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出版者:清华大学出版社

作者:徐森林;胡自胜;薛春华

出品人:

页数:314

译者:

出版时间:2008 年11月

价格:30.00元

装帧:16开

isbn号码:9787302182542

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 微分拓扑
• 微分拓扑5
• 2010
• 微分几何
• 拓扑学
• 流形
• 微分形式
• 同调论
• 代数拓扑
• 数学分析
• 高等数学
• 几何学
• 拓扑流形

《微分拓扑》 一部严谨而富有洞察力的数学著作，深入探讨光滑流形上的几何与分析。 本书旨在为读者提供一个坚实而全面的微分拓扑学基础。我们将从流形的概念出发，逐步引入光滑结构、切空间、向量场、微分形式等核心概念。通过对这些基本元素的深入剖析，读者将能够理解微分拓扑学如何为研究光滑空间提供一套强大的工具。 流形：光滑世界的基石 旅程始于对拓扑空间的初步认识，进而引出“流形”这一关键概念。我们将详细阐述局部欧氏空间、坐标映射以及这些映射之间的光滑性要求。读者将学习如何构建和理解不同维度的流形，例如球面、环面以及更复杂的抽象空间。我们还会探讨嵌入、浸入和反浸入等概念，揭示流形之间的各种几何关系。 光滑结构与微积分：在流形上进行测量 一旦我们确立了流形的框架，下一步便是引入光滑结构。本书将详细介绍如何通过坐标变换的平滑性来定义流形上的光滑函数、光滑映射和光滑向量场。这些概念是进行微积分运算的先决条件。我们将深入讲解切空间的概念，它构成了流形上每一个点的线性逼近，并引入切向量和余切向量。 向量场与积分曲线：流动的几何 向量场是微分拓扑学中的一个重要研究对象，它们在流形上描述了“方向”和“速度”。本书将详细介绍向量场及其流的性质。我们将探讨积分曲线，它们是向量场“流动”的轨迹，并由此引出常微分方程在流形上的解的存在性和唯一性问题。此外，我们还将研究李导数，它衡量了向量场在其他几何对象上的变化率。 微分形式与积分：分析的工具 微分形式是另一种强大的工具，它们允许我们在流形上进行积分运算，并建立起几何与分析之间的深刻联系。本书将详细介绍外微分、楔积等运算，并着重讲解德·拉姆定理。这个定理是微分拓扑学中的一个里程碑，它揭示了微分形式的积分与流形的同调群之间的深层关系，为理解流形的拓扑性质提供了强大的分析工具。 横截性与度量：几何性质的探讨 我们将继续深入探讨流形上的几何性质，特别是横截性。横截性是研究映射之间交集性质的关键概念。本书将证明横截性定理，并利用它来理解子流形、纤维丛以及各种重要的几何构造。此外，我们还将引入黎曼度量，它赋予了流形长度、角度和体积的概念，使得我们可以进行更精细的几何测量和分析。 缠绕数与度数：全局的视角 为了更深入地理解流形的拓扑结构，本书还将探讨缠绕数和度数等全局不变量。这些概念通过研究映射的“扭曲”程度来揭示流形的整体性质。我们将通过具体例子和证明，展示这些不变量如何帮助我们区分不同的流形，并理解它们的拓扑分类。 纤维丛与联络：更复杂的几何结构 本书的最后部分将触及纤维丛和联络等更高级的微分拓扑概念。纤维丛在几何物理学和现代数学的许多分支中扮演着核心角色。我们将介绍主丛、向量丛以及它们之间的关系，并引入联络的概念，它允许我们在纤维丛上定义“平行移动”，从而研究更精密的几何结构。 本书特色： 循序渐进的结构： 从基本概念到高级主题，逻辑清晰，易于理解。 严谨的数学论证： 每一个定理和结论都附有详细的证明。 丰富的例证： 通过大量具体的流形和几何构造，帮助读者建立直观理解。 广泛的应用前景： 所介绍的理论工具在几何学、拓扑学、数学物理等领域具有重要的应用价值。 《微分拓扑》是一部值得所有对光滑流形及其内在几何结构感兴趣的数学爱好者、研究者和学生的必读之作。它将为您打开一扇探索数学之美的全新视角。

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**对数学本质的深刻洞察，让阅读过程充满惊喜与启发** 阅读《微分拓扑》这本书，对我而言，是一次充满惊喜与启发的智力之旅。我一直认为，好的数学书籍不仅在于其内容的深度，更在于其能否引发读者对数学本质的深刻洞察。而这本书恰恰做到了这一点。作者在讲解中，常常会超越单纯的计算和证明，深入到概念背后的哲学思考。例如，在讨论同胚不变性时，书中不仅仅给出了严格的定义，更引导读者去思考，在拓扑学中，什么才是真正“不变”的属性。这种对数学本质的追问，极大地激发了我进一步探索的欲望。同时，书中对于一些重要定理的证明，也充满了匠心独运的技巧。作者并没有拘泥于单一的证明思路，而是常常会给出多种不同的角度和方法，让读者能够从多个维度去理解同一个数学结论。我尤其喜欢书中关于黎曼几何与微分拓扑联系的介绍，这种跨领域的融合，让我看到了数学的普遍性和统一性。总而言之，这本书不仅仅是一本学习微分拓扑的教科书，更是一本能够拓展读者数学视野，激发其对数学的深层思考的佳作。它让我明白，数学并非只有冷冰冰的符号，更蕴含着对宇宙和空间的深刻理解。

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**如同遨游在宇宙的数学星辰大海，每一次翻阅都是一次心智的洗礼** 《微分拓扑》这本书，在我看来，更像是一次精神上的远航，带领我驶向一片辽阔而璀璨的数学星辰大海。这本书没有预设读者已经对某个高级数学领域了如指掌，而是从最基础的流形概念出发，层层递进，将读者引入微分拓扑的深邃世界。我尤其喜欢书中关于“光滑性”和“同胚”的讨论，这两者看似简单，却在根本上定义了我们理解空间形态的方式。作者通过大量的图示和直观的解释，让我深刻理解了为什么在拓扑学中，洞的数量比形状本身更重要。当读到德拉姆定理的部分时，我更是被深深吸引，那种将代数结构（上同调群）与几何对象（微分形式）联系起来的桥梁，简直就是数学的奇迹。它让我意识到，数学不仅仅是计算和证明，更是一种洞察事物本质的语言。这本书的优点在于，它始终保持着一种探索性的姿态，即使是对于一些非常抽象的概念，也能通过类比和启发式的讲解，引导读者去思考和发现。每一次翻阅，我都能从中获得新的领悟，仿佛在原本就熟悉的海面上，又发现了几处未曾留意过的岛屿，上面孕育着等待探索的奇妙数学风景。

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**初次接触，惊叹于其严谨的数学语言与深邃的几何直觉** 我一直对数学的抽象美有着莫名的向往，而《微分拓扑》这本书，恰恰为我打开了一个全新的世界。初拿到这本书时，就被它厚重的分量和密集的公式所震撼，一度以为会啃不下去。然而，当我真正投入其中，尝试理解那些看似晦涩的定义和定理时，却发现了一种前所未有的智力上的满足感。作者用极其严谨的数学语言，构建了一个由流形、向量丛、微分形式等组成的宏伟结构，每一个概念的引入都仿佛是精巧零件的嵌入，最终构成了一个和谐而有机的整体。更令我着迷的是，这本书并没有将数学停留在冰冷的符号游戏，而是通过丰富的几何直觉，将那些抽象的概念具象化。当我读到关于光滑映射的度数理论，或是理解同调论在低维流形分类中的应用时，我仿佛能“看到”空间的形变，感受到不同几何对象之间的内在联系。虽然我并非该领域的专家，但这本书的叙述方式，即使是对初学者也相当友好，它循序渐进，逻辑清晰，每一步的论证都环环相扣，让人在迷失之前总能找到前进的方向。我尤其欣赏作者在讲解过程中穿插的许多经典例子，这些例子不仅加深了我对抽象概念的理解，更让我体会到微分拓扑在解决实际问题中的强大力量。

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**一本真正“看见”数学的书，将抽象概念化为可感的几何实在** 对于我这样一个偏爱几何直觉的学习者来说，《微分拓扑》这本书简直是量身定做的。它不仅仅是定理和证明的堆砌，更是一本能够“看见”数学的书。作者在讲解中，非常注重将抽象的数学概念与具体的几何图像联系起来，使得原本难以理解的抽象概念变得生动起来。例如，在介绍嵌入定理时，书中提供的详细图解，让我能够直观地理解高维流形如何“塞进”低维空间，以及这种“塞进”所带来的约束和可能性。同样，关于脐带定理的讲解，也并非仅仅罗列公式，而是通过对曲面局部弯曲性质的深入分析，展现了曲面在不同点上行为的差异。这不仅仅是关于数学的理解，更是一种对空间本质的探究。我尤其欣赏书中对于一些重要概念的“可视化”处理，比如利用流体动力学中的散度定理来解释向量场的积分性质，或是通过研究函数的临界点来理解流形的拓扑结构。这些方法有效地降低了理解门槛，让我能够更深入地体会到微分拓扑的魅力所在，仿佛这些数学概念不再是冰冷的符号，而是有生命、有形态的几何实在。

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**结构精巧，逻辑严密，引领读者穿越数学的迷雾，直达真理的彼岸** 《微分拓扑》这本书的结构设计可谓精巧绝伦，逻辑严密得如同精密的齿轮组，驱动着读者一步步深入探索。从基础的拓扑空间的概念，到流形的定义，再到向量丛、纤维丛以及微分形式等核心内容，每一个章节的衔接都自然流畅，几乎没有生硬的过渡。作者的叙述方式，更像是引导一位好奇的旅人，在数学的迷雾中拨开云翳，指引他看到隐藏在深处的真理。我印象最深刻的是书中关于Morse理论的讲解，作者如何巧妙地利用函数的临界点来刻画流形的拓扑性质，将看似复杂的计算转化为对全局结构的洞察，这其中的智慧令人赞叹。而且，这本书并没有仅仅停留在理论的陈述，而是通过大量的习题，鼓励读者动手去实践，去检验自己对所学知识的掌握程度。这些习题的难度设置也恰到好处，既有巩固基础的，也有启发思考的，让人在解题的过程中不断加深对概念的理解。总而言之，这是一本能够让人沉浸其中，并且感受到思维不断被拓展的书籍，它如同一座精心设计的迷宫，虽然曲折，但终将引领你走向清晰明朗的真理彼岸。

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流形上的结构：对称的是黎曼，不对称的是嘉当微分不变式；证明与证明结果都写的不错。其实应该叫做微分几何的

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还没看完全部内容，感觉跟多元分析联系比较密切，说不出什么更深层的意见~

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流形上的结构：对称的是黎曼，不对称的是嘉当微分不变式；证明与证明结果都写的不错。其实应该叫做微分几何的

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流形上的结构：对称的是黎曼，不对称的是嘉当微分不变式；证明与证明结果都写的不错。其实应该叫做微分几何的

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流形上的结构：对称的是黎曼，不对称的是嘉当微分不变式；证明与证明结果都写的不错。其实应该叫做微分几何的