具体描述
《高观点下的初等数学》(全3册)是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。《高观点下的初等数学》共分3卷。第一卷：算术，代数、分析；第二卷：几何；第三卷：精确数学与近似数学。菲利克斯·克莱因是19世纪末20世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人，他不仅是伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家，在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。克莱因认为函数为数学的”灵魂”。应该成为中学数学的“基石”，应该把算术、代数和几何方面的内容，通过几何的形式用以函数为中心的观念综合起来；强调要用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容，倡导”高观点下的初等数学”意识。在克莱因看来，一个数学教师的职责是：”应使学生了解数学并不是孤立的各门学问，而是一个有机的整体”； 基础数学的教师应该站在更高的视角(高等数学)来审视。理解初等数学问题，只有观点高了，事物才能显得明了而简单；一个称职的教师应当掌握或了解数学的各种概念、方法及其发展与完善的过程以及数学教育演化的经过。他认为”有关的每一个分支，原则上应看做是数学整体的代表”，“有许多初等数学的现象只有在非初等的理论结构内才能深刻地理解”。
作者简介
Felix Klein是19世纪末20世纪初世界最有影响力的数学学派——哥廷根学派的创始人，他不仅是伟大的数学家，也是现代国际数学教育的奠基人、杰出的数学史家和数学教育家，在数学界享有崇高的声誉和巨大的影响。
目录信息
博洽内容独特风格
——《高观点下的初等数学》导读 吴大任
纪念克莱因
——介绍《高观点下的初等数学》 齐民友
第一版序
第三版序
英文版序
前言
第一部分 算术
第一章 自然数的运算
§1.1 学校里数的概念的引入
§1.2 运算的基本定律
§1.3 整数运算的逻辑基础
第二章 数的概念的第一个扩张
§2.1 负数
§2.2 分数
§2.3 无理数
第三章 关于整数的特殊性质
第四章 复数
§4.1 通常的复数
§4.2 高阶复数，特别是四元数
§4.3 四元数的乘法——旋转和伸展
§4.4 中学复数教学
附：关于数学的现代发展及一般结构
第二部分 代数
第五章 含实未知数的实方程
§5.1 含一个参数的方程
§5.2 含两个参数的方程
§5.3 含3个参数λ，μ，ν的方程
第六章 复数域方程
§6.1 代数的基本定理
§6.2 含一个复参数的方程
第三部分 分析
第七章 对数函数与指数函数
§7.1 代数分析的系统讨论
§7.2 理论的历史发展
§7.3 中学里的对数理论
§7.4 函数论的观点
第八章 角函数
§8.1 角函数理论
§8.2 三角函数表
§8.3 角函数的应用
第九章 关于无穷小演算本身
§9.1 无穷小演算中的一般考虑
§9.2 泰勒定理
§9.3 历史的与教育学上的考虑
附录
Ⅰ.数e和π的超越性
Ⅱ.集合论
第二卷 目录
第一版序
第三版序
英文版序
前言
第四部分 最简单的几何流形
第十章 作为相对量的线段、面积与体积
第十一章 平面上的格拉斯曼行列式原理
第十二章 格拉斯曼空间原理
第十三章 直角坐标变换下空间基本图形的分类
第十四章 导出的流形
第五部分 几何变换
第十五章 仿射变换
第十六章 投影变换
第十七章 高阶点变换
§17.1 反演变换
§17.2 某些较一般的映射投影
§17.3 最一般的可逆单值连续点变换
第十八章 空间元素改变而造成的变换
§18.1 对偶变换
§18.2 相切变换
§18.3 某些例子
第十九章 虚数理论
第六部分 几何及其基础的系统讨论
第二十章 系统的讨论
§20.1 几何结构概述
§20.2 关于线性代换的不变量理论
§20.3 不变量理论在几何学上的应用
§20.4 凯莱原理和仿射几何及度量几何的系统化
第二十一章 几何学基础
§21.1 侧重运动的平面几何体系
§21.2 度量几何的另一种发展体系——平行公理的作用
§21.3 欧几里得的《几何原本》
第三卷 目录
译者的话
第一版序
第三版序
前言
第七部分 实变函数及其在直角坐标下的表示法
第二十二章 关于单个自变数x的阐释
§22.1 经验准确度与抽象准确度，现代实数概念
§22.2 精确数学与近似数学，纯粹几何中亦有此分野
§22.3 直观与思维，从几何的不同方面说明
§22.4 用关于点集的两个定理来阐明
第二十三章 单变数x的函数y＝f（x）
§23.1 函数的抽象确定和经验确定（函数带概念）
§23.2 关于空间直观的引导作用
§23.3 自然规律的准确度（附关于物质构成的不同观点）
§23.4 经验曲线的属性：连通性、方向、曲率
§23.5 关于连续函数的柯西定义和经验曲线类似到什么程度？
§23.6 连续函数的可积性
§23.7 关于最大值和最小值的存在定理
§23.8 4个广义导数
§23.9 魏尔斯特拉斯不可微函数；它的形象概述
§23.10 魏尔斯特拉斯函数的不可微性
§23.11 “合理”函数
第二十四章 函数的近似表示
§24.1 用合理函数近似表示经验曲线
§24.2 用简单解析式近似表示合理函数
§24.3 拉格朗日插值公式
§24.4 泰勒定理和泰勒级数
§24.5 用拉格朗日多项式近似表示积分和导函数
§24.6 关于解析函数及其在阐释自然中的作用
§24.7 用有尽三角级数插值法
第二十五章 进一步阐述函数的三角函数表示
§25.1 经验函数表示中的误差估计
§25.2 通过最小二乘法所得的三角级数插值
§25.3 调和分析仪
§25.4 三角级数举例
§25.5 切比雪夫关于插值法的工作
第二十六章 二元函数
§26.1 连续性
§26.2 偏导次序的颠倒实例
§26.3 用球函数级数近似表示球面上的函数
§26.4 球函数在球面上的值分布
§26.5 用有尽球函数级数作近似表示的误差估计
第八部分 平面曲线的自由几何
第二十七章 从精确理论观点讨论平面几何
§27.1 关于点集的若干定理
§27.2 通过对两个或多个不相交圆的反演所产生的点集
§27.3 极限点集的性质
§27.4 二维连续统概念、一般曲线概念
§27.5 覆盖整个正方形的皮亚诺曲线
§27.6 较狭义的曲线概念：若当曲线
§27.7 更狭义的曲线概念：正则曲线
§27.8 用正则理想曲线近似表示直观曲线
§27.9 理想曲线的可感知性
§27.10 特殊理想曲线：解析曲线与代数曲线，代数曲线的格拉斯曼几何产生法
§27.11 用理想图形表现经验图形；佩雷观点
第二十八章 继续从精确理论观点讨论平面几何
§28.1 对两个相切圆的相继反演
§28.2 对3个循环相切圆的相继反演（“模图形”）
§28.3 4个循环相切圆的标准款
§28.4 4个循环相切圆的一般款
§28.5 所得非解析曲线的性质
§28.6 这整个论述的前提，韦龙尼斯的进一步理想化
第二十九章 转入应用几何：A. 测量学
§29.1 一切实际度量的不准确性，斯涅尼奥斯课题的实践
§29.2 通过多余的度量来确定准确度，最小二乘法的原则阐述
§29.3 近似计算，用关于球面小三角形的勒让德定理来说明
§29.4 地球参考椭面上最短线在测量学中的意义（附关于微分方程论的假设）
§29.5 关于水准面及其实际测定
第三十章 续论应用几何：B.作图几何
§30.1 关于作图几何中一种误差理论的假设，用帕斯卡定理的作图说明
§30.2 由经验图形推导理想曲线性质的可能性
§30.3 对代数曲线的应用，将要用到的关于代数的知识
§30.4 提出所要证明的定理：w′＋2t″＝n（n－2）
§30.5 证明中将采用的连续性方法
§30.6 有与无二重点的Cn之间的转化
§30.7 符合定理的偶次曲线举例
§30.8 奇次曲线的例子
§30.9 举例说明证明中的连续性方法，证明的完成
第九部分 用作图和模型表现理想图形
§1 无奇点挠曲线，特殊地，C3的形状（曲线的投影及其切线曲面的平面截线）
§2 挠曲线的7种奇点
§3 关于无奇点曲面形状的一般讨论
§4 关于F3的二重点，特别是它的二切面重点和单切面重点
§5 F3的形状概述
呼吁： 通过观察自然，不断修订传统科学结论
人名译名对照
译后记
· · · · · · (收起)
读后感
最近对中学数学的争议不断，有人叫数学滚出高考，还有说是要降低难度，但也有人指出要让学生了解一点近现代的数学思想。本人自然是赞同后者，只是不能把数学系的课程直接提前下放，而是侧重于中学数学知识的延伸，特别是可以引入所谓的新奇数学（这是由Strongart教授提出的概...
本书是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共分3卷。第一卷：算术，...
本书是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共分3卷。第一卷：算术，...
本书是克莱因根据自己在哥廷根大学多年为德国中学数学教师及在校学生开设的讲座所撰写的基础数学普及读物。该书反映了他对数学的许多观点，向人们生动地展示了一流大师的遗风，出版后被译成多种文字，是一部数学教育的不朽杰作，影响至今不衰。全书共分3卷。第一卷：算术，...
001）40页·图23.16，存在细节上的错误。 002）41页16行：……，则由于f（x）在x0【。邻近的#？】连续性，…… 003）65页正文最后一行的等式里：第一次出现的【alpha-nu#alpha-gamma】.――希腊字母，敝人暂时直接输入不了， 004）87页9行：（3）f（x）是分段单调的，即只有有...
用户评价
我一直对数学抱有一种敬畏之心，觉得它是一门严谨而深奥的学科。在阅读《高观点下的初等数学》之前，我以为自己已经对它有了相当程度的了解，毕竟基础的几何、代数、微积分等课程都学习过。然而，这本书彻底刷新了我的认知。作者以一种极其宏大且独到的视角，将初等数学中的各个分支，如数论、代数、几何、分析等，进行了前所未有的整合和升华。他并没有简单地罗列公式和定理，而是通过层层递进的论证和引人入胜的例子，揭示了这些初等概念背后更深刻的数学思想和结构。我尤其欣赏书中对抽象概念的阐释，它能够将一些看似复杂的数学对象，用一种清晰、简洁的方式来呈现，让我看到了数学的普适性和内在的美感。例如，一个在小学阶段就出现的简单概念，在更高的视角下，竟然可以与复杂的拓扑学或者抽象代数联系起来，这种跨越式的连接，让我惊叹不已。这本书不仅拓宽了我的数学视野，更重要的是，它教会了我如何用一种更具洞察力的方式去思考数学问题。
坦白说，一开始翻开《高观点下的初等数学》时，我有些犹豫，担心会涉及过于复杂的数学理论，超出我的能力范围。但读进去之后，才发现这本书的奇妙之处。它并没有用那些晦涩难懂的专业术语来吓唬读者，而是从一个非常“初等”的角度出发，却带领我们看到了一个“高”得多的数学世界。作者的叙述方式非常独特，他能够将那些看似零散的数学知识，通过一种巧妙的逻辑线索，串联成一个完整的体系。我发现，很多我们在初高中阶段接触到的数学概念，在作者的笔下，竟然蕴含着如此深刻的内涵和广阔的应用。他并非简单地复述定理，而是引导读者去思考这些定理的由来，去探究它们背后的思想源泉。读这本书，就像是在攀登一座数学的山峰，每一步都充满了发现的惊喜，而每一次登高，都能看到更壮丽的数学风景。我尤其喜欢书中那些精巧的比喻和类比，它们能够帮助我理解那些抽象的概念，让数学变得鲜活起来，不再是冷冰冰的符号和公式。
我之前对数学的认知，总觉得它是一堆孤立的知识点，学完一个就忘了下一个，很难形成系统性的理解。直到我接触了《高观点下的初等数学》，才真正体会到什么叫做“融会贯通”。这本书的独特之处在于，它并没有把初等数学割裂开来，而是用一种全新的视角，将那些我们熟知的概念，如代数、几何、概率等，串联成一个有机整体。作者巧妙地运用了一些更高级的数学思想，比如抽象化、类比、模型等，来重新审视和讲解这些初等概念，从而展现出它们之间深刻的内在联系。读完之后，我才恍然大悟，原来高中时学的很多公式和定理，竟然都是更宏大数学理论在特定条件下的表现形式。这种“站在巨人肩膀上”的感觉，让我对数学的理解不再停留在表面的计算和记忆，而是上升到了对数学思想和逻辑结构的把握。书中的例子也很有代表性，它们并非堆砌难度的证明题，而是通过一些巧妙的设计，来揭示隐藏在现象背后的数学本质。我常常会因为一个简短的论述而陷入沉思，然后豁然开朗，那种感觉真的太美妙了。
这本《高观点下的初等数学》真是让我大开眼界！我一直以为自己对数学的理解已经足够扎实，毕竟高中、大学的课程也没少学，各种题型也算见过不少。但读了这本书，才发现自己之前的认知不过是冰山一角，甚至可以说是“坐井观天”。作者从一个前所未有的高度，将那些我们习以为常的数学概念，比如数、函数、几何等等，重新进行了梳理和阐释。他并没有直接抛出复杂的公式和定理，而是循序渐进地引导读者去思考，去质疑，去发现这些概念背后更深刻的联系和本质。尤其让我印象深刻的是，他通过一些看似简单却极其巧妙的例子，展现了数学的普适性和统一性。比如，一个在初等代数中处理得十分直观的问题，换个角度，用集合论的语言去描述，瞬间就变得清晰无比，也揭示了其背后隐藏的更普遍的规律。这种“化繁为简”的解释方式，恰恰是“高观点”的魅力所在，它让我们看到了数学的美丽，不仅在于它的严谨和逻辑，更在于它的思想深度和艺术性。这本书并非一本简单的“解题技巧”手册，它更像是一次数学思想的洗礼，让我对整个数学体系的认知有了质的飞跃。
怎么说呢，《高观点下的初等数学》这本书，给我最直观的感受就是“颠覆”。我一直认为自己对数学还算有些心得，毕竟在学习过程中也花了不少功夫。但这本书，完全改变了我对数学的看法。它并没有直接教授复杂的定理或者证明方法，而是从一种更高、更抽象的视角，来审视我们平常所接触的初等数学概念。我印象最深的是，书中通过一些非常精妙的例子，将原本看似独立的数学分支，如代数、几何、甚至一些概率论的基础，都联系了起来。我之前学习的时候，总觉得这些是分块的知识，学完一个模块就结束了，很难看到它们之间的共性。但这本书，就像一个神奇的放大镜，放大了这些联系，让我看到了数学背后统一的语言和思想。它并不是在增加难度，反而是通过揭示更深层次的规律，让原本看起来繁琐的知识变得更加清晰易懂。这本书让我明白，所谓的“高观点”，并非遥不可及，而是能够让我们以更广阔的视野，更深刻地理解那些我们以为已经掌握的知识。
如果你喜欢数学，这本书必读！这个高观点还是很高观点的，至少以我一般工科高等数学的底子是读不完整，我看数学专业学完两年说不定能读个大半……但是无论能否完全读懂都能看出作为数学家和教育家的克莱因的伟大！毕竟有些书是不可能一遍读懂的。
: O12/4246#1
这个应该给有志于数学教学的人看。。。
站在巨人的肩膀上
站在巨人的肩膀上
