数： 探讨描述三维旋转的不同方法，包括欧拉角和四元数，并分析它们的优缺点。 齐次坐标与投影： 在三维空间中引入齐次坐标，以便用矩阵表示所有仿射变换，包括透视投影。这将为理解三维计算机图形学奠定基础。 贯穿全书的理念： 《数与形：几何变换的艺术》不仅仅是一本介绍几何变换技术的书籍。它更强调： 数学直觉与形式化： 我们鼓励读者在直观理解几何概念的同时，学习如何用精确的数学语言来描述和分析它们。 变换作为工具： 几何变换不是孤立的数学概念，而是解决几何问题、理解对称性、分析空间关系和进行科学计算的强大工具。 连接不同数学领域： 通过几何变换，读者可以自然地接触到线性代数、群论，甚至初步的拓扑学概念。 本书的数学推导严谨，示例丰富，旨在让不同背景的读者都能从中受益。我们希望通过本书，读者能够培养对空间关系的敏锐洞察力，以及运用几何变换解决实际问题的能力。

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我给这部作品的评价是：这是一次对清晰、优雅的数学思维的致敬。它处理的“配置”问题，那些关于如何排列、选择和组织的艺术，在作者的笔下展现出惊人的美感。我特别欣赏其对“双射”论证的强调，书中反复提醒读者，一个好的计数问题往往可以通过找到一个完美的、一一对应的映射关系而被简化。这种思维定势的培养，比记住任何特定公式都来得宝贵。书中对“容斥原理”的详细推导，也远比我过去接触的任何版本都要透彻，它不仅展示了原理本身，还细致地分析了在不同复杂场景下如何准确应用其符号。对于渴望真正掌握组合学核心思想的人来说，这本书提供的认知结构是无价的，它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方法的塑造。

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我必须说，这本书的结构编排堪称一绝，它仿佛是一座精心设计的迷宫，但每条路径都通向清晰的知识点。不同于市面上那些堆砌公式的教材，《计数与配置》更侧重于构建清晰的数学思维框架。作者对“鸽巢原理”的阐述尤其深刻，不仅仅是罗列了基础形式，还深入探讨了其在图论和数论中的应用，展示了这一看似简单的原理背后的巨大潜力。阅读过程中，我感觉自己仿佛在跟随一位大师进行私人辅导，他知道在何时应该放慢脚步，何时可以适当地挑战读者的极限。那些关于“不重复选择”和“重复选择”的细微差别，在书中被剖析得淋漓尽致，避免了初学者常犯的错误。它巧妙地平衡了理论的严谨性与可读性，使得即便是面对高度抽象的概念，文字的流动性也从未受损，保持着一种令人愉悦的节奏感。

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这部作品的书名是《计数与配置》。 一本让我爱不释手的数学读物，它以一种近乎诗意的方式探讨了组合数学的广阔天地。作者的叙述风格如同一位经验丰富的向导，引领读者穿梭于错综复杂的排列组合之间，丝毫不显枯燥。我尤其欣赏它在引入新概念时所展现的耐心与清晰度，例如，书中对生成函数（Generating Functions）的讲解，简直是教科书级别的示范。它没有直接抛出那些令人望而生畏的公式，而是通过一系列精心构造的实际问题，让读者自然而然地“发现”这些工具的强大之处。读到处理那些看似无解的难题时，作者总能提供一个巧妙的视角转换，犹如拨云见日，让人豁然开朗。这本书的深度在于它不仅教会你“如何做”，更让你理解“为什么这样做”。无论是对概率论的初学者，还是希望加深对离散结构理解的研究者，都能从中汲取宝贵的养分。书中的插图和例题设计得极为巧妙，很多时候，一个简单的图示就能抵得上冗长的文字解释。

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对于那些寻求工具书性质的读者来说，这本书可能需要一些适应期，因为它并非一本快速查询手册，而是一部需要沉浸式阅读的深度论著。我发现，要想真正掌握书中的精髓，必须动手演算每一个例子，并尝试自行变式。作者在章节末尾布置的那些富有挑战性的“探索性问题”，正是检验理解程度的最佳场所。这些问题往往不是直接应用已学知识，而是要求读者综合运用前面学到的多种技术，进行创造性的组合。这种训练对于培养解决复杂问题的能力至关重要。书中对“对称性”在计数问题中作用的论述，尤其令人印象深刻，它提供了一种超越纯粹代数运算的几何直觉。读完这部分内容，我对许多看似随机的组合现象，有了一种全新的、基于结构对称性的理解。

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这本书最让我感到惊喜的是其广阔的视野和对现代数学前沿的隐约触及。虽然核心内容聚焦于经典的计数技术，但作者巧妙地将这些基础知识与后来的高级主题（如生成函数在微分方程中的应用，或是与离散概率的交汇点）联系起来。这种前瞻性让读者在打下坚实基础的同时，也对未来的学习路径有了清晰的展望。语言上，作者避免了过度学术化的冷漠，而是带有一种热情的、鼓励探索的语调。例如，在介绍卡特兰数（Catalan Numbers）时，作者用生动的历史背景和多种多样的物理模型来阐述其重要性，使得这个著名的数列不再仅仅是一个孤立的公式，而成为了连接不同数学领域的桥梁。整体而言，这是一种能真正提升读者数学“品味”的佳作。

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