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出版者:

作者:Friedberg

出品人:

页数:0

译者:劉勇

出版时间:2006

价格:380

装帧:

isbn号码:9789571206356

丛书系列:

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深入淺出：高等數學概念與應用 本書旨在為學習高等數學的讀者提供一個全面且深入的導覽，涵蓋從基礎微積分到更進階的離散數學與數值分析等核心領域。我們致力於在嚴謹的數學理論與實際應用之間建立一座堅實的橋樑，幫助讀者不僅掌握計算技巧，更能理解數學概念背後的深刻邏輯與美學。 第一部分：微積分的基石與拓展 (Calculus: Foundations and Extensions) 本部分將回顧並深化讀者對微積分學的理解，這是一切高等數學學習的基礎。 單元一：極限、連續性與導數 (Limits, Continuity, and Derivatives) 嚴謹的極限定義： 探討 $epsilon-delta$ 語言在嚴格定義極限中的作用，並介紹極限的各種存在與不存在情況的判例。討論函數在無窮遠處的極限行為。 連續性的深入剖析： 區分不同類型的間斷點（可去、跳躍、無限）。深入探討在閉區間上的連續函數所具備的重要性質，如極值定理（Extreme Value Theorem）和介值定理（Intermediate Value Theorem）。 導數的幾何與物理意義： 不僅限於斜率，更著重於瞬間變化率的概念，並介紹導數在物理學中描述運動、速率與加速度的角色。 微分法則的系統化： 詳盡推導並應用乘法定律、除法定律、連鎖律（Chain Rule）的各層次應用。特殊函數（三角函數、指數函數、對數函數）的微分法則將被仔細闡述。 高階導數與應用： 介紹二階導數在判斷函數凹凸性（Concavity）和拐點（Inflection Points）中的關鍵作用，並運用洛必達法則（L'Hôpital's Rule）解決不定式極限問題。 單元二：積分學的理論與技巧 (Integral Calculus: Theory and Techniques) 黎曼和與定積分的定義： 從黎曼和的極限概念出發，建立定積分的嚴謹定義，並探討積分的可積性問題。 微積分基本定理 (The Fundamental Theorem of Calculus)： 詳細分析其兩部分定理的內涵與外延，闡釋微分與積分的互逆關係。 積分技巧的全面掌握： 系統性地介紹變數變換法（Substitution Rule）、分部積分法（Integration by Parts）、三角函數積分、三角代換（Trigonometric Substitution）、以及有理函數的代數分解法（Partial Fraction Decomposition）。 廣義積分 (Improper Integrals)： 處理積分區間為無窮大或被積函數在區間內有奇點的情況，並探討其收斂性判斷標準。 微積分在工程與科學中的應用： 涵蓋面積、體積（圓盤法、洗淨法、殼層法）、曲線弧長、以及物理學中功、質心、轉動慣量的計算。 單元三：超越單變數的界限——多變數微積分 (Multivariable Calculus) 空間中的函數與圖像： 介紹二維與三維空間中的向量、平面與曲面方程，並探討多變數函數的極限與連續性。 偏導數與梯度向量 (Partial Derivatives and the Gradient)： 系統定義偏導數，並闡述梯度向量在指明函數最大增長方向上的重要性。 方向導數與鏈式法則的推廣： 學習如何計算函數沿任意方向的變化率，並熟練應用多變數鏈式法則處理複雜的隱函數求導。 多元函數的優化問題： 尋找多元函數的臨界點，利用二階偏導數測試（Hessian Matrix）判斷極值類型。 多重積分 (Multiple Integrals)： 詳盡闡述直角坐標系下的二重與三重積分，理解其在計算體積與質量分佈中的應用。引入極坐標、柱面坐標和球坐標變換，以簡化複雜區域的積分計算。 線積分與面積分 (Line and Surface Integrals)： 介紹向量場、保守場的概念，並深入探討格林定理（Green's Theorem）、斯托克斯定理（Stokes' Theorem）和散度定理（Divergence Theorem）——這些是連接微分與積分的宏偉工具。 --- 第二部分：微分方程的建模與求解 (Differential Equations: Modeling and Solution Techniques) 微分方程是描述自然界動態變化的核心語言。本部分旨在提供解決常見微分方程的標準流程和理論依據。 單元四：常微分方程 (Ordinary Differential Equations, ODEs) 一階 ODEs 的分類與求解： 詳解可分離變量方程、齊次方程、恰當方程（Exact Equations）以及一階線性方程（利用積分因子）。著重於如何根據實際問題建立對應的一階 ODE 模型。 二階線性常係數 ODEs： 系統推導齊次與非齊次方程的通解結構。重點講解常數變易法（Variation of Parameters）和待定係數法（Undetermined Coefficients）在求特解中的應用。 拉普拉斯變換 (Laplace Transforms)： 將微分運算轉化為代數運算，是求解帶有不連續項或衝擊函數的初始值問題的強大工具。詳細介紹變換和逆變換的性質及其在電路分析等領域的應用。 系統與相平面分析： 介紹二階系統（如質量-彈簧系統）的解耦方法，並利用相平面分析法（Phase Plane Analysis）定性研究系統的穩定性。 --- 第三部分：數學結構的抽象與應用 (Abstraction and Application in Mathematical Structures) 本部分將引領讀者從具體的計算轉向更抽象、更結構化的數學思考。 單元五：離散數學基礎 (Foundations of Discrete Mathematics) 集合論與邏輯： 回顧集合的運算，並介紹命題邏輯與謂詞邏輯，理解證明方法的基礎結構（直接證、反證、數學歸納法）。 關係與函數： 深入探討等價關係、偏序關係，並分析其在結構化數據分類中的重要性。 圖論入門 (Graph Theory)： 介紹圖的定義、連通性、歐拉路徑與哈密頓迴路。應用於網路分析和最短路徑問題。 單元六：數值分析與計算方法 (Numerical Analysis and Computational Methods) 本單元聚焦於當解析解難以求得時，如何使用計算機輔助尋求近似解。 誤差分析與有效數字： 探討浮點運算中的截斷誤差和捨入誤差，理解計算穩定性的重要性。 非線性方程的求解： 詳細分析牛頓法（Newton's Method）的迭代過程及其收斂速度，並介紹割線法（Secant Method）。 數值積分： 介紹梯形法則（Trapezoidal Rule）和辛普森法則（Simpson's Rule）作為黎曼和的改進，以提高數值計算的精度。 數值微分： 探討使用有限差分法（Finite Difference）來近似導數的各種公式。 本書的結構設計旨在引導學生循序漸進地掌握從連續到離散、從解析到數值的數學工具箱，為未來在工程、計算機科學、經濟學及其他量化領域的研究與實踐打下堅實而全面的數學基礎。每章節後都附有精心設計的習題，用以鞏固理論理解並提升實踐應用能力。

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我对这本书的整体结构和逻辑组织方式非常欣赏。它不是那种简单地把题目堆砌在一起的习题册，而是展现出一种清晰的层次感。章节的划分紧密贴合核心概念的引入顺序，从最基础的向量空间到线性变换，再到特征值和特征向量，每一步的过渡都显得水到渠成，没有突兀感。更重要的是，它似乎非常注重知识点的螺旋上升。你会发现，初级章节的概念在后续的高级章节中会以更复杂的形式被重新应用和检验，这种反复巩固的设计极大地加深了对抽象概念的理解。作者在每个部分开始前对相关理论的简要回顾，也像是一份高质量的“复习导览”，让人能迅速进入状态，明确接下来要解决的问题属于哪个知识体系的范畴。这种精心设计的知识地图，让我在面对庞大的代数体系时，不再感到迷失，而是能按部就班地构建起自己的知识框架。

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这本书给人的整体感觉是那种“经得起推敲”的学术品质。它不是那种为了凑页数而堆砌习题的快餐读物，而是凝聚了作者对该领域深刻理解的结晶。它的价值在于它对概念的“精确性”的强调。在处理那些容易产生歧义的数学语言时，本书始终保持着高度的严谨，确保读者对每一个术语的理解都是最纯粹、最符合现代代数规范的。这种对精确性的不懈追求，无形中也在塑造读者自身的学术规范。阅读和使用它，就像是进行了一次严格的学术训练，它要求你不能有丝毫的马虎和侥幸心理。这种深度和认真的态度，使得这本书不仅仅是一本辅助教材，更像是一本可以陪伴我未来几年研究和学习的参考书，其长期价值是无可估量的。

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如果说其他教材是地图，那么这本书更像是一位经验丰富的向导，它在关键的“险滩”处提供了细致入微的指引。虽然我不能具体描述习题的解法，但其提供的思路梳理简直是醍醐灌顶。很多时候，当我们卡在某个证明的中间步骤时，这本书的解答部分不会直接给出最终的结论，而是会先剖析导致困难的“思维陷阱”，指出哪个定理的应用条件可能被忽略，或者哪种视角可能更有效。这种讲解方式，让我体会到了“授人以渔”的真正含义。它不是直接把鱼喂到嘴里，而是耐心地展示如何识别水流方向、如何选择合适的渔具。这种注重过程和方法的讲解风格，极大地提升了我独立解决问题的信心，因为我知道，即使遇到全新的、从未见过的题型，我也能从中学到的方法论中找到突破口。

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这本书在题目类型的覆盖面上展现了惊人的广度和深度。我过去使用的其他习题集，很多侧重于计算的熟练度，但这本书明显超越了单纯的计算练习。它巧妙地融合了理论证明题、应用型案例分析以及需要跳出常规思维的开放式问题。特别是那些被标记为“挑战性”的习题，它们不仅仅是数值上的复杂，更是对底层数学原理的深刻拷问。完成这些题目的过程，就像是经历了一次次智力上的“搏击”，迫使我去重新审视教科书上的每一个定义和定理的边界条件。我感觉自己不仅仅是在做题，更是在主动地探索数学世界的边界。这种多维度的训练，对于培养一个真正能够运用线性代数解决实际问题的能力来说，是极其宝贵的资源，远非应付考试的题海战术所能比拟。

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这本书的装帧和纸张质量绝对让人眼前一亮，初次拿到手的时候，那种沉甸甸的分量感和封面那种略带磨砂质感的触感，都透露出一种专业和严谨的气息。内页的排版设计堪称一流，字体的选择清晰易读，尤其是那些复杂的数学符号和矩阵的展示，都没有出现模糊不清或者排版拥挤的情况。这对于一本需要反复研读的教材来说至关重要，毕竟阅读体验直接影响学习效率。我发现，即便是长时间盯着书页看那些复杂的公式推导，眼睛也不会感到特别疲劳。页边距的处理也很恰当，既留出了足够的注释空间，又不会让页面看起来过于空旷。装订方面也做得相当扎实，书脊即使在多次翻开和压平学习的过程中，也丝毫没有松动的迹象，这说明出版社在制作上确实下了功夫，保证了这本书在整个学习周期内的耐用性。整体而言，从物理层面上看，这本习题集无疑是一件制作精良的工具书，为接下来的数学攻坚战打下了坚实的基础。

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