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出版者:Cambridge University Press

作者:S. G. Hoggar

出品人:

页数:490

译者:

出版时间:1993-2-26

价格:USD 55.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521375740

丛书系列:Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science

图书标签:

• 计算机图形学
• 数学基础
• 线性代数
• 几何学
• 微积分
• 数值计算
• OpenGL
• DirectX
• 游戏开发
• 渲染技术

深入探究：计算机图形学中的核心数学原理与前沿应用 书名：《几何代数与实时渲染中的计算几何学：从基础理论到高效算法实现》 内容简介： 本书致力于为计算机图形学、计算机视觉以及相关领域的研究人员和高级开发者提供一套全面、深入且具有实践指导意义的数学工具箱。我们着重探讨那些在现代图形流水线、几何建模、物理仿真以及沉浸式技术（如虚拟现实和增强现实）中扮演关键角色的数学分支，而非传统意义上的微积分或线性代数在基础渲染中的应用。全书结构严谨，从理论的构建到具体算法的实现，力求在数学的严谨性与工程实践的有效性之间找到最佳平衡点。 --- 第一部分：现代几何建模与表示的数学基础 (Foundations for Modern Geometric Representation) 第一章：微分几何在曲面建模中的应用 本章将深入探讨如何使用微分几何的语言精确地描述和操作三维空间中的复杂曲面。我们将超越传统的参数化表面，聚焦于黎曼几何在非均匀有理B样条（NURBS）的局部稳定性和全局控制上的高级应用。重点分析曲率张量（Curvature Tensor）的计算及其在表面平滑、特征保持细分算法中的作用。我们将详细阐述主曲率、高斯曲率和平均曲率的精确计算方法，并引入测地线（Geodesics）的概念，解释它们如何在复杂地形和动画角色蒙皮中实现自然的变形和约束。 第二章：代数拓扑与网格简化 传统的网格处理往往依赖于局部度量，容易在简化过程中破坏全局拓扑结构。本章引入代数拓扑的基本工具，特别是胞腔复形（Cell Complexes）和链复形（Chain Complexes）。我们阐述边界算子（Boundary Operator）和上链算子（Coboundary Operator）在识别和修复网格中的“洞”（Genus）问题上的强大能力。此外，我们详细介绍基于霍莫洛吉群（Homology Groups）的网格简化算法，如何保证简化后的模型在拓扑上与原模型等价，这对于需要保留复杂空洞结构的模型（如分子结构或镂空艺术品）至关重要。 第三章：几何代数（Geometric Algebra）与空间变换 本书认为，在处理高维空间和复杂变换时，传统的向量和矩阵运算存在表达上的局限性。本章系统介绍几何代数，特别是Clifford代数在三维空间中的具体实例化——几何代数 G(3)。我们将展示多向量（Multivectors）如何统一表示点、线、平面、体积元素乃至旋转器（Rotors）和变换器（Transformers）。重点在于，如何利用几何代数实现代数乘法（Geometric Product）来替代复杂的矩阵乘法，从而在代码层面实现更简洁、更具几何直觉的坐标变换、反射和投影操作。 --- 第二部分：实时渲染中的高效计算几何 (Computational Geometry for Real-Time Rendering) 第四章：光线追踪中的碰撞检测优化 随着光线追踪技术进入实时渲染领域，碰撞检测的效率成为瓶颈。本章摒弃传统的轴对齐包围盒（AABB）层次结构，转而探讨基于空间划分的复杂结构。我们深入分析Kd 树和八叉树的动态构建与平衡策略，尤其关注BVH（包围盒层次结构）的构建质量度量，如表面积启发式（Surface Area Heuristic, SAH）。我们将提供C++实现细节，展示如何利用SIMD指令集对射线与包围盒的求交测试进行并行化加速。 第五章：蒙特卡罗积分与全局光照 本章侧重于统计物理学和概率论在渲染方程求解中的应用。我们详细剖析蒙特卡罗积分的基本理论，并重点讨论如何减小采样方差。内容包括：重要性采样（Importance Sampling）的多种策略，如基于BRDF的采样和基于光源的采样；多重重要性采样（Multiple Importance Sampling, MIS）的原理及其在复杂着色器（如次表面散射）中的应用。此外，我们还涵盖准蒙特卡罗序列（Quasi-Monte Carlo sequences），如Sobol序列和Halton序列，在改善低样本数下的图像质量上的表现。 第六章：有限元方法（FEM）在动态模拟中的集成 本书将动态模拟视为一个连续系统的离散化问题。本章聚焦于有限元方法在处理弹性体和柔体模拟中的优势。我们将解释如何将PDE（偏微分方程）形式的物理定律（如拉普拉斯方程或Navier-Stokes方程）离散化为刚度矩阵和质量矩阵。关键内容包括：对形函数（Shape Functions）的选择，如何构建稳定的系统矩阵，以及使用共轭梯度法等迭代求解器来高效解决大型稀疏线性方程组，以驱动高质量的布料和非线性弹性形变。 --- 第三部分：数据驱动的几何处理与优化 (Data-Driven Geometry Processing and Optimization) 第七章：流形学习与参数化 在处理高维、非线性数据（如大量的3D扫描数据或复杂变形集合）时，需要强大的降维工具。本章介绍流形学习技术，如Isomap和LLE（局部线性嵌入），如何揭示数据内在的低维结构。特别地，我们将重点讨论如何将这些技术应用于纹理映射和几何参数化中，以实现对高度扭曲或具有自相交拓扑的网格的无缝参数化，有效避免纹理拉伸和破碎。 第八章：张量分析在法线传播与纹理合成中的应用 本章引入张量分析的概念，用于处理各向异性信息。我们展示如何使用二阶张量来编码局部表面的方向性信息，例如在各向异性反射模型（如Blinn-Phong的变体）中，张量可以精确描述材料表面微观结构的取向。在纹理合成方面，我们将探讨纹理场（Texture Fields）的构建，如何利用张量来驱动图案在曲面上的自然传播和扭曲，以模拟复杂的雕刻细节或纤维方向。 第九章：计算几何中的鲁棒性与误差分析 在实际的计算机图形应用中，浮点数的精度限制和输入数据的噪声常常导致算法失效。本章从数值稳定性的角度审视所有前述算法。我们将介绍拓扑不变量的健壮计算方法，例如使用有界算术或区间分析来判断关键几何事件（如点在三角形内、两条边是否相交）的真实性，从而确保算法在面对“病态”输入时依然能保持几何上的正确性。 --- 本书特色： 本书的编写风格注重数学形式与工程实现之间的桥梁构建。每章后都附有“算法实现要点”部分，详细说明了如何将复杂的数学概念转化为高效的GPU或CPU代码。我们假设读者已具备扎实的线性代数和微积分基础，目标是将其数学能力提升至能够理解和实现当前最先进图形算法的水平。本书旨在成为图形学研究者、引擎开发者和高性能计算工程师不可或缺的参考手册。

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作为一名对计算机视觉和机器学习交叉领域感兴趣的研究生，我需要一本能够无缝衔接传统图形学和现代数据驱动模型的数学参考书。《Mathematics for Computer Graphics》在这方面表现出色，尤其是在处理高维空间和统计方法时。书中对协方差矩阵在数据降维（如PCA在形状分析中的应用）的介绍，以及对概率论在蒙特卡洛渲染（如路径追踪）中的基础作用的阐述，都展示了作者跨越传统界限的视野。这本书的论证过程极其流畅，它将代数拓扑中的一些基本概念巧妙地嵌入到曲面参数化和网格处理的讨论中，这对我进行前沿的形状表示研究提供了宝贵的数学工具箱。对我来说，它更像是一本高级“数学工具手册”，每当我在研究论文中遇到陌生的数学符号或方法时，翻开这本书，总能找到清晰的定义和在图形学语境下的应用实例。它的深度允许我将其作为未来深入研究的理论基石，而不是仅仅作为一次性的学习材料。

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我一直认为，要真正精通计算机图形学，就必须精通支撑它的数学。这本书证明了这一点，而且是以一种令人信服的方式。我最欣赏的是它对“离散化”这一核心概念的处理。在连续的数学世界和离散的像素世界之间架起桥梁，是图形学最大的挑战之一，而这本书通过详尽地介绍有限元方法（在某些高级章节中有所提及）和数值积分的原理，展示了如何将平滑的几何体转化为可计算的数字模型。书中的图例虽然不多，但每一个都经过精心设计，它们不是用来“装饰”的，而是为了强化特定的数学概念，比如向量场的流线或是曲率的局部变化。这本书的难度曲线设置得非常合理，它让你在感到挑战的同时，始终保持着“我能理解”的信心。它迫使你亲自去推导那些关键的几何关系，而不是被动接受结果。读完之后，我对光线与复杂表面（比如非均匀有理B样条NURBS）的交互有了全新的、更具数学严谨性的认识。它是一部关于“如何让计算机理解几何”的深度哲学与工程指南。

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我对市面上许多声称是“面向应用”的数学书籍感到失望，它们要么数学深度不够，蜻蜓点水，要么数学推导过于跳跃，让人望而却步。然而，这本《Mathematics for Computer Graphics》成功地找到了一个完美的平衡点。它的叙事风格非常专业且富有洞察力，适合已经有一定编程基础，渴望了解图形管线背后“为什么会这样运作”的进阶读者。书中对四元数（Quaternions）的介绍尤为精彩，它不仅解释了四元数如何优雅地解决万向节死锁（Gimbal Lock）问题，还详尽地阐述了其与旋转矩阵之间的转换关系，这在许多入门书籍中都是一带而过的内容。我特别欣赏作者在处理微分几何部分时的严谨性，它为理解复杂的曲面法线计算和光线追踪中的反射与折射提供了必要的理论支撑。阅读体验上，这本书的排版精良，公式的显示清晰无误，这对于需要反复对照公式进行调试和实验的开发者来说，是极大的便利。它不是一本用来快速翻阅的工具书，而是一部需要沉下心来细细品味的参考宝典，每一次重读都能挖掘出新的理解层次。

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这本书简直是为我量身定做的！我是一个对计算机图形学充满热情的初学者，但数学基础相对薄弱。我原本以为那些复杂的线性代数、微积分和几何概念会像一堵高墙一样挡在我面前，但《Mathematics for Computer Graphics》这本书完全颠覆了我的看法。作者非常巧妙地将抽象的数学原理与实际的图形渲染、变换和光照模型紧密结合起来。例如，在讲解矩阵变换时，书中不仅给出了严谨的公式推导，还配有大量的2D和3D示例图，直观地展示了旋转、缩放和平移是如何通过矩阵乘法实现的。更让我惊喜的是，它并没有停留在理论层面，而是深入探讨了如何用这些数学工具来解决实际问题，比如曲面建模中的Bézier曲线和样条插值，以及碰撞检测中的向量运算。阅读过程中，我感觉自己不是在啃枯燥的数学教材，而是在学习一门关于“如何用数字描述和创造视觉世界”的实用技术。这本书的结构清晰，章节之间的逻辑衔接非常自然，即便是像我这样数学底子不扎实的读者，也能一步步跟上节奏，建立起坚实的数学直觉。对于任何想深入理解底层图形算法的人来说，这本书的价值无可估量。

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坦白说，我购买这本书的初衷是希望解决我在实时渲染中遇到的性能优化问题，特别是涉及到投影和深度缓冲（Z-buffer）的数学细节。这本书没有辜负我的期望，它在几何变换和投影矩阵的讲解上简直是教科书级别的典范。作者没有仅仅满足于解释透视投影的原理，而是深入剖析了从世界坐标到屏幕坐标的每一步矩阵操作的几何意义，这对于调试自定义渲染通道至关重要。此外，书中关于数值稳定性的讨论也十分到位，这在处理大规模场景或高精度计算时显得尤为重要。我注意到它对光线追踪基础的介绍，特别是如何用解析方法求解光线与二次曲面的交点，展示了强大的数学工具如何直接转化为高效的算法实现。这本书的语言风格有一种老派数学家的沉稳与精准，它要求读者投入专注力，但作为回报，它给予的知识深度是目前市场上大多数“快速入门”读物无法比拟的。它让我对“计算机图形学”的理解从表面的API调用，提升到了对底层数学原理的深刻掌握。

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