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出版者:Wiley

作者:I. N. Herstein

出品人:

页数:272

译者:

出版时间:1996-1-15

价格:802.00元

装帧:Paperback

isbn号码:9780471368793

丛书系列:

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本书旨在为初学者提供一套清晰、严谨且易于理解的抽象代数入门。我们不追求罗列繁多的定理和证明，而是侧重于通过生动活泼的例子和直观的解释，帮助读者建立对核心概念的深刻认识。 第一部分：群论的基石 我们将从最基础的概念——集合和映射——入手。理解集合的运算，如并集、交集、差集，以及函数（映射）的性质，如单射、满射、双射，是后续学习的必要铺垫。我们会用生活中的例子来解释这些抽象概念，比如集合可以代表一班同学，映射可以表示他们喜欢的科目。 接着，我们将引入“二元运算”的概念，这是群论的核心。二元运算就是在集合中任意选取两个元素，通过某种规则运算后，仍然得到该集合中的一个元素。我们会探讨不同类型的二元运算，比如加法、乘法、取模运算等。 然后，我们将正式定义“群”。一个带有二元运算的集合，如果满足封闭性、结合律、单位元存在和逆元存在这四个基本性质，就被称为一个群。我们会深入剖析每一个性质，并提供大量的例子来帮助理解。例如，我们将讨论整数集在加法下构成的群，对称群，以及旋转群等。我们会强调单位元（就像数字0在加法中的作用）和逆元（就像数字在加法中的相反数）的重要性。 接下来，我们将进入“子群”的概念。如果一个群的非空子集本身也构成一个群，那么它就是一个子群。我们会学习如何判断一个子集是否为子群，并探讨子群的结构。 我们将进一步探讨“陪集”和“拉格朗日定理”。拉格朗日定理是群论中最基本也是最重要的定理之一，它告诉我们一个有限群的子群的阶（元素的个数）必然整除该群的阶。我们会通过图示和具体的群来直观地展示陪集的形成和拉格朗日定理的含义。 然后，我们将引入“正规子群”和“商群”。正规子群是群论中一个非常重要的概念，它使得我们能够构造出“商群”。商群的引入为理解群的结构提供了更深层次的工具，就像将一个大空间分割成若干个小空间来研究一样。 我们还会讨论“同态”和“同构”。同态是描述两个群之间结构相似性的映射，而同构则意味着两个群在本质上是完全相同的，只是元素的表示不同。我们会通过例子展示如何判断两个群是否同态或同构，这有助于我们识别不同结构下的群的共性。 最后，我们将介绍“循环群”。循环群是由单个元素通过自身运算生成的群，它们是最简单也最容易理解的群。我们会探讨循环群的性质以及它们在更复杂群结构中的作用。 第二部分：环与域的拓展 在掌握了群论的基础后，我们将把目光投向更丰富的代数结构——环。环是在集合上定义了两个二元运算（通常是加法和乘法），并且这两个运算需要满足一定的分配律等性质。我们会从整数环开始，逐步了解多项式环、矩阵环等。 我们将重点关注环的“理想”。理想是环中的特殊子集，它们在环的运算下表现出特殊的性质，并且能够帮助我们构造出“商环”。商环的概念与商群类似，为理解环的结构提供了重要视角。 接下来，我们将引入“域”。域是环的一种特殊情况，它不仅满足环的所有性质，还要求乘法运算有逆元（除了0以外的元素）。整数集虽然构成环，但不是域（因为很多整数没有乘法逆元）。而有理数集、实数集、复数集在加法和乘法下都构成域。我们会探讨域的重要性，尤其是在线性代数和数论等领域。 第三部分：多项式与域的联系 在本部分，我们将深入研究多项式环，并探讨多项式与域之间的紧密联系。我们会学习如何对多项式进行加法、减法和乘法运算，以及多项式的除法。 我们会介绍“整环”的概念，以及“唯一因子分解整环”（UFD）和“主理想整环”（PID）。这些概念有助于我们更深入地理解多项式环的性质，并为之后的域扩张打下基础。 最后，我们将探讨“有限域”。有限域是只有有限个元素的域，它们在编码理论、密码学等领域有着重要的应用。我们会学习如何构造和研究有限域的性质。 本书在编写过程中，始终坚持以“理解”为核心，而非“记忆”。每一个概念的引入，都伴随着大量的例子和直观的解释。我们希望通过本书，让抽象代数不再是令人生畏的数学难题，而是充满探索乐趣的数学世界。我们鼓励读者在阅读过程中积极思考，动手演算，并尝试用所学知识解决实际问题，从而真正掌握抽象代数的核心思想。

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这本书的深度和广度是令人称赞的，它不仅仅是一本合格的教材，更像是一部详尽的数学思想史纲。我尤其对书中关于伽罗瓦理论（Galois Theory）的介绍给予高度评价。作者处理这个复杂主题的方式堪称教科书级的典范，他并没有直接跳入构造性的证明，而是花费了大量篇幅来铺垫背景知识，比如多项式方程的可解性问题是如何驱动代数学发展的。这种“追根溯源”的写作手法，使得读者在学习到抽象的伽罗瓦群时，能够清晰地感受到这些工具的必要性和强大之处。书中对“域扩张”（Field Extensions）的讨论细致入微，每一步的过渡都经过深思熟虑，确保读者不会在迷宫中迷失方向。此外，书中收录了大量精选的习题，这些习题的难度分布非常合理，从基础的巩固练习到富有挑战性的研究型问题，应有尽有。完成这些练习后，我感觉自己对抽象结构的操作能力得到了质的飞跃。这本书的语言风格非常精准且充满自信，它不迎合读者的惰性，而是鼓励读者主动思考，真正做到“与书共舞”。对于已经有一定基础，希望系统性提升理论水平的读者，这本书的价值无可估量。

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坦白说，初次接触这本书时，我有些担心其内容的艰深程度会让我望而却步，毕竟“抽象代数”这个领域向来以其高门槛著称。然而，作者通过一种近乎“对话式”的叙述风格，成功地消解了这种距离感。书中对“同态定理”（Isomorphism Theorems）的解释，是我读过的所有资料中最清晰透彻的之一。作者没有把这些定理当作理所当然的结果，而是耐心地展示了构建核（Kernel）和像（Image）的过程，解释了为什么这些结构必须满足特定的关系。这种对基本构造的深挖，远比简单地记忆定理公式要有效得多。在讨论理想（Ideals）和商环（Quotient Rings）时，书中运用了大量的类比，将这些高维度的代数概念，映射到读者熟悉的整数环 $mathbb{Z}$ 的结构上，这种“由具体到抽象”的引导策略，极大地增强了读者的直觉。我个人认为，这本书最成功的地方在于它成功地平衡了“深度”与“可达性”。它没有牺牲数学的严谨性，却又在教学上表现出非凡的耐心和智慧。对于那些渴望通过阅读来建立扎实代数基础的自学者来说，这本书绝对是首选的导航图。

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我刚刚读完了这本名为《Abstract Algebra》的书，说实话，它确实给我带来了一次非常深刻的思考旅程。这本书的叙事方式非常引人入胜，不像很多教科书那样枯燥乏味，它更像是在与一位经验丰富的向导同行，引导我穿越一片广袤而又充满挑战性的数学领域。作者在介绍基本概念时，总能巧妙地穿插历史背景和实际应用，这使得原本抽象的理论变得生动起来。我特别欣赏书中对于群论（Group Theory）部分的阐述，它没有急于求成地抛出复杂的定理，而是循序渐进地构建起概念的框架，从最基础的对称性开始，一步步深入到子群、陪集和同态。这种教学方法极大地降低了初学者的入门门槛，让我能够扎实地理解每一个步骤背后的逻辑推导。更让我印象深刻的是，作者在处理环（Rings）和域（Fields）的部分时，展现出了极高的洞察力，他不仅仅是罗列定义和性质，而是深入剖析了这些结构如何相互关联，以及它们在更宏大的代数体系中所扮演的角色。这本书的排版和插图也做得非常出色，清晰的图表和适时的例子，让那些晦涩难懂的证明过程变得可视化，极大地提升了阅读体验。总而言之，这是一本兼具学术严谨性与教学艺术性的佳作，对于任何想要真正掌握抽象代数精髓的读者来说，都是一份不可多得的宝藏。

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这本书给我留下的最深刻印象是其对于“结构”的哲学思考。它不仅仅是关于集合和运算的机械操作，更深层次地探讨了数学世界中不同系统之间的共性和差异。作者在引入模（Modules）的概念时，处理得极其优雅。他将群和向量空间视为模的特例，通过这种统一的视角，揭示了代数结构之间潜藏的深刻联系。这种“大一统”的视角，极大地拓宽了我对代数分支之间关系的认知。书中对“主理想域”（Principal Ideal Domains, PID）和“唯一因子分解域”（Unique Factorization Domains, UFD）的比较分析，尤其值得称赞。作者通过构造反例和证明关键定理，清晰地界定了它们之间的层级关系，并说明了为什么在某些特定代数环境中，我们会期望因式分解的唯一性。整本书的论证逻辑如同一部精密的机械，每一个齿轮都咬合得天衣无缝，推进过程既有必然性又有美感。我发现，在阅读这本书的过程中，我不仅学到了代数知识，更重要的是，我学习到了一种严谨、层次分明的数学思维方式，这对于任何追求逻辑深度的人都是宝贵的财富。

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我必须承认，这本书的难度是毋庸置疑的，但其提供的回报也与付出的努力成正比。它要求读者投入时间去消化每一个定义和证明，但这绝不是一种折磨，而是一种智力上的挑战与愉悦。关于正规子群和商群的讨论，作者采用了一种非常现代且实用的方法，着重强调了它们在描述群结构分解中的核心作用，而非仅仅停留在代数技巧的展示。特别是在讲解有限域（Finite Fields）的构造时，书中展示了如何利用线性代数和多项式理论的交叉知识，构建出不可思议的数学实体，这简直就是一场思维的盛宴。书中对“非交换代数”的引入虽然略显简略，但其点到即止的勾勒，已经足以激发读者去探索更前沿的领域。总的来说，这本书的价值在于它为读者提供了一个坚不可摧的理论基石，使其未来在面对更高级、更专业化的代数课题时，能够拥有足够的自信和工具去应对。它不是一本用来“快速浏览”的书，而是一本需要反复研读、时常翻阅的参考工具和思想启迪之源。

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「QQ 群为什么叫 QQ 群，而不叫 QQ 环或者 QQ 域？」「因为 QQ 没有理想。」「没有非平凡的理想，和咸鱼有什么区别？」「有理想，不合群。」

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有些证明写得很乱

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「QQ 群为什么叫 QQ 群，而不叫 QQ 环或者 QQ 域？」「因为 QQ 没有理想。」「没有非平凡的理想，和咸鱼有什么区别？」「有理想，不合群。」

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有些证明写得很乱