Finite Fields for Computer Scientists and Engineers (The Springer International Series in Engineerin pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Robert J. McEliece

出品人:

页数:220

译者:

出版时间:1986-11-30

价格:USD 179.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780898381917

丛书系列:

图书标签:

• 计算机科学
• 经典教材
• 数学
• programming
• Finite Fields
• Coding Theory
• Cryptography
• Computer Science
• Engineering
• Mathematics
• Algebra
• Information Theory
• Algorithms
• Error Correction

代数结构与现代计算的交汇：一本面向实践者的数学指南 书名：群、环与域的现代应用：离散数学在信息技术中的实践 作者：[虚构作者姓名，例如：艾伦·卡特赖特] 出版社：[虚构出版社，例如：创新科技出版社] --- 内容概述 本书旨在为计算机科学家、软件工程师以及专注于数据科学和信息安全领域的专业人士，提供一套扎实且极具应用价值的抽象代数基础。我们深入探讨了群论、环论和域论的核心概念，并着重展示这些看似纯粹的数学结构如何在现代计算的各个领域中发挥关键作用。与仅关注有限域（Finite Fields）的传统教材不同，本书将视角拓宽至无限域、结构同构、模运算的推广，以及这些概念在更广泛的算法设计中的体现。 全书结构清晰，理论推导严谨，但始终保持对工程实践的关注，确保读者能够将抽象概念无缝对接至实际问题求解。 --- 第一部分：基础结构——从集合到群 本部分为后续更复杂的结构打下坚实的基础，重点强调代数运算的封闭性、结合性、单位元和逆元的存在性，这是构建所有代数系统的基石。 第一章：集合论基础与代数运算的定义 1. 集合的严谨定义与函数映射： 回顾集合论的基本术语，特别是满射、单射和双射的性质及其在构造代数结构中的重要性。 2. 二元运算的公理化： 详细阐述运算的封闭性、结合律、交换律（仅在特定结构中要求）。 3. 同余关系与等价类： 深入探讨模运算的本质，如何利用等价关系将无限集合（如整数集 $mathbb{Z}$）划分为有限的、可管理的结构。 第二章：群论：对称性与变换的语言 1. 群的严格定义与基本性质： 介绍抽象群的四个公理，并分析半群、幺半群与群的区别。 2. 常见群的实例分析： 加法群与乘法群： 整数加法群 $mathbb{Z}$ 与非零有理数乘法群 $mathbb{Q}^$ 的对比。 对称群 $S_n$： 详细分析置换群的结构、阶（Order）以及其在密码学中作为混淆函数的潜力。 二面体群 $D_n$： 作为非阿贝尔群（Non-Abelian Group）的典型例子，探讨其在图形处理和机器人运动规划中的应用。 3. 子群、陪集与拉格朗日定理： 深入理解子群的概念，推导陪集（Cosets）的性质，并应用拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）来限制群的阶数，这对于计算复杂性分析至关重要。 4. 同态与同构： 定义结构保持的映射（同态），并区分保留所有代数结构特征的同构（Isomorphism）。探索第一同构定理（First Isomorphism Theorem）在简化复杂群结构中的作用。 5. 正规子群与商群的构造： 引入正规子群（Normal Subgroups）的概念，这是构造商群（Quotient Groups）的先决条件。商群的构建展示了如何“折叠”一个群，从而在保持核心结构信息的同时，获得一个更简洁的群模型，这对有限域构造中的因子群分析至关重要。 --- 第二部分：环论——带两种运算的代数世界 环是群概念的自然延伸，引入了第二种运算（乘法），使得结构更加丰富，能够更好地模拟算术运算。 第三章：环的定义、性质与实例 1. 环的公理化： 定义加法群结构和满足分配律的乘法结构。区分交换环（Commutative Rings）和非交换环。 2. 特殊环的类型： 整环（Integral Domains）： 讨论无零因子（Zero Divisors）的特性，以及它们与域（Fields）的紧密关系。 主理想域（PIDs）与唯一因子分解域（UFDs）： 重点分析欧几里得整环（Euclidean Domains）的结构，以及如何利用欧几里得算法（及其推广，如扩展欧几里得算法）来求解线性同余方程组。 第四章：理想、模与环的同态 1. 理想（Ideals）： 将子群的概念推广到环的乘法结构中，定义左、右理想和双边理想。理想是构造商环的基础。 2. 模运算的推广： 深入理解商环（Quotient Rings）的概念，即 $ ext{R}/ ext{I}$ 的构造，这对于理解代数编码理论中的多项式环至关重要。 3. 环的同构定理： 将群同构定理扩展到环结构上，展示如何通过同构将复杂的环映射到更易处理的结构上。 --- 第三部分：域与数域——代数运算的完备性 域是代数结构中最“自由”的部分，它允许加法、减法、乘法和非零元素的除法运算，是现代密码学和编码理论直接依赖的数学对象。 第五章：域的结构与特征 1. 域的定义与基本性质： 强调域中所有非零元素都形成一个交换群（乘法群）。 2. 域的特征（Characteristic）： 定义域的特征是 $p$ 还是 $0$。分析特征 $p$ 的域（如 $mathbb{F}_p$）的特殊代数性质，并将其与特征为零的域（如 $mathbb{Q}, mathbb{R}$）进行对比。 3. 素域与有理数域： 证明每个域都包含一个素域（Prime Field），素域要么是整数模 $p$ 的域 $mathbb{F}_p$，要么是整数域 $mathbb{Q}$。 第六章：多项式环与域的扩充 1. 多项式环 $F[x]$： 讨论在域 $F$ 上的多项式环的结构。证明 $F[x]$ 是一个欧几里得整环，并应用除法算法。 2. 不可约多项式与域扩张： 介绍不可约多项式（Irreducible Polynomials）的概念，它们是构造有限域的关键“砖块”。 3. 域扩张（Field Extensions）： 详细解释如何通过不可约多项式 $ ext{m}(x) in F[x]$ 来构造域 $E = F[x] / langle ext{m}(x) angle$。本书将侧重于 $E$ 的线性代数视角，探讨其向量空间基的确定，而非仅仅停留在域的封闭性上。 --- 第四部分：应用导向的代数结构 本部分将前三部分的理论应用于实际的计算机科学和工程问题中，强调通用性和可扩展性。 第七章：线性代数在抽象代数中的体现 1. 向量空间与模： 将向量空间视为定义在域上的阿贝尔群，并推广到定义在环上的模（Modules）。 2. 矩阵群与一般线性群： 分析 $GL(n, F)$（一般线性群）的结构，它是密码学中矩阵变换（如Hill密码）和有限域扩张中线性变换的理论基础。 3. 行列式与逆矩阵的代数基础： 使用环的性质来理解行列式如何判断矩阵的乘法可逆性。 第八章：代数在编码理论与信息安全中的扩展 1. 有限域的结构与构造（超越有限域本身）： 本章将概述有限域的构造原理——它们总是在某个素数 $p$ 的特征下，通过 $GF(p^k)$ 的形式存在，并着重于如何利用二次、三次域扩张来构建更大的代数结构，为更复杂的纠错码（如BCH码）奠定基础。 2. 理想与分组码（Block Codes）： 讨论如何利用理想理论来描述线性分组码（Linear Block Codes）的结构，以及如何使用商环来定义校验矩阵和生成矩阵。 3. 循环群在公钥密码中的应用： 讨论大素数阶循环群（如 $mathbb{Z}_p^$ 或椭圆曲线上的点群）的结构性质，这些性质如何保证诸如Diffie-Hellman和RSA等公钥算法的安全性。 --- 总结 本书超越了对特定代数结构（如有限域）的孤立研究，而是提供了一个统一的框架，将群、环和域的理论视为一个连贯的数学体系。读者将掌握如何识别和利用不同数学结构之间的联系，从而能够更灵活、更深入地设计和分析复杂的计算算法，无论是在理论密码学、代数编码还是高性能计算领域。本书是连接纯数学和工程实践之间的重要桥梁。

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坦白说，这本书的语言风格和行文逻辑，对于一个习惯了工程文档简洁明了叙事的读者来说，显得有些过于古典和学术化了。它采用了教科书式的严密结构，每一个章节的过渡都仿佛是精心设计的逻辑链条，试图将读者从基础的概念一步步引导至高级的理论前沿。我特别留意了书中关于有限域乘法和求逆的章节，期待能看到针对现代处理器架构（比如SIMD指令集）进行优化的具体讨论，或者至少是不同有限域大小下的计算复杂度对比分析。遗憾的是，这些内容要么被极其简略地提及，要么完全被更纯粹的代数证明所取代。我理解，作为一本面向“科学家和工程师”的书籍，它试图在两者之间找到平衡，但从我个人的体验来看，这种平衡点似乎更偏向于“科学家”的那一端。它的排版和图示也偏向于传统的数学书籍风格，清晰但缺乏现代工程书籍中常见的流程图、数据流图或者性能对比曲线图，这让我在试图快速消化复杂概念时，缺乏必要的视觉辅助。这感觉就像是拿着一把非常精密的瑞士军刀，却发现它最好的刀片被锁在了需要花半小时阅读说明书才能解锁的保险柜里。

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从另一个角度来看，这本书的严谨性对那些希望深入理解现有密码算法内部构造的读者来说，无疑是一大亮点。例如，当我在研究椭圆曲线加密（ECC）中的点乘运算时，如果我对有限域乘法的代数性质缺乏深刻理解，那么我看到的就只是一堆模运算的堆砌。这本书提供了将这些运算还原到最基本数学原理的工具箱。然而，这种严谨性也带来了阅读上的挑战性。章节之间的逻辑跳跃有时对于非专业背景的读者来说会显得生硬。我发现自己不得不经常暂停阅读，去查阅离散对数、特征值分解等相关概念的定义，这极大地拖慢了我的进度。如果能有更多的“工程注解”或者“应用启示”的边栏注释，将不同的理论点与其在实际工程（如FPGP/ASIC实现）中的意义联系起来，这本书的实用价值可能会大幅提升。目前的版本更像是为数学系高年级学生量身定制的教材，而非为跨界工程师准备的实用手册。

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在资源丰富度方面，这本书的参考文献列表无疑是极具参考价值的，它勾勒出了有限域理论发展的一条清晰脉络，对于想要继续深挖某一特定子领域的读者来说，是极佳的起点。然而，当我合上这本书，试图立刻着手设计一个基于RS编码的存储系统时，我发现我手中缺少了关键的“翻译工具”。这本书将有限域的数学美学展现得淋漓尽致，但这种美学在转化为硬件描述语言（HDL）或高性能C++代码时，往往需要一层额外的、细致入微的转换工作。书中缺少了对具体计算架构（如并行处理单元如何映射有限域乘法）的讨论，这使得工程师必须自己去重新构建从抽象数学到具体硅片逻辑之间的桥梁。总的来说，这本书是关于“知识的深度”的杰作，而不是关于“工程的效率”的指南。它为我的知识体系增添了坚实的理论地基，但我仍然需要从别处寻找如何用这些地基快速搭建实用建筑的具体蓝图。

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这本书的覆盖面广度是毋庸置疑的，它试图全面地梳理有限域在各个交叉学科中的理论背景。我花了不少精力去阅读它关于特定特征域以及递归构造的部分，试图寻找与现代云计算或大规模分布式系统中的容错机制有直接关联的数学工具。然而，我的阅读体验常常被一些过于深奥的数学分支概念打断，这些概念虽然在理论上是完备的，但对于我当前聚焦的领域——比如在数据存储校验码的设计中应用有限域时——似乎显得有些“过度武装”了。我更需要的是一个关于如何高效选取合适的基多项式、以及如何在特定位宽下进行快速模幂运算的深入解析，而不是对伽罗瓦域理论历史渊源的详尽追溯。这本书的价值在于奠定基础，这点无可挑剔，但对于急于在实际工程约束下（如时间延迟、内存占用、功耗限制）做出最优选择的工程师来说，它提供的指引显得有些间接和迂回。它给了你一个“为什么”，但没有直接告诉你“怎样做才能最快”。

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这本《Finite Fields for Computer Scientists and Engineers》确实是一本在特定领域极具价值的参考书，但对于我这个主要关注应用层面的读者来说，它给我的感觉更像是一座需要攀登的高山，而不是唾手可得的工具箱。我最初翻开它，是希望能找到一些关于如何在实际系统中实现高效的有限域运算的“秘籍”，比如在编解码、纠错码或者密码学基础结构中，如何用最精炼的代码片段或算法流程来体现这些数学概念的威力。然而，书中的大部分篇幅似乎更倾向于对有限域结构本身进行严谨的、近乎纯数学的探讨。细节之深入令人印象深刻，从伽罗瓦域的构造原理到不同基域上的多项式表示，每一个定理的推导都力求详尽无遗。这种深度无疑是对理论研究者极大的馈赠，它提供了坚实的数学基础，让你确信你使用的每一步计算都是无懈可击的。但是，对于我这种需要快速将理论转化为实际性能的工程师而言，我花了大量时间试图在这些详尽的证明和抽象的定义中寻找一个明确的“桥梁”——一个可以直接指导我如何优化代码的实战案例或性能分析。这本书的侧重点显然不在于“如何做”，而在于“为什么是这样”，这使得我在快速解决眼前工程问题时，不得不频繁地查阅其他更偏向实践导向的资料来弥补这种应用层面的缺失。

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挺深入浅出的工具书，读起来一马平川，很爽。

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挺深入浅出的工具书，读起来一马平川，很爽。

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挺深入浅出的工具书，读起来一马平川，很爽。