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出版者:科学出版社

作者:苏育才;卢才辉;崔一敏

出品人:

页数:190

译者:

出版时间:2008年4月

价格:36.00元

装帧:

isbn号码:9787030214003

丛书系列:大学数学科学丛书

图书标签:

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《有限维半单李代数简明教程》简介 本书是一部面向初学者和进阶研究者的李代数理论入门著作。我们旨在以一种清晰、逻辑严谨且便于理解的方式，系统性地介绍有限维半单李代数这一代数学中的重要分支。本书的编写风格力求简洁明快，突出核心概念和关键定理，同时辅以大量的例子和习题，以帮助读者深入掌握理论精髓并提升解题能力。 第一章：李代数导论 本章是全书的基石，我们将从最基本出发，建立起对李代数概念的直观认识。首先，我们会定义李代数，即带有特定双线性运算（李括号）的向量空间，并阐述李括号所满足的雅可比恒等式和反对易性。接着，我们将引入李代数的子代数、理想以及商代数等基本结构，为后续的学习奠定结构性基础。 随后，我们将深入探讨李代数的同态和同构，理解不同李代数之间的联系与区别。通过引入李代数的模（representation）概念，我们将观察李代数如何在向量空间上作用，这是理解李代数结构的重要途径。本章将涵盖诸如理想的性质、中心子、导子代数等概念，并配以易于理解的例子，例如 $sl_2$ 代数，作为初步的感官体验。 第二章： nilpotency, solvability, and semisimplicity 本章将聚焦于李代数的分类，介绍描述李代数“坏”程度的几个重要性质：幂零性（nilpotency）和可解性（solvability）。我们将详细定义幂零李代数和可解李代数，并探讨它们之间的关系。例如，我们将证明李代数是幂零当且仅当其导子代数是幂零。 然后，我们将引入李代数理论中最核心的概念之一——半单性（semisimplicity）。半单李代数是指不包含非零可解理想的李代数。我们将阐述半单李代数的重要性质，例如它等价于其根词（derived ideal）为零。本章将重点分析 the Killing form，并利用 Killing form 来刻画李代数的半单性。我们会证明一个李代数是半单当且仅当其 Killing form 是非退化的。 第三章：根系 根系是理解有限维半单李代数结构的密钥。本章将深入介绍根系的定义，即一组向量，它们满足特定的对称性和正交性条件。我们将详细阐述根系的几何性质，例如仿射反射和 the Weyl群。 我们将引入正根（positive roots）和负根（negative roots）的概念，并在此基础上定义 the simple roots。通过 the simple roots，我们可以唯一地确定一个根系，从而将根系的分类问题转化为研究简单根系的集合。我们将介绍 the Cartan-Killing classification of root systems，并重点介绍类型 A, B, C, D 四种经典根系，以及它们的几何结构和性质。 第四章：Cartan matrices and Dynkin diagrams 本章将承接根系的理论，介绍两种强大的工具——Cartan matrices 和 Dynkin diagrams，用于简洁地表示和分类根系，进而分类有限维半单李代数。 我们将定义 the Cartan matrix，并展示如何从一组 simple roots 构建出 the Cartan matrix。我们将深入分析 Cartan matrix 的性质，例如其对称性、对角占优以及 the determinant。 随后，我们将介绍 Dynkin diagrams，这是一种图形化的表示方式，能够直观地展示根系的结构。我们将建立 Dynkin diagrams 与 Cartan matrices 之间的精确对应关系，并利用 Dynkin diagrams 来刻画不同类型的根系。通过分析 Dynkin diagrams 的连通性和 the number of nodes，我们可以对半单李代数进行完备的分类。 第五章：半单李代数的分类 本章将是全书的高潮，我们将综合运用前面几章的知识，完成有限维半单李代数的完备分类。我们将证明，每一种 Dynkin diagram 对应着一个唯一的（同构意义下的）有限维半单李代数。 我们将详细构建由给定的 Dynkin diagram 所对应的半单李代数，通常通过 the Chevalley basis 来实现。我们会介绍 Chevalley generators 和 the corresponding relations，这构成了半单李代数的结构。 我们将逐一介绍每一种类型的 Dynkin diagram 所对应的半单李代数，包括 A 型（$A_n$），B 型（$B_n$），C 型（$C_n$）和 D 型（$D_n$），并给出它们的具体结构示例。我们将解释为什么只有这四种类型的 Dynkin diagrams 存在，并在此过程中回顾和深化之前所学的概念。 第六章：李代数的表示理论简介 本章将初步介绍李代数的表示理论，这是理解李代数应用的必经之路。我们将定义李代数的模（representation），即李代数作用在向量空间上的方式。我们将重点关注有限维半单李代数的最高权重模（highest weight modules）。 我们将介绍 the highest weight vector 和 the weight decomposition。我们将证明，对于每一个给定的代数，其最高权重模是唯一的（在同构意义下）。这将引出 the irreducible representations of the classical Lie algebras。 本章将为读者提供一个窥视更高级理论的窗口，例如 the structure of irreducible modules and the classification of simple modules。我们将提及 Weyl character formula 等重要定理，但不会深入推导，以保持本书的简明性。 本书特色与读者对象 本书的突出特点在于其逻辑的连贯性、内容的聚焦性以及例证的丰富性。我们避免了过于抽象和技术性的细节，而是选择了一条直观且易于跟随的学习路径。 本书适合以下读者： 数学专业的本科生和研究生： 希望系统学习李代数理论，为进一步的代数几何、表示论、数学物理等研究打下坚实基础。 物理学家（特别是理论物理学家）： 希望理解李代数在量子力学、粒子物理、弦理论等领域的应用，并掌握其基本数学工具。 对抽象代数感兴趣的自学者： 希望在代数学领域拓展知识，并探索李代数这一富有挑战性的主题。 我们相信，《有限维半单李代数简明教程》将成为一本您在探索李代数世界旅程中不可或缺的伴侣。通过本书的学习，您将不仅掌握理论知识，更能培养解决问题的能力，为未来的学术研究和实践应用打下坚实的基础。

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我发现这本书的实用性远超我的预期。虽然主题是高度抽象的代数结构，但作者穿插的那些关于如何应用这些理论来解决具体问题的实例，极大地提升了学习的积极性。它成功地架起了纯理论与应用之间的桥梁，让人明白这些看似高深的数学概念是如何在更广阔的数学或物理背景下发挥作用的。特别是对于那些需要快速掌握该领域核心技能的专业人士，这本书的“简明”二字绝非虚言，它精准地切入了重点，避免了冗余的枝蔓。

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这本书的排版和编辑质量也值得称赞，清晰的数学符号和规范的格式，使得长时间阅读也不会感到疲劳。更重要的是，作者在选择论证的切入点上显示出极高的专业素养，他们总能找到最有效、最直观的路径来阐述定理的意义。这本教材不仅仅是一份知识的载体，更像是一位经验丰富的导师，在你每一步探索的路上提供精准的指引和及时的点拨。它成功地将一个被认为是硬骨头的领域，打磨成了一块可以被细细品味的知识宝石。

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这部著作在代数领域的影响力是不可忽视的，它为研究者提供了一个坚实的基础，尤其是在处理那些维度有限但结构复杂的李代数问题时，其详尽的阐述方式让人印象深刻。书中的逻辑推导严密，每一步的论证都经过了深思熟虑，确保了读者能够清晰地跟进作者的思路。我特别欣赏作者在引入新概念时所展现出的耐心，他们没有急于求成，而是通过一系列精心设计的例子，逐步引导读者进入到半单李代数的抽象世界中。这种教学方法对于初学者来说无疑是极其友好的，使得原本枯燥的理论变得生动起来，真正起到了“简明教程”的承诺。

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阅读体验非常流畅，作者在组织章节结构上颇具匠心，章节之间的衔接自然过渡，仿佛是在讲述一个完整而引人入胜的故事。对于那些试图在有限维半单李代数这一领域深入挖掘的读者而言，这本书无疑是一份宝贵的地图，它清晰地勾勒出了核心概念的轮廓，并提供了足够的工具去应对实际研究中的挑战。书中对于表示论的介绍，尤其是在根系分析方面的深入探讨，为理解这些代数的结构提供了全新的视角。那种一气呵成、深入浅出的叙述风格，让我在阅读过程中几乎忘记了时间的流逝，完全沉浸在数学的魅力之中。

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坦率地说，这本书在理论深度上达到了一个令人钦佩的高度，但其行文风格却保持着一种罕见的克制与清晰。它不像一些教科书那样堆砌繁复的符号和定义，而是侧重于概念的本质和内在联系。作者似乎深谙如何将复杂的数学结构“翻译”成更容易理解的语言，这一点在处理 Cartan 矩阵和 Dynkin 图的章节中体现得淋漓尽致。对于希望建立稳固知识体系的读者，这本书无疑是首选。它提供的不仅是知识的罗列，更是一种看待和分析李代数问题的思维方式的培养。

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非常棒的课本，开门见山，期末考前抱佛脚专用（划掉）

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